一種帶終端視線角約束的反艦導彈三維協(xié)同制導律

張書森，孟秀云，丁 曉

（北京理工大學宇航學院，北京 100081）

0 引言

現代戰(zhàn)爭態(tài)勢不斷發(fā)展，反導系統(tǒng)愈加完善，僅靠單枚導彈難以滿足作戰(zhàn)需要，多枚導彈協(xié)同攻擊能夠有效彌補單枚導彈突防能力不足、抗干擾能力差的缺陷，因此，多枚導彈協(xié)同攻擊更符合現代化信息作戰(zhàn)的需要［1］。

最早的多導彈協(xié)同攻擊策略是通過給各枚導彈設置相同的攻擊時間實現的，導彈個體之間互不干擾、獨立作戰(zhàn)，歸根結底研究的還是單枚導彈的制導問題［2］，嚴格意義上講不屬于真正的協(xié)同，真正的協(xié)同無需在導彈發(fā)射前預置飛行時間，而是通過導彈在飛行過程中不斷的信息交互進而達到攻擊時間一致［3］，為了實現對目標的全方位打擊，在多導彈時間協(xié)同的基礎上，還要求導彈以期望的角度攻擊目標，將導彈- 目標相對運動方程建立在視線坐標系下是一種較為常用的方法［4-6］，沿視線方向設計制導律可以協(xié)調導彈飛行的時間，沿視線法向設計制導律可以使導彈以特定的視線角攻擊目標。

現有的制導律大多基于二維平面內導彈- 目標相對運動模型設計的，針對三維空間設計制導律的文獻較少，本文針對多枚導彈同時攻擊海面上機動的艦船這一場景，設計一種有終端視線角約束的三維協(xié)同制導律，在視線方向上，區(qū)別于文獻［4-6］采用構造關于時間的滑模面的方式，本文采用多智能體一致性理論設計時間協(xié)同制導律，制導算法相對簡潔；在視線法向上，本文設計一種帶終端視線角約束的非奇異自適應滑模制導律，精度高且收斂速度快，最后選取特定場景對所設計的制導律進行仿真驗證。

1 導彈目標三維相對運動模型

本文將導彈- 目標相對運動方程建立在視線坐標系下，如圖1 所示，MXLYLZL為視線坐標系，OXIYIZI為慣性坐標系，qθ、qφ分別為視線傾角和視線偏角。

圖1 三維空間彈目相對運動幾何關系圖Fig.1 Geometric relation diagram of relative motion between missile and target in three-dimensional space

相對速度在視線坐標系下的表達如下：

式中，VR為彈目接近速度，ω 為視線坐標系相對大地坐標系的旋轉角速度，R 為彈目相對距離。

在視線坐標系下有：

根據視線坐標系與大地坐標系的轉換關系有：

將式（2）、式（3）代入式（1）可得：

根據牛頓第二定律有：

將式（3）、式（4）代入式（5）可得三維空間下導彈-目標相對運動動力學方程組形式如下：

其中，aM=［aMxaMyaMz］T為導彈在視線坐標系下三軸方向的加速度，aT=［aTxaTyaTz］T為目標在視線坐標系下三軸方向的加速度，本文的目的在于通過設計沿視線方向上的加速度aMx，使得多枚導彈同時擊中目標；通過設計沿視線法向上的加速度aMy、aMz，一方面使得視線角速率在導彈接近目標的過程中快速趨近于零，另一方面控制導彈在末端以期望的視線角攻擊目標。

2 三維協(xié)同制導律設計

2.1 視線方向上制導律設計

定理1［7］：如果存在一個含有n 個節(jié)點的系統(tǒng)可以用G=（V，E，A）描述，并且節(jié)點的狀態(tài)可以用一階動態(tài)環(huán)節(jié)表達，那么對于任意給定的初值ξi（0），?i?V，當t→∞時，有ξi=ξj，?i，j?V，則稱系統(tǒng)節(jié)點之間的狀態(tài)能夠達到漸進一致。

式中，ξi?Rm用于描述第i 個節(jié)點的狀態(tài)；ui?Rm用于描述第i 個節(jié)點的輸入。

一種常見的一致性算法表達形式如下：

假設節(jié)點間的通信拓撲結構保持固定，采用式（8）的控制算法，使得系統(tǒng)狀態(tài)能夠達到漸進一致的必要條件是G 中存在有向生成樹，系統(tǒng)最終的一致狀態(tài)由狀態(tài)初值、通信拓撲結構和加權矩陣共同決定［8］。特別地，如果G 是無向圖，那么系統(tǒng)狀態(tài)將會達到平均一致，一致狀態(tài)為：

為方便起見，令導彈同時啟動發(fā)射的時刻為時間原點，記為t=0 時刻，在此后的飛行過程中，記Ri為t 時刻第i 枚導彈與目標的相對距離，vi為t 時刻第i 枚導彈與目標的接近速度，Ri、vi均是關于時間t的函數。

對Ri關于時間t 求導有：

式中，Ri的值可以根據導彈和目標的位置坐標求出，vi的值可以分別將導彈和目標的速度投影到視線坐標系下得到。

根據求得的Ri和vi，即可估計出第i 枚導彈擊中目標的時刻為：

式中，i=Ri/vi為第i 枚導彈在當前時刻下的期望攻擊時間（expected time-of-attack，ETA）。

根據式（10），顯然有：

由式（11）可以看出，多枚導彈同時擊中目標即擊中時刻一致，等價于在某一時刻t 之后各導彈的期望攻擊時間一致。

將式（10）兩邊同時對時間t 求導，并將式（9）代入可得：

將式（9）兩邊同時對時間t 求導：

將式（13）與式（6）第1 式代入式（12）可得：

令ui=α（i-v）ii/vi，將對aMx的控制轉化為對ui的控制，顯然有

式（16）滿足定理1，ζi為狀態(tài)變量，因此，上述所設計的算法能夠使各枚導彈的擊中時刻達到漸進一致，即實現多導彈協(xié)同攻擊。

由于ζi與i等價，選取i作為狀態(tài)變量，參照式（8）、式（15）可以得到一種簡潔的分布式控制算法：

根據式（17），通過設計導彈之間的通訊拓撲結構和加權鄰接矩陣，即可計算出各枚導彈的速度指令，從而得到所需要的視線方向加速度指令，進而實現多枚導彈期望攻擊時間一致。

2.2 視線法向上制導律設計

在進行視線方向上的制導律設計之前，首先簡要介紹有限時間理論，方便后續(xù)制導律的設計與證明。

定理2 考慮如下非線性系統(tǒng)［9］：

假設在系統(tǒng)原點的鄰域U?Rn內存在一個連續(xù)函數V（x，t），并且函數V（x，t）具有一階連續(xù)導數，如果再存在一個大于零的實數α，使得V（x，t）在U 上是正定的，并且使得V˙（x，t）+αVλ（x，t）在U 上是半負定的，其中，λ∈（0，1），那么稱系統(tǒng)（18）的原點可以達到有限時間穩(wěn)定。

因為V（x，t）是正定的，將式（19）左右兩邊同時對時間t 積分，可以得到

且有

終端時刻tr取決于初始值x（0）=x0，那么有V（x，0）=V（x0），上界滿足

其中，x0是系統(tǒng)原點附近某一開域的任意一點，證畢。

在導彈飛向目標的過程中，導彈和目標相對距離的變化率小于零，因此，只要控制視線角的變化率為零，就能保證導彈擊中目標［10］，同時考慮到有期望終端視線角的約束，選取視線角速率和視線角誤差為狀態(tài)變量，法向加速度為控制輸入，具體定義如下：

其中，qθf、qφf為期望的終端視線傾角和視線偏角。

根據三維空間內導彈-目標相對式（6）可以得到狀態(tài)方程表達如下：

對于上述系統(tǒng)構造滑模面：

式中，s1、s2的表達形式設計如下：

其中，β1、β2=const>0，0<α1、α2=const<1，s1表示縱向運動滑模面，s2表示側向運動滑模面。

在趨近律方面構造一種自適應滑模趨近律，以保證系統(tǒng)有良好的動態(tài)特性：

式中，ε=［ε1ε2］T。它的物理意義是在制導初期彈目相對距離R 較大，趨近滑模面的速率要小，而隨著導彈不斷地逼近目標，趨近滑模面的速率不斷加快，確保導彈在擊中目標前系統(tǒng)能夠進入滑動模態(tài)。

將式（24）兩邊同時對時間t 求導并將式（22）、式（25）代入可以得到制導律形式如下：

值得注意的是：控制率u1、u2中含有x1和x3的指數項，當x1和x3趨近于0 時會出現奇異問題，因此，采用非線性方法對其進行限幅處理，即：

至此，有終端視線角約束的三維制導律設計完畢，利用式（26）中的制導方法，能夠保證三維制導系統(tǒng)（22）在有限時間內收斂到滑模面s=0，并且在滑模面s=0 上系統(tǒng)的狀態(tài)也能在有限時間內收斂到零。

證明：選取李雅普諾夫函數V1=sTs，顯然V1正定。

對V1求導，并將制導律表達式（26）代入，整理得到：

式中，ε=min（ε1，ε2）

由定理2 可知，制導系統(tǒng)（22）能夠在有限時間內收斂到滑模面s=0 上。

而在滑模面s1=0 上，有：

選取新的李雅普諾夫函數V2=，顯然V2正定。對V2求導，有：

當α1∈（0，1）時，有∈（0，1），根據定理2 可知，系統(tǒng)狀態(tài)在終端滑模面s1=0 能夠在有限時間內收斂到零，同理可證系統(tǒng)狀態(tài)在終端滑模面s2=0 也能夠在有限時間內收斂到零。

3 仿真結果與分析

為了說明本文所設計的三維空間內有終端視線角約束的協(xié)同制導律的有效性，接下來針對4 枚導彈同時攻擊一個在海平面上作機動航行的艦船這一場景，對制導律表達式（17）、式（26）進行仿真驗證，4 枚導彈之間的通訊拓撲結構由圖2 給出，4枚導彈的初始位置、初始速度以及所期望的末端攻擊視線角如表1 所示，每枚導彈能承受的最大過載為50，g 取9.8 m/s2，仿真步長取10 ms，同時為了抑制滑模態(tài)出現抖振現象，用以下的飽和函數來替代符號函數sgn（s），并取δ=0.01。

圖2 導彈間的通訊拓撲Fig.2 Communication topology between missiles

目標艦船的初始位置為（5 000 m，0 m，5 000 m），航行速度VT=30 m/s 恒定，初始航跡偏角為10°，并以aT=5sin（0.01t）m/s2的加速度作側向機動，控制參數選取如下：α1=α2=0.9，β1=0.4，β2=0.2，ε1=ε2=0.2。

4 枚導彈的三維運動軌跡、彈目相對距離、預估剩余飛行時間、沿視線方向的過載nx、縱向平面內沿視線法向的過載ny、側向平面內沿視線法向的過載nz、視線傾角、視線偏角、視線傾角角速率和視線偏角角速率隨時間的變化曲線如圖3～圖12 所示。

圖3 彈目三維運動軌跡Fig.3 3-D trajectory of missile and target movement

由圖3 和圖4 可以看出，即使起始點位置不同，但在本文設計協(xié)同制導律的控制作用下，4 枚導彈依然能夠從不同的方向沿不同路徑同時擊中在海平面上機動的目標。由圖5 可以看出，在分布式控制算法（17）的作用下，4 枚導彈在制導初期通過信息交互協(xié)調剩余攻擊時間，大約在5 s 時各導彈的剩余攻擊時間能夠達成一致。圖6 反映了4 枚導彈沿視線方向的過載隨時間的變化情況，過載在前5 s 變化迅速，之后逐漸趨于穩(wěn)定，這是因為在制導前期需要過載指令的變化從而控制各導彈的飛行速度，進而使各導彈的剩余攻擊時間達成一致，實現對目標的協(xié)同打擊，這與圖5 所示的現象吻合。圖7 和圖8 反映了4 枚導彈沿視線法向的過載隨時間的變化情況，為了使視線角速率快速收斂至零，導彈過載在前期指令較大且變化較為劇烈，之后隨著視線角速率逐漸趨近于零導彈過載也隨之變?yōu)槠骄彶⑹諗恐亮悖^載曲線光滑且抖振抑制效果明顯。圖9～圖12 表明，在本文所設計的協(xié)同制導律的作用下，彈目視線傾角和視線偏角能在有限時間內收斂到期望值，同時，彈目視線傾角角速率和視線偏角角速率能在有限時間內收斂到零。以上的分析結果表明，本文設計的有終端視線角約束的協(xié)同制導律，能夠保證4 枚導彈以期望的終端視線角同時擊中目標，驗證了所設計的協(xié)同制導律的有效性。

圖4 彈目相對距離Fig.4 Relative distancebetween missile and target

圖5 剩余時間Fig.5 Time left

圖6 視線方向過載指令nxFig.6 Overload command along LOS

圖7 視線法向過載指令nyFig.7 Normal overload command ny of LOS

圖8 視線法向過載指令nzFig.8 Normal overload command nz of LOS

圖9 視線傾角Fig.9 Line of sight inclinationangle

圖10 視線偏角Fig.10 Line of sight deflectionangle

圖11 視線傾角角速度Fig.11 Line of sight inclinationpalstance

圖12 視線偏角角速度Fig.12 Line of sight deflection palstance

圖13 通訊拓撲切換Fig.13 Communication topology switching

以上仿真是假定導彈間的通訊拓撲結構固定不變的，下面考慮拓撲結構切換的情況，文獻［11］表明對于一致性算法式（8），即使系統(tǒng)存在隨時間切變的拓撲結構，但只要保證每一相鄰有限時間隔內所有切換子圖的并集存在有向生成樹，系統(tǒng)的狀態(tài)還是能夠在有限時間內收斂到一致，只不過子圖切換的頻率會影響系統(tǒng)的收斂速度。

在以上仿真條件的基礎上，假設第3 枚導彈由于通訊故障在2 s 時刻與系統(tǒng)失去鏈接，在10 s 時刻恢復鏈接，即導彈之間的通訊拓撲按照圖3 所示的拓撲結構切換。

4 枚導彈的彈目相對距離和預估剩余時間的變化曲線如下頁圖14 和圖15 所示。

圖14 剩余時間Fig.14 Time left

圖15 彈目相對距離Fig.15 Relative distance between missile and target

由圖14 可以看出，2 s 時第3 枚導彈與系統(tǒng)失去鏈接，導致其無法與其他3 枚導彈達成時間一致，10 s 后恢復鏈接，新的拓撲圖存在有向生成樹，使得4 枚導彈重新達成時間一致，圖15 表明即使系統(tǒng)在時間段內存在無向的通訊拓撲結構圖，但在整個有限時間段內系統(tǒng)所有子圖的并圖存在有向生成樹，所以依然能夠保證4 枚導彈同時擊中目標。

4 結論

本文針對導彈的協(xié)同攻擊問題，在視線坐標系下建立了導彈-目標相對運動模型，在此基礎上基于一致性理論設計了視線方向上的制導律，基于有限時間理設計了視線法向上的非奇異滑模制導律；對所設計的制導律給出了穩(wěn)定性證明；通過數學仿真實驗檢驗制導律的性能品質。仿真結果表明，所設計制導律能夠使得多枚導彈以期望的視線角同時擊中目標，具有一定的工程意義。本文考慮了目標機動方式已知的情況，后續(xù)可通過設計擴張狀態(tài)觀測器估計目標機動，從而設計考慮目標機動未知情況下的協(xié)同制導律。