一道診斷性試題的多解探究及溯源推廣

劉 艷

(四川省名山中學(xué),四川 雅安 625100)

高考數(shù)學(xué)對圓錐曲線的考查一直體現(xiàn)基礎(chǔ)與綜合并存,應(yīng)用與創(chuàng)新充分銜接的特點,每道圓錐曲線題都值得我們?nèi)ド钊胩骄亢退伎?由此引發(fā)的很多高考改編題也耐人尋味.本文以一道診斷性試題為例,對此題展開多解探究,并對問題進(jìn)行溯源和推廣,得到了一般性結(jié)論,最后對解析幾何教學(xué)中如何提升學(xué)生核心素養(yǎng)方面進(jìn)行反思,以期能在教學(xué)實踐中更好地推進(jìn)新高考改革.

1 題目呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2 多解探究

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

2.2.1根與韋達(dá)合理搭橋,慧眼識金巧消元

解法1 由題意直線l的斜率不為零,故設(shè)其方程為x=my+4.

(3m2+4)y2+24my+36=0.

①

由Δ>0,得m2>4.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由韋達(dá)定理有

易知F(1,0),所以

解法5由題意直線l的斜率存在且不為零,故設(shè)其方程為y=k(x-4).

(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.

又F(1,0),所以

2.2.2數(shù)形結(jié)合巧移圖形,齊次轉(zhuǎn)化構(gòu)斜率

3x2+6x(mx+ny)+4y2-9(mx+ny)2=0.

整理,得(3+6m-9m2)x2+(6n-18mn)xy+(4-9n2)y2=0.

2.2.3活用條件結(jié)論齊構(gòu)造,高屋建瓴妙解題

整理,得12(x-1)2+(12-3m2)y2=0.

兩邊同時除以(x-1)(x≠1),得

3 溯源推廣

3.1 試題溯源

近年來,很多高考解析幾何題均以高等幾何中的有關(guān)概念和性質(zhì)為指導(dǎo),本題追溯到高等幾何中的極點、極線內(nèi)容,下面給出相關(guān)概念和定理.

定義1點P在圓錐曲線外,過點P作曲線的兩條割線,分別交曲線于A,B和C,D,設(shè)AC∩BD=X,AD∩BC=Y,則直線XY為點P的極線(如圖1).

圖1 定義1圖 圖2 定義2圖

定義2點P在圓錐曲線內(nèi),過點P作兩條直線,分別交曲線于A,B和C,D,設(shè)AC∩BD=X,AD∩BC=Y,則直線XY為點P的極線如圖2所示.

定理1 (配極原則) 如果點P的極線通過點Q,則點Q的極線也通過點P.

圖3 定義1圖

3.2 推廣探究

通過以上極點極線知識分析,進(jìn)一步推廣得到如下結(jié)論:

4 解題反思

4.1 多解探究,積累通性通法

通過一題多解,引導(dǎo)學(xué)生積累解決一類問題的通性通法,達(dá)到“解一題,會一法,通一類”的學(xué)習(xí)目的.本題中第(2)問很多同學(xué)知道用韋達(dá)定理來解決問題,但卻無法整體找到兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系,橋梁建立不起來,最后無計可施只能到韋達(dá)定理這一步為止了.但如果想到借助求根公式與韋達(dá)定理同時搭橋,本題也能迎刃而解.如果能再借助圖形分析猜想直線AF,BF的傾斜角互補(bǔ),再驗證一下它們的斜率之和,本題也能順利解決.所以,在圓錐曲線解題中,韋達(dá)定理雖然經(jīng)常用,但很多學(xué)生只通其一不通其二,在遇到這種所謂的非對稱結(jié)構(gòu)運算問題時,學(xué)生如果沒有經(jīng)驗,考試時是難以過關(guān)的.而齊次構(gòu)造是處理斜率問題的通性通法,如果學(xué)生能靈活處理好條件結(jié)論中的代數(shù)關(guān)系,此題也能很好地解決[2].

4.2 把握本質(zhì),重視思想運用

素養(yǎng)的培養(yǎng)更重要的是要注重數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),領(lǐng)悟知識背后的本質(zhì),重視知識背后的數(shù)學(xué)思想的滲透.高中解析幾何內(nèi)容兼具幾何與代數(shù)雙重特性,在教學(xué)時應(yīng)不拘泥于套路形式,應(yīng)突出和把握問題的本質(zhì).比如本題中韋達(dá)定理學(xué)生學(xué)得太死了,導(dǎo)致學(xué)生感覺用韋達(dá)定理解決不了這個問題,其實本題運用的本質(zhì)是消元和轉(zhuǎn)化思想,如何消元,如何將已知轉(zhuǎn)化出來為我所用或者將未知轉(zhuǎn)化為已知,處理方法有很多種,思路打開了,問題也就能解決了.