基于有限差分法的填土邊坡復(fù)合結(jié)構(gòu)受力特征分析

李漪,柴平穩(wěn),李珂,賀修安,王紅偉

(1.湖北省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院有限公司,武漢 430040;2.國(guó)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司,北京 102209;3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院,武漢 430074)

邊坡在天然情況下總是處在一定的應(yīng)力平衡狀態(tài),這種初始的應(yīng)力狀態(tài)是由巖土體自重應(yīng)力場(chǎng)與構(gòu)造應(yīng)力在長(zhǎng)期的相互作用中形成的,但在外界誘發(fā)因素作用下,會(huì)打破邊坡原始應(yīng)力狀態(tài),導(dǎo)致邊坡失穩(wěn),最后演變成地質(zhì)災(zāi)害,影響人類正常的生產(chǎn)生活。

邊坡穩(wěn)定性問題一直是學(xué)者們研究的重點(diǎn)[1-6],擋土墻是一種穩(wěn)定邊坡的支檔結(jié)構(gòu),在地質(zhì)災(zāi)害治理中扮演著重要角色,在對(duì)擋土墻結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮實(shí)際工程地質(zhì)條件的影響,一般而言,在治理地基承載力較高的失穩(wěn)邊坡時(shí),單一的擋土墻結(jié)構(gòu)可以滿足安全需求,但是工程實(shí)踐中常常會(huì)遇到地基軟弱層,若擋土墻修建在這種地基上,難以保證邊坡及整個(gè)支檔結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期穩(wěn)定性,而抗滑樁可以穿過軟弱層并深入基巖,可以有效穩(wěn)定邊坡[7-11]。有設(shè)計(jì)者提出了樁基托梁擋土墻結(jié)構(gòu),即當(dāng)需要修建擋土墻所在場(chǎng)地的地基承載力不足時(shí),在擋土墻下設(shè)置樁基礎(chǔ),此時(shí)樁基礎(chǔ)可以有效提高擋土墻整體穩(wěn)定邊坡的能力。對(duì)于此類結(jié)構(gòu),中外學(xué)者給予了高度關(guān)注。梁永輝[12]根據(jù)上海實(shí)際工程中的高填方邊坡可能的失穩(wěn)破壞特征,提出了樁承式擋土墻支檔結(jié)構(gòu)治理邊坡的設(shè)計(jì)方案,并對(duì)邊坡與防護(hù)措施相互作用關(guān)鍵問題進(jìn)行總結(jié)。劉國(guó)楠等[13-14]為研究衡重式樁板擋墻受力特征,進(jìn)行了與原型呈一定比例的室內(nèi)模型試驗(yàn),研究了該支檔結(jié)構(gòu)土壓力分布模式,并更細(xì)節(jié)的探討不同樁板尺寸、位置以及不同外荷載工況下對(duì)墻后土壓力的影響。董捷等[15]在對(duì)樁板墻加固填方邊坡中的土壓力問題進(jìn)行試驗(yàn)研究,得出當(dāng)樁間采用柔性擋土板時(shí)能夠提高整體加固結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,研究中還對(duì)施工期間樁前樁后土壓力特征進(jìn)行探討,進(jìn)一步明確了土壓力隨深度的變化特征。羅強(qiáng)等[16]研究了平動(dòng)位移下衡重式擋墻背土體破裂面特征及土壓力的分布。

有關(guān)擋土墻受荷的研究多是基于試驗(yàn)或者力學(xué)平衡原理求解擋土墻土壓力的大小,這是研究這種新型支檔結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ),在研究托梁和樁基時(shí),理論上將二者視為結(jié)構(gòu)單元,在計(jì)算其受力特征時(shí)常常將兩者簡(jiǎn)化為梁模型,不同的是,托梁常被視為水平地基上的橫梁,樁基被視為縱梁[17-18],理論計(jì)算中均是基于Winkler理論進(jìn)行計(jì)算。余文杰[19]將托梁和樁基視為Winkler彈性地基上的梁模型,并采用初參數(shù)解法,給出了樁基托梁和樁基不同截面處撓度、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩的解析解,并用ABAQUS有限元軟件開展了樁基托梁擋土墻的數(shù)值研究;吳云峰[20]以某變電站高填土邊坡樁基托梁擋土墻為研究對(duì)象,將托梁簡(jiǎn)化為連續(xù)梁和Winkler彈性地基梁,并將兩種梁模型進(jìn)行理論對(duì)比計(jì)算。胡雪[21]也將樁基視為梁模型,采用理論與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合研究樁基受力特征。

鑒于以上情況,首先闡述擋土墻所受土壓力基本計(jì)算方法,將土壓力水平和豎直荷載分別視為托梁和樁基的輸入荷載,簡(jiǎn)化托梁和樁基為梁模型,基于有限差分法分別對(duì)托梁和樁基內(nèi)力進(jìn)行求解,最后將本文理論應(yīng)用于實(shí)際工程案例研究。研究成果豐富了樁基托梁擋土墻設(shè)計(jì)理論,可為實(shí)際工程邊坡防護(hù)提供指導(dǎo)。

1 樁基托梁擋土墻結(jié)構(gòu)

1.1 樁基托梁擋土墻特征

樁基托梁擋土墻是一種由樁基、托梁及擋土墻組成的新支檔結(jié)構(gòu),其綜合了擋土墻與樁基托梁結(jié)構(gòu)的技術(shù)特點(diǎn),不穩(wěn)定土體荷載先由擋土墻承擔(dān),隨后由擋土墻傳遞到托梁,再傳遞到樁基上,樁底嵌入穩(wěn)定巖層內(nèi),巖層反力使得樁基托梁擋土墻整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,可有效加固邊坡,是一種較優(yōu)的支檔結(jié)構(gòu),常用于填土邊坡較高且下方地基承載力較小的情況,其常見的支護(hù)形式如圖1所示。

圖1 樁基托梁擋土墻結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure drawing of pile joist retaining wall

1.2 擋土墻土壓力計(jì)算理論

作用在擋土墻上的荷載主要為土壓力,如何計(jì)算土壓力對(duì)擋土墻的尺寸設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。目前,關(guān)于擋土墻土壓力的計(jì)算模式較為系統(tǒng)和成熟,一般采用庫倫土壓力理論和朗肯土壓力理論進(jìn)行計(jì)算,土壓力大小與擋土墻類型、場(chǎng)地地形以及土體性質(zhì)等有關(guān)。對(duì)于扶壁式擋土墻而言,其三維結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 扶壁式擋土墻結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structural schematic diagram of buttress retaining wall

有關(guān)扶壁式擋土墻的土壓力計(jì)算問題,較為認(rèn)可的計(jì)算方法是參照《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》(GB 50330—2013),如圖3所示,擋土墻向后延伸較長(zhǎng),形成L形擋土墻,并假定AB為墻背,且發(fā)生第二破裂面,此時(shí)墻背摩擦角與土體內(nèi)摩擦角相等[19]。

α為第二破裂面與豎直線的夾角;H為墻身高度;θ為第一破裂面與豎直線的夾角;γ為墻背與豎直線的夾角;H為擋土墻高度圖3 扶壁式擋土墻土壓力計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.3 Calculation diagram of earth pressure on buttress retaining wall

根據(jù)圖3可以確定墻后土體可能的第一破裂角及第二破裂角,其表達(dá)式分別為

(1)

式(1)中:φ為土體內(nèi)摩擦角;β為墻后填土表面與水平線的夾角;ε為破裂面夾角,其表達(dá)式為

(2)

當(dāng)γ>α,表示第二破裂面與填土夾角位于AC之間,此時(shí)破裂面自由出現(xiàn);當(dāng)γ≤α?xí)r,此時(shí)可假定墻背作為第二破裂面,則土壓力計(jì)算表達(dá)式為

(3)

式(3)中:Ex為墻后水平主動(dòng)土壓力;Ey為墻后豎向主動(dòng)土壓力;δ為墻后土體容重;Ea為作用于破裂面上的土壓力,可表示為

(4)

式(4)中:W為破裂土體自重。

2 基于有限差分法的理論計(jì)算

2.1 基于有限差分法的托梁內(nèi)力計(jì)算理論

托梁處于擋土墻和下方基樁的中間,主要起連接作用,可將作用于擋土墻的荷載傳遞到樁體上,在分析托梁受力特征時(shí),分為連續(xù)梁和彈性地基梁兩種計(jì)算方法對(duì)托梁內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算,托梁及樁基三維示意圖及二維平面圖如圖4和圖5所示[19]。

q為托架上覆勻部荷載圖4 樁基托梁結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure diagram of pile foundation joist

L為計(jì)算跨度圖5 托梁樁基簡(jiǎn)化受力簡(jiǎn)化圖Fig.5 Simplified load diagram of joist pile foundation

2.1.1 托梁連續(xù)梁理論

連續(xù)梁理論忽略地基土的支撐作用,將樁基支撐作用視為主要的支撐荷載,這種計(jì)算方法簡(jiǎn)化了地基對(duì)托梁的作用效果,根據(jù)連續(xù)梁內(nèi)力計(jì)算假定,可以得到梁內(nèi)力的計(jì)算公式,如式(5)～式(7)所示。

支座彎矩的計(jì)算公式為

(5)

跨中彎矩的計(jì)算公式為

(6)

支座剪力的計(jì)算公式為

(7)

2.1.2 托梁彈性地基梁理論

彈性地基梁理論考慮地基對(duì)托梁的支撐作用,則樁基對(duì)托梁的作用可看作是邊界條件,任意兩樁基之間的托梁可用彈性地基梁理論進(jìn)行計(jì)算,則土體對(duì)托梁作用可視為具有一定剛度的彈簧,計(jì)算力學(xué)模型如圖6所示。

d為托梁寬度圖6 托梁計(jì)算模型Fig.6 Calculation model of joist

根據(jù)Winkler彈性地基梁理論,梁的變形和地基的變形同等變化,地基變形只與該點(diǎn)受力相關(guān),則地基對(duì)托梁的反力可表示為

P(x)=Ku(x)

(8)

式(8)中:K為地基的基床系數(shù);u為梁截面的變形;x為橫坐標(biāo);P為地基反力。

根據(jù)力學(xué)平衡條件,則可以推出均布荷載下Winkler彈性地基梁的擾曲微分方程為

(9)

式(9)中:E為托梁的彈性模量;I為托梁的慣性矩。

根據(jù)梁基本變形理論,梁截面的彎矩和剪力與變形量之間的關(guān)系為

(10)

式(10)中:M為托梁的彎矩;Q為托梁的剪力。

式(10)為4階偏微分方程,難以求得函數(shù)表達(dá)式,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,可根據(jù)差分原理將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解,對(duì)于4階差分,需要5個(gè)節(jié)點(diǎn)參與,可在此虛擬節(jié)點(diǎn)對(duì)托梁受力特征進(jìn)行分析,對(duì)于長(zhǎng)為L(zhǎng)的托梁,可離散如圖7所示。

圖7 托梁離散示意圖Fig.7 Discrete diagram of joist

則式(9)微分方程可表示為

(11)

式(11)中:ui為任意差分節(jié)點(diǎn)處的變形;l為差分節(jié)點(diǎn)寬度;qi為任意差分節(jié)點(diǎn)處的荷載。

剪力和彎矩同樣可寫為差分形式如式(12)所示。

(12)

托梁是被看作是兩端固定支撐的梁模型,其邊界條件視為固定端,則兩端位移和轉(zhuǎn)角均為0,有如式(13)、式(14)所示的關(guān)系成立。

兩端位移為0,有

(13)

式(13)中:u0和un分別為差分節(jié)點(diǎn)0和n處的變形。

兩端轉(zhuǎn)角為0,有

(14)

令式(13)中i=0,再結(jié)合式(15)、式(16)可以得到虛擬節(jié)點(diǎn)u-1、u-2、un+1和un+2的表達(dá)式。

將式(13)寫為矩陣的形式有

(Ka+Kb)u=q

(15)

式(15)中:Ka為托梁位移剛度矩陣;u為托梁位移矩陣;q為托梁受荷載矩陣;Kb為托梁抗彎剛度矩陣。

(16)

(17)

q=d[q1,q2,…,qn-1]T

(18)

式(18)中:勻部荷載作用下qn=q。

求解式(15),則可以得到托梁變形結(jié)果,再根據(jù)式(14)進(jìn)一步可計(jì)算得到托梁的彎矩及剪力。

2.2 基于有限差分法的樁的內(nèi)力計(jì)算理論

在填土邊坡工程當(dāng)中,填土層區(qū)域采用擋土墻支護(hù),填土區(qū)域下方巖層巖性一般為軟弱層,擋土墻修建在該地基上存在地基承載力不足使得擋土墻存在失穩(wěn)可能,采用樁基托梁擋土墻結(jié)構(gòu)可讓擋土墻所受荷載通過托梁及樁基最后傳遞到下方最穩(wěn)定基巖層中,若采用單排抗滑樁結(jié)構(gòu),其支護(hù)結(jié)構(gòu)模型可簡(jiǎn)化為圖8。

H′為抗滑樁深度;hi為抗滑樁樁后各巖層深度,i=1,2,…,n;D為抗滑樁寬度;K為抗滑樁地基系數(shù)圖8 樁基計(jì)算力學(xué)模型Fig.8 Computational mechanical model of pile foundation

假設(shè)在樁頂受到擋土墻傳遞的水平力作用,對(duì)于位于土層中樁受到土的抗力作用,其抗力可表示為

P(x,z)=K(z)Dw(x)

(19)

式(19)中:x為水平坐標(biāo)點(diǎn);z為深度坐標(biāo)點(diǎn);P(x,z)為樁周土的抗力;K(z)為土層地基系數(shù);ω(x)為樁的水平位移;D為樁身寬度。

根據(jù)歐拉梁微段平衡方程,可建立在外載作用下樁身變形控制微分方程如式(20)所示。

(20)

式(20)中:G(x)為抗滑樁所受水平荷載。

地基的基床系數(shù)K(y)隨深度z線性增加,則K(y)=mz,其中m為土層的基床比例系數(shù)。

則式(20)可進(jìn)一步寫為

(21)

假設(shè)樁基位于均勻埋地巖層中,樁頂和樁底分別滿足式(22)所示的邊界條件。

樁頂處邊界條件為

(22)

樁底視為固定邊界,位移和轉(zhuǎn)角均為0,有

(23)

同樣基于有限差分原理,將樁基離散為多個(gè)差分節(jié)點(diǎn),考慮到一個(gè)節(jié)點(diǎn)的計(jì)算需要多個(gè)節(jié)點(diǎn)參與,分別在樁頂和樁頂多給出2個(gè)節(jié)點(diǎn),樁基離散化及虛擬節(jié)點(diǎn)如圖9所示。

n為差分節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)圖9 抗滑樁離散化Fig.9 Anti-slide pile discretization

用差分格式可表示為

imilDwi=DGi

(24)

式(24)中:ωi為抗滑樁任意差分節(jié)點(diǎn)處的變形;mi為抗滑樁差分第i節(jié)點(diǎn)處地基系數(shù);Gi為任意差分節(jié)點(diǎn)處的水平荷載。

樁頂邊界條件用差分格式可寫為

(25)

根據(jù)式(25)可以得到虛擬節(jié)點(diǎn)的表達(dá)式為

(26)

根據(jù)樁底邊界條件,樁底虛擬節(jié)點(diǎn)的表達(dá)式為

(27)

令式(24)中i=0,再結(jié)合式(26)可以得到樁頂和樁底虛擬節(jié)點(diǎn)ω-1、ω-2、ωn+1和ωn+2的表達(dá)式。

將式(26)寫為矩陣的形式有

(Kza+Kzb)w=G

(28)

式(28)中:Kza為樁基位移剛度矩陣;Kzb為樁基抗彎剛度矩陣;w為樁基位移矩陣;G為荷載矩陣。

(29)

(30)

G=D[g0,g1,G2,…,Gn-3,Gn-2,Gn-1]T

(31)

求解式(28)～式(31)所示的矩陣方程,則可以得到抗滑樁變形計(jì)算結(jié)果,再根據(jù)式(12)進(jìn)一步可計(jì)算得到抗滑樁的彎矩及剪力。

3 工程實(shí)例

某變電站站址原始地貌屬于丘陵地貌,地勢(shì)起伏較大,站址范圍原為水泥有限責(zé)任公司場(chǎng)地,現(xiàn)已廢棄?，F(xiàn)地形為原場(chǎng)地開山堆填而成。整個(gè)站址東高西低,呈三級(jí)臺(tái)階狀,第一級(jí)臺(tái)階坡腳自然標(biāo)高約374 m,變電站場(chǎng)平標(biāo)高364.5 m。場(chǎng)平后,變電站南側(cè)將形成最大高度約25 m的填方邊坡,該邊坡整體表現(xiàn)為東高西低;坡腳高程約364.5 m,后緣高程約395 m,地表坡度從邊坡后緣至前緣近似呈兩段直線,邊坡坡度在20°～45°,邊坡后緣為擬修變電站,邊坡所在場(chǎng)地如圖10所示。

圖10 邊坡所在場(chǎng)地圖Fig.10 Site map of the slope

由于填土堆積時(shí)間過短,在其自重和外力作用下,如雨水滲入浸泡,會(huì)產(chǎn)生沉降變形及不均勻下沉,導(dǎo)致地坪開裂,使埋置于填土內(nèi)的基礎(chǔ)設(shè)施產(chǎn)生破壞或變形。設(shè)計(jì)采用“扶壁式擋墻+支護(hù)樁”進(jìn)行支護(hù)。墻高10 m,墻寬0.8 m,底板高1.2 m,擋墻下接長(zhǎng)3 m,高為0.6 m的托梁,托梁下支護(hù)樁采用“雙排樁”型式,方樁樁徑1 m,樁排距3 m,樁長(zhǎng)12 m,扶壁式擋墻斷面及土層分布如圖11所示,計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters

圖11 支護(hù)結(jié)構(gòu)所在地質(zhì)斷面圖Fig.11 Geological section diagram of the supporting structure

最終計(jì)算得到墻背第一破裂角為32.5°,無第二破裂面存在,墻背主動(dòng)土壓力Ea=442.301 kN,水平方向和豎直方向土壓力分別可計(jì)算為Ex=314.4 kN和Ey=311.1 kN,墻身截面積13.25 m2,重量為331.2 kN,整個(gè)墻踵上的土重214.9 kN,則可求解得到豎直方向總荷載為Nm=860 kN,計(jì)算中地基系數(shù)K取4 000 kN/m4,假定豎直方向的荷載全部由托梁承擔(dān),則可以根據(jù)連續(xù)梁法和彈性地基梁法求解得到梁彎矩和剪力的計(jì)算結(jié)果如圖11、圖12所示。

圖12 托梁彎矩圖和剪力圖Fig.12 Bending moment diagram and shear force diagram of joist

從圖11、圖12(a)可以看出,彈性地基梁法和傳統(tǒng)地基梁法在彎矩結(jié)果近似,不同的是,彈性地基梁法在跨中彎矩和支座彎矩處數(shù)值均小于傳統(tǒng)地基梁法,這是源于連續(xù)梁法不考慮地基反力作用,過小的評(píng)價(jià)了托梁的承載能力,而彈性地基梁法考慮地基反力作用,將支座處視為固定端,可有效降低托梁在兩端的承受力;分析兩種方法計(jì)算求解得到的剪力結(jié)果可以得到類似彎矩計(jì)算結(jié)果的結(jié)論,傳統(tǒng)連續(xù)梁剪力圖(圖13)為一條直線,即托梁上部荷載全部由托梁承受,導(dǎo)致托梁兩端受到最大的剪力作用,若以傳統(tǒng)連續(xù)梁法作為邊坡防護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù),這是一種最保守的設(shè)計(jì)方法,會(huì)造成托梁材料的過多浪費(fèi)。

圖13 樁基位移圖、彎矩圖和剪力圖Fig.13 Displacement diagram,bending moment diagram and shear force diagram of pile foundation

假設(shè)水平方向的荷載全部由樁基承擔(dān),前后排兩根樁承受荷載近似看作100%、75%、50%和25%的分擔(dān)比,則單根樁基受力特征可視為在樁頂受到剪力作用,樁基地基系數(shù)m取4 000 kN/m4,此時(shí)采用所提出的彈性地基梁法和傳統(tǒng)地基梁法計(jì)算結(jié)果如圖13所示。

從圖13可以看出,不同分擔(dān)比下,彈性地基梁理論結(jié)果顯示在受到樁頂橫向作用力下,樁基彎矩隨樁基埋深的增加而減小,彈性地基梁法顯示樁基在樁頂位置處具有最大彎矩,隨后彎矩很快趨于0,剪力出現(xiàn)在樁頂附近,隨后在地基作用下,剪力逐漸減小為0,不同分擔(dān)比下,樁的位移、彎矩和剪力存在不同,表現(xiàn)在,當(dāng)全部荷載均有樁基承擔(dān)時(shí),樁基位移最大,無論是正彎矩還是負(fù)彎矩均最大,剪力也最大,此時(shí)樁基具有較大的變形。

4 結(jié)論

在具有軟弱地基的邊坡治理工程當(dāng)中,傳統(tǒng)的單一支護(hù)結(jié)構(gòu)難以保證邊坡的安全穩(wěn)定,托梁樁基擋土墻支護(hù)結(jié)構(gòu)作為一種新型支檔結(jié)構(gòu)在該地基中具有較好的工程實(shí)用價(jià)值,現(xiàn)今缺乏有效的理論算法對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算,以某變電站填土邊坡為研究對(duì)象,以有限差分原理為核心理論基礎(chǔ),對(duì)該種結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論求解,得出以下結(jié)論。

(1)根據(jù)扶壁式擋土墻墻后土壓力平衡條件,采用朗肯土壓力模型,求解得到墻后土壓力大小,將土壓力分為水平荷載和豎直荷載,考慮墻體及土體自重,并分別作為托梁和樁基受力特征計(jì)算的輸入荷載。

(2)將托梁及樁基分別視為水平方向及豎直方向彈性地基上的梁模型,基于有限差分理論,推導(dǎo)得到托梁及樁基在受力條件下的變形求解方法。

(3)進(jìn)一步將理論應(yīng)用于實(shí)際工程案例,并對(duì)比傳統(tǒng)連續(xù)梁模型,結(jié)果表明,在計(jì)算托梁彎矩和剪力時(shí),有限差分解均略小于連續(xù)梁解,這是因?yàn)檫B續(xù)梁解未考慮地基的支撐作用;在計(jì)算樁基受力特征時(shí),后排樁靠近滑坡,承受較大的荷載,將后排樁與前排樁承受荷載的比例分為100%、75%、50%和25%進(jìn)行特征量計(jì)算討論,結(jié)果發(fā)現(xiàn)后排樁位移、彎矩和剪力隨承受荷載的增大而增大,總體上,樁基形變量較小,邊坡總體處于安全狀態(tài)。