橫縱向位移激勵下變長度梁的動力學(xué)分析

劉冠男，胡振東

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

1 引言

在深井、核電站等大型建筑中，存在豎直放置的變長度操作桿，用于實現(xiàn)狀態(tài)控制、信號傳輸?shù)裙δ?。在對該類結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震設(shè)計時，除了要檢驗結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，還需要考慮結(jié)構(gòu)的變形，變形過大則可能影響功能實現(xiàn)，甚至產(chǎn)生碰撞。在地震作用下，變長度操作桿固定于地面的頂端會隨地面移動并引發(fā)結(jié)構(gòu)振動，這一過程可以簡化為軸向運動變長度懸臂梁在位移激勵下的振動。

關(guān)于軸向運動變長度梁的研究主要集中于橫向自由振動與穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［1-3］利用廣義Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)法研究了軸向運動Euler梁、Timoshenko梁、粘彈性梁的自由振動特性。文獻(xiàn)［4-6］以機(jī)械臂、航天器天線等結(jié)構(gòu)為原型，對變長度梁模型進(jìn)行了動力學(xué)和穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［7-8］利用Euler梁理論，分別對均勻變長度梁與自由端帶有主動振子的變長度梁進(jìn)行了振動控制的研究。文獻(xiàn)［9］研究了功能梯度材料變長度懸臂梁模型的動力響應(yīng)。文獻(xiàn)［10-12］將火炮系統(tǒng)簡化為移動質(zhì)量作用下的變長度懸臂梁模型，建立了橫向振動方程并近似求解出振動響應(yīng)。這些研究沒有考慮到外激勵的作用，而外激勵作用下動力學(xué)分析的研究對象通常是定長度梁。文獻(xiàn)［13］研究了基礎(chǔ)激勵作用下軸向運動定長度懸臂梁的振動及穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)［14-16］運用復(fù)模態(tài)法、多尺度法等方法研究了軸向運動簡支梁的受迫振動。文獻(xiàn)［17］運用節(jié)點生死方法研究了簡諧激勵作用下軸向運動外伸梁的橫向振動特性。文獻(xiàn)［18］研究了功能梯度梁在集中移動諧波荷載作用下的自由振動和強(qiáng)迫振動。這些研究考慮了軸向運動對振動的影響，但沒有考慮梁長度變化對振動的影響。目前關(guān)于軸向運動梁的動力學(xué)研究中，同時考慮梁時變長度與外激勵作用的研究較少，且往往只關(guān)注于橫向方向的振動。

在以往該類研究的基礎(chǔ)上，以變長度操作桿為研究對象，建立了變長度梁在橫向與縱向位移作用下的動力學(xué)方程，并通過數(shù)值仿真方法近似求解出變長度梁在簡諧波與地震波作用下的振動響應(yīng)。結(jié)果說明了在對變長度梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時，考慮結(jié)構(gòu)時變性的影響是必要的。

采用的方法與算法為軸向運動梁動力學(xué)分析的研究補(bǔ)充了同時考慮梁長度變化與橫縱兩個方向位移激勵的內(nèi)容，為工程應(yīng)用中相似時變結(jié)構(gòu)的抗震分析提供了參考。

2 變長度梁的振動方程

將變長度操作桿簡化為變長度懸臂梁模型，如圖1所示。設(shè)梁的橫截面積為A，截面慣性矩為I，密度為ρ，彈性模量為E。梁上端處于剛性滑槽中，且與嵌入到滑槽中的齒輪嚙合，梁下端為自由端。梁在齒輪的驅(qū)動下可以在滑槽內(nèi)沿軸向上下滑動，設(shè)軸向運動速度為v(t) =v0+at，其中，v0是軸向初始速度，a是軸向運動的加速度，為定值。梁在軸向運動的過程中，梁的懸臂長度也隨時間發(fā)生改變，設(shè)梁的初始長度為l0，則梁的長度可表示為。在上述變長度梁模型中，滑槽限制了變長度梁頂端的橫向位移，齒輪限制了變長度梁頂端的縱向位移。設(shè)yg(t)為施加在頂部滑槽上的橫向地震位移，設(shè)ug(t)為通過齒輪施加在變長度梁頂端的縱向地震位移。

圖1 變長度梁的振動力學(xué)模型Fig.1 Vibration Model of Time-Varying Beam

縱向運動包括齒輪帶動及縱向位移激勵作用下的剛體運動和結(jié)構(gòu)自身在軸向方向的彈性變形。參考相關(guān)研究［19］可知，相同激勵下，軸向運動懸臂梁的軸向振動響應(yīng)要遠(yuǎn)小于橫向振動響應(yīng)，軸向變形引起的位移相比于橫向位移可忽略不計。因此考慮在縱向方向上忽略彈性振動，采用剛體運動處理的變長度梁抗震分析簡化模型。

參考支座位移激勵下梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)研究［20］，以梁頂端滑槽支承處的初始位置為原點，梁軸向向下為x'軸方向，橫向為y'軸方向，建立以地面為參照的絕對坐標(biāo)系O'x'y'。以梁頂端支承為原點，梁軸向向下為x軸方向，橫向為y軸方向，建立以梁頂端支承為參照的相對坐標(biāo)系Oxy。則梁上任意一點相對于地面的位移可表示為：

梁任意一點絕對坐標(biāo)與相對坐標(biāo)之間的關(guān)系可表示為：

變長度梁的動能為：

變長度梁的勢能為：

式中：P(x，t) —系統(tǒng)的軸力，由重力加速度、相對滑槽運動的軸

向加速度與縱向地震激勵加速度引起的慣性力組成，可表示為：

變長度梁外載荷所作的功W可表示為：

式中：p(t) —橫向地震激勵作用在滑槽的外載荷。

根據(jù)廣義Hamilton原理可知：

將式（3）～式（6）代入式（7），考慮δy是任意的，可得到橫縱向地震作用下變長度梁的動力學(xué)方程：

邊界條件為：

3 振動方程的近似求解

變長度梁作為時變系統(tǒng)，其各階模態(tài)存在時變性。采用修正后的Galerkin法求解其近似響應(yīng)較為方便［21］。設(shè)描述變長度梁振動形態(tài)的振型函數(shù)為φ[x(t)]，描述時間變化的時間函數(shù)為q（t）。為方便求解，用變量ξ=x/l（t）作為振型函數(shù)中的自變量，設(shè)

式中：n—模態(tài)截斷階數(shù)。參考關(guān)于變長度梁動力響應(yīng)求解的研究［1］，考慮下列兩點邊值問題：

該問題的頻率方程與振型函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：ki—式（13）的第i個解；

系數(shù)Ci由正交性條件確定。

各矩陣元素的表達(dá)式為：

求解系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)，將初始條件按振型展開：

根據(jù)靜力學(xué)方法，變長度梁初始條件下的變形可表示為：

4 數(shù)值仿真算例

為驗證動力學(xué)方程的正確性，選擇文獻(xiàn)［1］的算例進(jìn)行驗證。令g=yg=ug= 0，線密度ρA=27kg/m，抗彎剛度EI=23300N·m2，梁的收縮速度為1m/s，梁的初始長度為7m，梁末端初始條件為。

運用Newmark-β法取前四階模態(tài)進(jìn)行計算，求解該變長度梁的振動響應(yīng)。

計算結(jié)果和文獻(xiàn)［1］算例的計算結(jié)果基本一致，由此可以驗證上文所述動力學(xué)方程的正確性，如圖2所示。

圖2 l0 = 7m，v0 =-1m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.2 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 7m，v0 = —1m/s，a = 0m/s2

以某核電站變長度操作桿作為算例，參數(shù)設(shè)置為：線密度ρA=11.74 kg/m，抗彎剛度EI=70905N·m2，時變長度在（5～10）m范圍內(nèi)，重力加速度取為g=9.8m/s2。

為選取合適的模態(tài)數(shù)，計算變長度梁長度為5m和10m時前四階振型的有效質(zhì)量系數(shù)，如表1所示。

表1 變長度梁四階振型的橫向有效質(zhì)量系數(shù)Tab.1 Transverse Effective Mass Coefficient of the Fourth Order Mode of the Length-Varying Beam

此時振型累計參與質(zhì)量達(dá)到總質(zhì)量90%，符合抗震規(guī)范的要求［22］。此外，還要保證選取到地震頻率范圍內(nèi)的所有模態(tài)。

算例前五階模態(tài)頻率在地震頻率范圍內(nèi)，故取前六階模態(tài)進(jìn)行計算。

為觀察變長度梁的振動規(guī)律，先對變長度梁模型施加地震頻譜范圍內(nèi)的簡諧激勵，設(shè)初始條件為0m/s，外激勵為yg(t)=ug(t)= 0.4 sin(t)。

變長度梁在簡諧激勵下以不同時變速度進(jìn)行軸向運動所得到的末端位移曲線，如圖3～圖8所示。

圖3 l0 = 10m，v0 = —0.2m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.3 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.2m/s，a = 0m/s2

圖4 l0 = 5m，v0 = 0.2m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.4 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.2m/s，a = 0m/s2

圖5 l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.01 m/s2的自由端位移Fig.5 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.01m/s2

圖6 l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.01 m/s2的自由端位移Fig.6 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.01m/s2

圖7 l0 = 10m，v0 = —0.5m/s，a = 0.025m/s2的自由端位移Fig.7 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.5m/s，a = 0.025m/s2

圖8 l0 = 5m，v0 = 0.5m/s，a = —0.025m/s2的自由端位移Fig.8 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.5m/s，a = —0.025m/s2

觀察圖3～圖8可知，在變長度梁伸展過程中，自由端振動頻率逐漸減小，而振幅逐漸增大。在變長度梁收縮時，自由端振動頻率逐漸增大，而振幅逐漸減小。

接下來計算定長度梁與變長度梁在真實地震激勵下的振動響應(yīng)，輸入的橫向與縱向地震波，如圖9所示。

圖9 橫向與縱向地震位移時程曲線Fig.9 Time History Curve of Lateral and Longitudinal Seismic Displacement

定長度梁在地震激勵下的末端位移曲線，如圖10、圖11所示。

圖10 l=5m的自由端位移Fig.10 The Tip Deflection of the Beam when l=5m

圖11 l=10m的自由端位移Fig.11 The Tip Deflection of the Beam when l=10m

變長度梁在地震激勵下以不同時變速度進(jìn)行軸向運動所得到的末端位移曲線，如圖12～圖17所示。

圖12 l0 = 10m，v0 = —0.02m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.12 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.02m/s，a = 0m/s2

圖13 l0 = 5m，v0 = 0.02m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.13 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.02m/s，a = 0m/s2

圖14 l0 = 10m，v0 = 0m/s，a= —0.008m/s2的自由端位移Fig.14 The Tip Deflection of theBeam when l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.008m/s2

圖15 l0 = 5m，v0 = 0m/s，a= 0.008m/s2的自由端位移Fig.15 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.008m/s2

圖16 l0 = 10m，v0 = —0.24m/s，a = 0.006m/s2的自由端位移Fig.16 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.24m/s，a = 0.006m/s2

圖17 l0 = 5m，v0 = 0.24m/s，a = —0.006m/s2的自由端位移Fig.17 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.24m/s，a = —0.006m/s2

整理定長度梁與不同軸向運動下的變長度梁在相同地震作用下的末端最大位移結(jié)果，如表2所示。

表2 梁末端最大位移Tab.2 The Maximum Tip Deflection of the Beam

根據(jù)算例的計算結(jié)果可以看出，當(dāng)變長度梁在（5～10）m 范圍內(nèi)做軸向收縮運動時，變長度梁的地震響應(yīng)大于梁長為10m和5m的固定梁的地震響應(yīng)。因此，在對變長度梁進(jìn)行抗震分析時，如果以固定結(jié)構(gòu)代替時變結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算，最終得到的結(jié)果可能小于結(jié)構(gòu)真實的地震響應(yīng)。

5 結(jié)論

這里以實際工程中的變長度操作桿為研究對象，提出在縱向方向上忽略彈性振動、作為剛體運動處理的抗震分析簡化模型，建立了橫縱向地震激勵下變長度梁的時變動力學(xué)方程，并運用假設(shè)模態(tài)法和修正后Galerkin法近似求解。通過數(shù)值算例分析可知，在橫縱向簡諧激勵下，變長度梁在軸向伸展時，振動頻率減小而振幅增大，軸向收縮時，振動頻率增大而振幅減小。在地震波作用下，變長度梁在收縮時，其末端最大位移大于相同長度范圍內(nèi)固定梁的末端最大位移。上述對比說明，用固定結(jié)構(gòu)的抗震分析方法對時變結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析不滿足保守性原則。為保證結(jié)構(gòu)的安全性，在對類似具有時變性的結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時，應(yīng)充分考慮結(jié)構(gòu)時變性的影響。