多軸機(jī)電設(shè)備在線軌跡規(guī)劃改進(jìn)方法研究*

趙俊英，姚 彬，邵 欣，李云龍，韓金玉

（1.天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)汽車與軌道交通學(xué)院，天津 300350；2.北京東方計(jì)量測試研究所，北京 100029；3.天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)智能制造學(xué)院，天津 300350；4.天津中德應(yīng)用技術(shù)大學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)中心，天津 300350）

0 引言

機(jī)器人等現(xiàn)代工業(yè)多軸機(jī)電設(shè)備中，運(yùn)動(dòng)控制一直是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)［1-2］。軌跡跟蹤精度和生產(chǎn)效率在高性能控制器［3］的設(shè)計(jì)研發(fā)中越來越受到重視。高進(jìn)給速度能提高生產(chǎn)效率，但是可能會由于違反執(zhí)行器的物理約束而導(dǎo)致控制器飽和以及跟蹤性能下降等實(shí)際問題。因此，合理規(guī)劃參考軌跡的進(jìn)給速度對于提高生產(chǎn)效率并保證優(yōu)良控制性能至關(guān)重要［4］。對此，Bobrowet 等利用序列二次規(guī)劃技術(shù)求解了速度規(guī)劃問題［5］。Renton 以及Stori利用數(shù)值搜索方法求解了時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃問題，但計(jì)算效率較低［6-7］。Yuan 等提到的BFC 離線算法，不適用于需要實(shí)時(shí)在線軌跡規(guī)劃的任務(wù)［8］。針對上述方法的局限性，Luet 等提出了一種雙環(huán)在線軌跡優(yōu)化算法，從實(shí)際結(jié)果來看，雙環(huán)算法僅僅是接近最優(yōu)的，因?yàn)楫?dāng)它在內(nèi)環(huán)中積分時(shí)，參數(shù)加速度是不變的［9］。另外，在線軌跡規(guī)劃的另一個(gè)框架采用了路徑速度分解方案［10］和縱向時(shí)間標(biāo)度［11］?；诖丝蚣埽琙anasi 等提出了一種實(shí)用的非線性在線軌跡規(guī)劃器［12］。Bianco 等對文獻(xiàn)［12］中的在線軌跡規(guī)劃器進(jìn)行了進(jìn)一步擴(kuò)展，利用有界估計(jì)器將轉(zhuǎn)換后的參數(shù)速度和加速度輸入到非線性濾波器，最后得到可行的參數(shù)軌跡［13-15］。此外，Bianco 在文獻(xiàn)［15］中重點(diǎn)關(guān)注了在線軌跡規(guī)劃的穩(wěn)定性問題，引入了一種簡單的閾值方法，當(dāng)參數(shù)加速度下界的絕對值小于預(yù)設(shè)的閾值時(shí)，參數(shù)速度的上界設(shè)為零，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法具有良好的性能。但當(dāng)參數(shù)加速度上界小于其下界時(shí)必須輔以離線操作，削弱了在線軌跡規(guī)劃的優(yōu)勢。

針對上述問題，本文提出了一種改進(jìn)的在線軌跡規(guī)劃方法來解決廣義參數(shù)加速度約束的問題，消除了加速度參數(shù)上界和下界必須分別為正和負(fù)的限制，并從理論上給出了改進(jìn)的在線規(guī)劃算法的全局收斂性。為驗(yàn)證所提的方法，本文設(shè)計(jì)了橢圓輪廓跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)、復(fù)雜曲線輪廓激光雕刻實(shí)驗(yàn)，通過與已有方法對比驗(yàn)證了本文所提方法的改進(jìn)效果。

1 問題描述

在軌跡速度分解中，軌跡通常以參數(shù)化形式表示如下［10］：

其中，qd為時(shí)變軌跡，P（s）為路徑函數(shù)。

軌跡是時(shí)變的，因而可寫成復(fù)合函數(shù)形式：

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，軌跡的速度和加速度為：

2 改進(jìn)的在線軌跡規(guī)劃器

與文獻(xiàn)［14］的框架類似，本文提出的在線軌跡規(guī)劃器由邊界估計(jì)器和改進(jìn)的非線性變結(jié)構(gòu)濾波器兩部分組成。如圖1 所示，在關(guān)節(jié)空間中分配的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束將轉(zhuǎn)換為參數(shù)空間中的參數(shù)速度和加速度的約束。將轉(zhuǎn)化后的參數(shù)速度和加速度的界限和期望時(shí)變參數(shù)律反饋到非線性濾波器，在轉(zhuǎn)化后的參數(shù)速度和加速度約束下，通過非線性濾波器在線規(guī)劃期望時(shí)變參數(shù)軌跡。

圖1 在線軌跡規(guī)劃框架Fig.1 Framework for online trajectory planning

2.1 邊界估計(jì)方法

在關(guān)節(jié)上指定的速度約束可以用分量形式描述為：

式中，i 為關(guān)節(jié)編號，n 為最大關(guān)節(jié)數(shù)。關(guān)節(jié)的加速度約束可以描述為：

根據(jù)式（5），關(guān)節(jié)速度q˙i的約束條件可以很容易地映射為參數(shù)速度s 的一個(gè)上界，通過

可以得到參數(shù)速度的最終上界s˙+可以表示為

為避免規(guī)劃的軌跡沿著路徑產(chǎn)生反向運(yùn)動(dòng)，參數(shù)速度約束的下界s˙-設(shè)為零，即s˙-=0。

類似地，基于式（6）和式（4），可得參數(shù)加速度的上下界為

其中，

2.2 非線性濾波器的改進(jìn)

在多軸系統(tǒng)軌跡規(guī)劃中，參數(shù)加速度約束的上界和下界并不一定嚴(yán)格是正值和負(fù)值，針對該問題，本文提出了一種改進(jìn)的非線性濾波器。對于一個(gè)期望時(shí)變參數(shù)函數(shù)r（t），以及由邊界估計(jì)器提供的s˙+?R+，s˙-=0，s¨+?R+和s¨-?R 等極限，所提出的非線性濾波器有望達(dá)到以下性能。

1）對于滿足給定約束條件的可行參考軌跡r（t），即

期望達(dá)到的目標(biāo)是濾波器的輸出s（t）在最小的時(shí)間內(nèi)達(dá)到跟蹤性能s（t）=r（t），且無超調(diào)。

2）如果不滿足式（13）中的約束條件，濾波器s（t）的輸出應(yīng)該以最佳的方式逼近參考軌跡r（t），即參數(shù)加速度s¨必須強(qiáng)制在一個(gè)執(zhí)行周期內(nèi)進(jìn)入?yún)^(qū)間［］內(nèi)，然后濾波器將在式（13）約束下保證其輸出跟蹤參考軌跡r（t）。

如圖1 所示，以參數(shù)加速度作為控制輸入，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型等效為兩個(gè)積分器的串聯(lián)。

引入si表示系統(tǒng)狀態(tài)，且令si=［］T。則狀態(tài)空間形式的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)表示為［13］

其中，ui=，T 表示采樣時(shí)間。

根據(jù)式（14）知，對于以下離散形式的參考輸入

系統(tǒng)的誤差動(dòng)力學(xué)公式為

采用文獻(xiàn)［14］中的變換來避免系統(tǒng)對采樣時(shí)間T 的顯式依賴

其中，

將式（17）代入式（16），則誤差動(dòng)力學(xué)重新表述為

其中，

由于矩陣W 的非奇異性，可以通過將狀態(tài)z強(qiáng)制到原點(diǎn)來保證零跟蹤誤差，即yi=0。其次，設(shè)計(jì)一個(gè)非線性濾波器以保證zi的全局收斂性，該濾波器的第二狀態(tài)變量和控制輸入均受邊界估計(jì)器的約束。

需要注意的是，文獻(xiàn)［14］中的在線軌跡規(guī)劃器只有在參數(shù)加速度的上下限分別為正和負(fù)的假設(shè)下有效，即>0 和<0。下面提出的非線性濾波器放寬了這一限制，并考慮了廣義參數(shù)加速度約束?R和?R。為此，進(jìn)行以下變換，得到參數(shù)速度和加速度的等價(jià)界：

其中，ε 是無窮小量且ε>0。

δ 的值由以下方程確定

參數(shù)γ，α，m 通過如下方法計(jì)算得到：

其中，式（30）表示參數(shù)的下限值。

非線性濾波器的最終控制輸入為

上述控制器所采用的滑動(dòng)面經(jīng)過精心設(shè)計(jì)，公式如下：

3 在線臨界曲線算法

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提算法的有效性，本文在雙軸門架激光雕刻實(shí)驗(yàn)臺上進(jìn)行了橢圓輪廓跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)、復(fù)雜曲線輪廓激光雕刻實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果對所提出的在線軌跡規(guī)劃器的優(yōu)勢進(jìn)行分析。

如圖2 所示，實(shí)驗(yàn)臺主要由X 軸運(yùn)動(dòng)模組、Y軸運(yùn)動(dòng)模組、激光發(fā)生器、雕刻工作臺、以及固定支架等組成。其中，X、Y 軸分別由一臺伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，通過控制兩電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)激光發(fā)生器在二維空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。在激光發(fā)生器運(yùn)動(dòng)的過程中，控制激光束的開關(guān)狀態(tài)轉(zhuǎn)換，即可在工件上雕刻出連續(xù)或間斷的圖案痕跡。

圖2 實(shí)驗(yàn)平臺Fig.2 The experiment platform

4.1 橢圓輪廓跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)以橢圓輪廓作為跟蹤目標(biāo)，相對于圓形和方形等均勻曲線，橢圓的跟蹤難度更大。本文所選的橢圓長半軸為0.1 m，短半軸為0.06 m，對應(yīng)兩個(gè)軸的位置、速度和加速度參考軌跡如圖3 所示。由于軌跡為橢圓，且目標(biāo)是在1.5 s 內(nèi)沿橢圓軌跡運(yùn)行一周，角速度固定，由此直接求導(dǎo)計(jì)算的兩個(gè)軸的速度和加速度；實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的速度和加速度約束條件為x 軸0.6 m/s 和6 m/s2，y 軸為0.4 m/s 和3 m/s2。

圖3 橢圓輪廓參考軌跡Fig.3 Elliptic contour reference trajectory

從圖3 可以看出，參考軌跡在速度、加速度上均有超出實(shí)際限制的情況，需要在線規(guī)劃進(jìn)行處理。此外，實(shí)驗(yàn)中采用自抗擾跟蹤控制器對參考軌跡進(jìn)行跟蹤。同時(shí)，本文選擇文獻(xiàn)［14］中提出的軌跡規(guī)劃器進(jìn)行對比。

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)軌跡規(guī)劃結(jié)果分析

在橢圓輪廓跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)中，基于式（7）～式（10）和式（32），計(jì)算得到仿真曲線的軌跡規(guī)劃結(jié)果，如圖4 和圖6 所示。通過比較本文方法和對比方法的軌跡規(guī)劃結(jié)果，證明本文所提出的規(guī)劃器能夠解決廣義參數(shù)加速度約束和兩個(gè)潛在的穩(wěn)定性問題。

圖4 本文方法的規(guī)劃軌跡Fig.4 The planning trajectory obtained with the proposed method

規(guī)劃器的采樣周期設(shè)置為T=0.002 s，圖4 和圖5 都是matlab 仿真得到的曲線，分別為本文方法和對比方法的規(guī)劃結(jié)果；如圖5 所示，對比方法對應(yīng)的軌跡規(guī)劃結(jié)果仍然在個(gè)別情況下會超出對應(yīng)的約束限制，仍然存在軌跡規(guī)劃不理想的問題。從圖5可以看出，對比方法的x 軸加速度規(guī)劃值在0.72 s時(shí)超出給定上界，達(dá)到了7.43 m/s2，而且y 軸的加速度規(guī)劃值同樣在0.91 s 時(shí)達(dá)到了6.93 m/s2，兩個(gè)軸的加速度規(guī)劃值分別超過了設(shè)定加速度上限。

圖5 對比方法的規(guī)劃軌跡Fig.5 Planning trajectory obtained with the comparative method

相比之下，本文所提方法則可以很好地處理該問題，如圖4 所示，本文方法軌跡規(guī)劃結(jié)果都在電機(jī)約束范圍內(nèi)，規(guī)劃結(jié)果符合物理約束，不會對電機(jī)執(zhí)行規(guī)劃的軌跡造成影響。通過對比，本文所提方法不會違反實(shí)驗(yàn)設(shè)置的約束條件。

4.3 仿真實(shí)驗(yàn)軌跡跟蹤結(jié)果分析

利用本文方法進(jìn)行了橢圓輪廓跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，本文所用設(shè)備準(zhǔn)確跟蹤了經(jīng)過在線規(guī)劃的參考軌跡。為了更清晰地展示仿真結(jié)果，繪制了包含x、y 位置與時(shí)間進(jìn)度的三維曲線，如圖6 所示。與其對應(yīng)的詳細(xì)的速度、加速度規(guī)劃曲線如圖4 所示。

圖6 軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.6 Trajectory tracking experiment

圖6 中的實(shí)線為實(shí)驗(yàn)曲線，分別是記錄的x 軸和y 軸的位置，虛線是與仿真一致的曲線跟蹤目標(biāo)，即跟蹤角速度固定的橢圓軌跡。采樣和插補(bǔ)周期都是1 ms。為了便于觀察，圖6 將實(shí)驗(yàn)結(jié)果通過三維形式呈現(xiàn)，以清晰表達(dá)參考軌跡與本文規(guī)劃軌跡之間的區(qū)別。圖中坐標(biāo)軸x 和坐標(biāo)軸y 分別為x 軸和y 軸的位置，坐標(biāo)軸z 則為時(shí)間。從圖6 中可以看出，實(shí)際運(yùn)行軌跡可以完成橢圓跟蹤任務(wù)，實(shí)現(xiàn)對給定參考軌跡的跟蹤，而且在t=0 的初始位置以及結(jié)束位置參考軌跡與實(shí)際軌跡重合。但是由于速度和加速度約束的限制，中間個(gè)別時(shí)間存在實(shí)際軌跡滯后于參考軌跡的現(xiàn)象，如圖中紅色虛線所示的玫紅色虛線高于藍(lán)色實(shí)線，這是由于參考軌跡的速度超出了電機(jī)軸實(shí)際可執(zhí)行的速度或加速度。隨著這段時(shí)間的結(jié)束，實(shí)驗(yàn)裝置所輸出的實(shí)際曲線將彌補(bǔ)這部分的滯后誤差。

由圖4 可見，本文方法可以很好地處理速度和加速度超出實(shí)際限制條件的情況。對應(yīng)到圖6 中，可以看到給定位置指令因速度和加速度超出實(shí)際限制而領(lǐng)先于實(shí)際輸出值，但本文方法可以在后續(xù)計(jì)算中充分利用加速度和速度邊界值實(shí)現(xiàn)規(guī)劃誤差的收斂，即實(shí)際輸出跟蹤上給定指令軌跡。綜上，結(jié)合圖4 與圖5 所示規(guī)劃結(jié)果對比，以及圖6 所示軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)曲線，可知本文方法可實(shí)現(xiàn)約束條件下對參考軌跡的最優(yōu)跟蹤。

4.4 激光雕刻應(yīng)用實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法的實(shí)用性，應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的算法，以圖7 所示圖案為雕刻對象，在雙軸門架激光雕刻實(shí)驗(yàn)臺上進(jìn)行了復(fù)雜曲線輪廓激光雕刻實(shí)驗(yàn)，其中，被雕刻木板的尺寸為200 mm*200 mm。

圖7 激光雕刻圖案Fig.7 Laser engraving pattern

觀察圖7 可知，待加工的圖案不是簡單的直線或圓弧等規(guī)則曲線，而是輪廓比較復(fù)雜的多次非線性曲線，激光頭完全通過圖案每一個(gè)點(diǎn)的難度很大。另外，由于激光雕刻工藝的特點(diǎn)，若軌跡規(guī)劃不合理，很容易出現(xiàn)刻痕深淺不一、木板燒焦、精度差等雕刻質(zhì)量低下的情況。綜上，復(fù)雜軌跡激光雕刻對軌跡規(guī)劃方法有較高的要求。

圖8 所示為激光雕刻實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由圖可見，雕刻軌跡光滑、無突變；雕刻痕跡深淺均勻，木板上沒有出現(xiàn)刻痕焦黑或燒焦的現(xiàn)象。進(jìn)一步驗(yàn)證了本文軌跡規(guī)劃方法的有效性及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

圖8 激光雕刻實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 The experiment result of the laser engraving

5 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)的在線軌跡規(guī)劃方法，通過對在線軌跡規(guī)劃器中非線性濾波器的改進(jìn)解決了廣義參數(shù)加速度約束問題。同時(shí)，本文算法取消了參數(shù)加速度的上界和下界必須分別為正和負(fù)的限制，在線算法的實(shí)現(xiàn)也解決了以往軌跡規(guī)劃中可能存在的穩(wěn)定性問題。橢圓軌跡規(guī)劃和跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的在線軌跡規(guī)劃方法的正確性，證明了該算法在輪廓跟蹤任務(wù)中取得了顯著的性能改善；在試驗(yàn)臺上進(jìn)行的復(fù)雜曲線輪廓激光雕刻實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文軌跡規(guī)劃方法的有效性及實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。