利用凸優(yōu)化方法的多航天器編隊(duì)重構(gòu)軌跡規(guī)劃

劉幸川，陳丹鶴，徐 根，廖文和

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引 言

隨著微小型航天器與分布式空間系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展,通過(guò)多航天器協(xié)同編隊(duì)實(shí)現(xiàn)多類型、多維度的數(shù)據(jù)獲取、融合處理及分析決策的創(chuàng)新理念[1],成為航天領(lǐng)域重要的研究熱點(diǎn)。相比于單星龐大復(fù)雜的系統(tǒng),由近距多航天器組成的編隊(duì)或星群,具備更好的星地覆蓋能力、在軌容錯(cuò)性及綜合性能指標(biāo),甚至可完成單航天器難以實(shí)現(xiàn)的任務(wù)。同時(shí)多個(gè)微小型航天器組建的編隊(duì)系統(tǒng)執(zhí)行在軌任務(wù),可大大降低系統(tǒng)復(fù)雜性、縮短研制周期、提高任務(wù)成功率[2]。因此,編隊(duì)飛行領(lǐng)域受到國(guó)內(nèi)外諸多專家學(xué)者的廣泛關(guān)注,多項(xiàng)基于編隊(duì)飛行的航天任務(wù)開(kāi)展實(shí)施[3-4]。

航天器在軌飛行時(shí),會(huì)受到多種攝動(dòng)力的干擾,包括地球攝動(dòng)引力、大氣阻力、太陽(yáng)光壓及三體引力等。此外,航天器間特性參數(shù)的差異也會(huì)加劇星間的受力不均,如航天器迎風(fēng)面質(zhì)比。這些干擾會(huì)破壞編隊(duì)的相對(duì)構(gòu)型,降低初始捕獲或者編隊(duì)重構(gòu)的精度。因此,考慮高精度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型有利于提高軌跡優(yōu)化的精度,而目前文獻(xiàn)多以簡(jiǎn)化的HCW方程為相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型。文獻(xiàn)[5]參考地球同步軌道衛(wèi)星中相對(duì)偏心率/傾角矢量分離的思路,使用相對(duì)軌道根數(shù)(Relative orbit elements,ROE)的方法描述多航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,該方法便于將J2攝動(dòng)對(duì)編隊(duì)幾何構(gòu)型的影響線性化處理[6],后續(xù)諸多學(xué)者基于此模型對(duì)J2～J6攝動(dòng)、大氣阻力差異等的影響進(jìn)行研究,獲得了較好的驗(yàn)證結(jié)果[7-9]。本文在相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模時(shí),考慮了J2～J6攝動(dòng)與大氣阻力差異的影響,以提高重構(gòu)軌跡優(yōu)化結(jié)果的精度。

多航天器編隊(duì)任務(wù),涉及到初始捕獲、重構(gòu)及編隊(duì)維持等各階段的相對(duì)軌道控制[10]。在控制過(guò)程中,需考慮諸多工程性約束,例如星間通信約束[11]、推力器推力幅值及缺省布置[12-13]、安全距離等。此外,航天器機(jī)動(dòng)消耗燃料,這決定了軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)的壽命。因此,在重構(gòu)過(guò)程中,在考慮上述約束的同時(shí),燃耗越少表明設(shè)計(jì)的軌道機(jī)動(dòng)路徑最優(yōu)[14-29]。目前,用于解決多航天器編隊(duì)重構(gòu)的軌跡優(yōu)化方法有很多,包括龐特里亞金極小值原理(PMP)[14-16]、偽譜法[17-21]、混合整數(shù)線性規(guī)劃(MILP)[22-24]、智能優(yōu)化算法[18,24-27]、凸優(yōu)化方法[27-29]等。

Li等[14]利用PMP推導(dǎo)了在雙向推力器配置下的面內(nèi)編隊(duì)重構(gòu)Bang-Bang控制方法。而后Mitani等[15]根據(jù)PMP與同倫平滑技術(shù),研究在單向推力器開(kāi)關(guān)常值推力約束與推力方向約束下的編隊(duì)在軌道平面內(nèi)的重構(gòu)方法,并將其轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)邊值問(wèn)題后求解。文獻(xiàn)[16]基于PMP方法,以兩點(diǎn)邊值的形式,解決了編隊(duì)重構(gòu)軌跡燃耗的問(wèn)題,并以滑模變結(jié)構(gòu)控制方法實(shí)現(xiàn)J2攝動(dòng)下的軌跡跟蹤控制。PMP在單航天器的軌跡優(yōu)化方法中非常方便,但較難處理多航天器協(xié)同優(yōu)化需求及動(dòng)態(tài)優(yōu)化中的防碰撞約束問(wèn)題。

文獻(xiàn)[17]使用Legendre偽譜法,將深空探測(cè)任務(wù)中多航天器編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題離散化為非線性規(guī)劃問(wèn)題(NLP),然后通過(guò)KNITRO軟件進(jìn)行尋優(yōu)求解,其中考慮了推力幅值約束和防碰撞約束。文獻(xiàn)[18]結(jié)合Legendre偽譜法和智能優(yōu)化算法中的協(xié)同進(jìn)化粒子群優(yōu)化算法,解決了深空三星編隊(duì)重構(gòu)軌跡優(yōu)化問(wèn)題,并考慮了重構(gòu)過(guò)程中的安全距離約束。Wu等[19]將編隊(duì)由跟飛構(gòu)型重構(gòu)為空間圓問(wèn)題,通過(guò)Legendre偽譜法轉(zhuǎn)換成NLP,并使用TOMLAB/SNOPT軟件求解。文獻(xiàn)[19]使用了包含J2攝動(dòng)的非線性運(yùn)動(dòng)模型,并在STK軟件中對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了校驗(yàn)。Li[20]使用PMP方法推導(dǎo)基于HCW方程的必要優(yōu)化條件,通過(guò)Radau偽譜法將其轉(zhuǎn)換為NLP,并應(yīng)用SNOPT軟件解算。Li在算例中重點(diǎn)分析了比沖與推力幅值對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。岳曉奎等[21]利用偽譜同倫法求解了近地圓軌道三星跟飛構(gòu)型的最優(yōu)燃耗轉(zhuǎn)移軌道,實(shí)現(xiàn)了Bang-Bang控制的平滑處理,但作者指出該方法計(jì)算難度較大,而文中也未考慮多航天器同時(shí)機(jī)動(dòng)的安全距離約束。

Richards等[22]使用MILP給出一種航天器近距離操作燃耗最優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡的求解方法,并利用CPLEX軟件求解。該文獻(xiàn)將編隊(duì)中其他航天器發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)的羽流影響區(qū)域視為危險(xiǎn)范圍。Mauro等[23-24]基于文獻(xiàn)[30]推導(dǎo)的常值連續(xù)小推力與ROE的映射關(guān)系及最優(yōu)機(jī)動(dòng)方案,以推力器工作時(shí)刻點(diǎn)和工作時(shí)間長(zhǎng)度為優(yōu)化變量,通過(guò)MILP方法(CPLEX求解)與粒子群優(yōu)化方法分別求解了編隊(duì)多軌飛行的重構(gòu)軌跡優(yōu)化問(wèn)題。該方法雖可大大降低計(jì)算量,卻不適用于多航天器協(xié)同優(yōu)化過(guò)程中的安全距離約束。文獻(xiàn)[25]針對(duì)航天器著陸小行星需求,使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了降落過(guò)程中防碰撞約束下的實(shí)時(shí)軌跡優(yōu)化。Sarno等[26]圍繞合成孔徑雷達(dá)(Synthetic aperture radar,SAR)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題,利用遺傳優(yōu)化算法完成了多約束下重構(gòu)最優(yōu)路徑規(guī)劃,并對(duì)比了中心化和去中心化兩種方法的計(jì)算耗時(shí)與燃耗情況。隨后Sarno等[27]以遺傳優(yōu)化算法為上層,凸優(yōu)化方法為底層,解決了SAR編隊(duì)重構(gòu)整體燃耗最優(yōu)的機(jī)動(dòng)任務(wù)規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)[28-29]基于編隊(duì)飛行L波段孔徑合成任務(wù),使用凸優(yōu)化方法規(guī)劃了編隊(duì)任務(wù)模式更迭時(shí)的轉(zhuǎn)移軌跡。與其他方法對(duì)比,凸優(yōu)化方法在約束處理、求解速度及精度方面具有較大的優(yōu)勢(shì)。

目前,針對(duì)近地圓軌道的多航天器編隊(duì)飛行重構(gòu)以及工程應(yīng)用需求,亟需研究一種考慮攝動(dòng)環(huán)境影響及實(shí)際工程約束的快速優(yōu)化求解方法。本文根據(jù)多航天器編隊(duì)重構(gòu)機(jī)動(dòng)任務(wù),基于ROE推導(dǎo)了在J2～J6攝動(dòng)與大氣阻力差異攝動(dòng)影響下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型,考慮了微小型航天器的推力缺失、幅值約束及安全距離等工程約束問(wèn)題,建立了使用凸優(yōu)化方法求解的數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)了基于CVX軟件的多航天器最優(yōu)重構(gòu)軌跡的尋優(yōu)計(jì)算,有效地解決了在近地軌道攝動(dòng)與多約束下的多航天器編隊(duì)重構(gòu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

1 動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1.1 相對(duì)軌道根數(shù)

通過(guò)傳統(tǒng)的開(kāi)普勒軌道根數(shù)定義ROE[5],如下:

δα=f(α,ac,ic)-f(αc,ac,ic)=[δa, δλ, δex, δey, δix, δiy]T

(1)

f(α,ac,ic)=[a/ac,u+Ωcosic,ex,ey,i,Ωsini]T

(2)

式中:α=[a,e,i,Ω,ω,M]T是經(jīng)典開(kāi)普勒軌道根數(shù),a為軌道半長(zhǎng)軸,e為軌道偏心率,ω為近地點(diǎn)幅角,M為平近點(diǎn)角,u=ω+M為緯度幅角,Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng),i為軌道傾角;ex=ecosω,ey=esinω;下標(biāo)c表示參考星的開(kāi)普勒軌道根數(shù),d為伴隨星軌道根數(shù);參數(shù)δa,δλ,δe=[δex,δey]T與δi=[δix,δiy]T分別表示相對(duì)軌道半長(zhǎng)軸、相對(duì)平均緯度幅角、相對(duì)偏心率矢量和相對(duì)傾角矢量。

1.2 考慮J2～J6攝動(dòng)的相對(duì)軌道根數(shù)傳播模型

文獻(xiàn)[9]給出了ROE在J2～J6攝動(dòng)引力下的傳遞矩陣的數(shù)值形式和推導(dǎo)方法,傳播矩陣的數(shù)值形式如下所示:

ΦJ2～J6(αc, Δt)=

(3)

式中:

(4)

(5)

(6)

文獻(xiàn)[31]推導(dǎo)了式(6)的具體表達(dá)式,本文直接引用并建立如式(3)的計(jì)算公式。因文章篇幅限制,本文不作介紹。

為驗(yàn)證ROE傳播模型理論的準(zhǔn)確性,本文使用GGM03引力場(chǎng)模型搭建6×6高精度軌道動(dòng)力學(xué)仿真環(huán)境,用于對(duì)比ROE的傳播模型理論值與試驗(yàn)仿真值,驗(yàn)證其準(zhǔn)確性。軌道動(dòng)力學(xué)環(huán)境中暫不考慮大氣阻力的影響。試驗(yàn)參考軌道的初始軌道根數(shù)為[6 878.137 km, 0.001, 97.8°, 160°, 30°, 27°]T,初始ROE取acδα0=[0, -18.293, -28.534, -69.698, 57.451, -138.744]Tm,為半徑r=150 m、相位角θ=30°的空間圓伴隨航天器相對(duì)軌道參數(shù)。在高精度軌道動(dòng)力學(xué)環(huán)境中,主航天器與伴隨航天器以上述參數(shù)為輸入值,使用RKF7(8)積分器獲得絕對(duì)軌道狀態(tài),并依次計(jì)算瞬時(shí)根數(shù)、平均根數(shù)與ROE的試驗(yàn)參考值。理論計(jì)算值是以acδα0為輸入值,通過(guò)式(3)的傳播矩陣獲得隨時(shí)間變化的ROE。

圖1給出了理論計(jì)算值與試驗(yàn)參考值的誤差變化情況。由圖1可知,經(jīng)過(guò)17軌后,ROE中各元素的誤差均較小,其中eacδλ最大,約為-0.23 m,這證明傳播模型的理論精度較高,可滿足較高精度的航天器編隊(duì)軌跡規(guī)劃需求。

圖1 相對(duì)軌道根數(shù)傳播模型的誤差

1.3 ROE與相對(duì)位置速度的轉(zhuǎn)換矩陣

當(dāng)編隊(duì)航天器的參考軌道為近地圓軌道時(shí),伴隨航天器的ROE參數(shù)與LVLH(local vertical local horizo-ntal)坐標(biāo)系下的速度位置狀態(tài)參量X的映射關(guān)系為:

X=M(u)acδα

(7)

式中:

(8)

綜上,可得相對(duì)位置速度狀態(tài)在J2～J6攝動(dòng)引力影響下隨時(shí)間變化的計(jì)算方法,如下所示:

Xt+Δt=M(ut+nΔt)ΦJ2～J6(αc,Δt)M-1(ut)Xt

(9)

1.4 大氣阻力差異攝動(dòng)模型

近地軌道稀薄的大氣層會(huì)對(duì)航天器產(chǎn)生氣動(dòng)阻力,是較為重要的攝動(dòng)力。大氣阻力屬非保守力,始終作用在航天器上,量級(jí)雖小,但長(zhǎng)時(shí)間的積累是不可忽視的。因此需在編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程中考慮大氣阻力差異帶來(lái)的影響。大氣阻力使在軌飛行的航天器受到與速度方向相反的加速度,加速度的大小與航天器的迎風(fēng)面積、阻力系數(shù)、運(yùn)動(dòng)速度、質(zhì)量與大氣密度有關(guān),可表示為

(10)

式中:ρ是航天器所在位置的大氣密度;v是航天器相對(duì)于地球的飛行速度標(biāo)量;S是航天器的迎風(fēng)面積;m是航天器質(zhì)量;CD是航天器的阻力系數(shù);下標(biāo)T表示沿航天器絕對(duì)速度方向。

因編隊(duì)航天器間的距離較近,其所在位置的大氣密度與絕對(duì)速度可視為相等,大氣阻力攝動(dòng)的差異僅與編隊(duì)航天器間的固有屬性相關(guān)。因此編隊(duì)航天器間的大氣攝動(dòng)差異可表示為

(11)

2 基于凸優(yōu)化的軌跡規(guī)劃方法

多航天器燃耗最優(yōu)的編隊(duì)重構(gòu)機(jī)動(dòng)可定義為:在整體燃耗最小的情況下,各伴隨航天器從其初始相對(duì)位置速度,通過(guò)軌道機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng),在規(guī)定的時(shí)間點(diǎn)達(dá)到要求的終點(diǎn)相對(duì)位置速度。在機(jī)動(dòng)過(guò)程中必須保證推力輸出情況滿足工程約束,航天器間的距離始終大于或等于安全距離。安全距離約束是一項(xiàng)非常重要的約束條件,其直接涉及到航天器的安全問(wèn)題與任務(wù)執(zhí)行。

2.1 問(wèn)題描述

為便于處理航天器間的安全距離約束,本文使用相對(duì)位置速度作為計(jì)算參量,相對(duì)運(yùn)動(dòng)的一階動(dòng)力學(xué)模型可描述為

(12)

(13)

軌跡優(yōu)化的目的是使得所有航天器尋找滿足約束條件下最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡及控制輸入u(t),并滿足多航天器機(jī)動(dòng)到指定位置且令整體燃耗最小。對(duì)于每個(gè)航天器,可使用如下目標(biāo)函數(shù)描述:

(14)

式中:1階范數(shù)表示將LVLH坐標(biāo)系下三個(gè)方向的控制輸入絕對(duì)值的總和作為燃耗目標(biāo)函數(shù)。

通過(guò)邊界約束條件令航天器的初始、終點(diǎn)狀態(tài)滿足任務(wù)要求,則這兩個(gè)邊界約束描述為:

(15)

式中:x0,j是第j個(gè)航天器的初始狀態(tài);xf,j是終點(diǎn)狀態(tài),即編隊(duì)中航天器在任務(wù)結(jié)束時(shí)的相對(duì)狀態(tài)。

在編隊(duì)重構(gòu)機(jī)動(dòng)過(guò)程中,考慮存在的實(shí)際工程約束,即推力器推力幅值約束、配置約束及安全距離約束等。上述約束問(wèn)題表達(dá)為:

(16)

式中:amax,j表示由推力器產(chǎn)生的最大加速度矢量;C=[I3×303×3]為計(jì)算第j個(gè)航天器的狀態(tài)量xj(t)和第i個(gè)航天器xi(t)位置差值的提取矩陣;dsafe是為避免航天器間發(fā)生碰撞的最小安全距離。

2.2 數(shù)學(xué)模型建立

2.2.1單航天器數(shù)學(xué)模型的建立

(1) 時(shí)間離散:k=1, …,K(t1=t0且tK=tf);

(2) 時(shí)間步長(zhǎng):Δt=tk+1-tk;

(3) 機(jī)動(dòng)時(shí)間:T=tK-Δt;

(4) 編隊(duì)編號(hào):j=1, 2, …,N。

這里假設(shè)在每個(gè)周期內(nèi),控制輸入為恒定值。

2) 動(dòng)力學(xué)模型離散化。通過(guò)拉普拉斯轉(zhuǎn)換,將動(dòng)力學(xué)的微分模型轉(zhuǎn)換為非齊次模型:

(17)

(18)

本文采用包含J2～J6攝動(dòng)影響的相對(duì)軌道根數(shù)傳播模型為中間轉(zhuǎn)移矩陣,即令:

(I+AΔt)=M(uk+1)ΦJ2～J6(αc,Δt)M-1(uk)=Φ

(19)

3) 目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù),或燃耗評(píng)估函數(shù),同樣離散化,在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的控制輸入是連續(xù)分段式常值型輸入,表達(dá)式為:

(20)

其中,1階范數(shù)用于搜索燃耗最優(yōu)的機(jī)動(dòng)軌跡。

4) 邊界條件。初始值與終點(diǎn)值即表示在初始時(shí)間與終點(diǎn)時(shí)間的航天器相對(duì)狀態(tài)量,即:

(21)

對(duì)于編隊(duì)中的任一航天器j,可通過(guò)該式約束初始與終點(diǎn)的相對(duì)位置與速度狀態(tài)。

5) 加速度值約束。因?yàn)橥屏ζ鬏敵鲋涤邢?導(dǎo)致航天器獲得加速度值存在最大值約束,該約束問(wèn)題可表述為:

(22)

當(dāng)存在LVLH坐標(biāo)系中±X方向存在推力器配置缺省時(shí),上式可表示為

(23)

6) 安全距離約束。第i個(gè)航天器與第j個(gè)航天器之間的距離在編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程中必須大于或等于最小安全距離,即:

(24)

這里i≠j。為保證在任意時(shí)刻(步長(zhǎng))內(nèi)的安全距離,并且為更好地使用凸優(yōu)化方法進(jìn)行最優(yōu)軌跡修正,將上式轉(zhuǎn)換成[32]：

(25)

2.2.2多航天器數(shù)學(xué)模型的建立

本小節(jié)將離散化后的關(guān)系式匯總為多航天器編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型,以符合凸優(yōu)化求解器的形式要求?？刂葡到y(tǒng)的凸優(yōu)化形式包括目標(biāo)函數(shù)、等式約束與不等式約束等,即:

(26)

(27)

(28)

1) 動(dòng)力學(xué)約束。對(duì)于航天器j,在k步的離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型可描述為:

(29)

則考慮k步時(shí),將該式轉(zhuǎn)換到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與第j個(gè)航天器的狀態(tài)量乘積表示為:

[06×9(k-1),-Φ, -BΔt,I6,06×9(K-k-1)]·

(30)

(31)

最后,離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)關(guān)系式在凸優(yōu)化形式中的等式約束表達(dá)式為:

(32)

(33)

式中:j=1, 2, …,N。再匯總所有航天器的控制輸入到統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)中,得到目標(biāo)函數(shù):

(34)

(35)

(36)

(37)

式中:xj,f表示第j個(gè)航天器的初始邊界條件的列向量;xj,f是終點(diǎn)邊界條件列向量。

4) 加速度約束。對(duì)于每個(gè)航天器j,推力器的配置約束及幅值約束由下式表示:

(38)

(39)

(40)

5) 安全距離約束。因每個(gè)航天器均在進(jìn)行機(jī)動(dòng),所以安全距離的計(jì)算需要進(jìn)行實(shí)時(shí)的動(dòng)態(tài)計(jì)算,其計(jì)算表達(dá)式為:

(41)

(42)

式中:

(43)

2.3 凸優(yōu)化求解

本文使用CVX軟件求解凸優(yōu)化問(wèn)題。CVX軟件由CVX Research開(kāi)發(fā),能夠快速求解凸優(yōu)化問(wèn)題,并且可免費(fèi)用于研究。用戶可選擇SDPT3,SeDuMi或者GuRoBi方法求解,求解精度分為5種模式,精度由低到高分別是:low,medium,default,high,best。

3 仿真校驗(yàn)

3.1 場(chǎng)景設(shè)計(jì)

本文構(gòu)思了一種多航天器編隊(duì)重構(gòu)場(chǎng)景,來(lái)驗(yàn)證本文方法解決轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問(wèn)題的有效性及高效性。重構(gòu)需求如圖2所示,假設(shè)初始參考軌道根數(shù)是[6 878.137 km, 0.001, 97.8°, 160°, 30°, 27°]T,編隊(duì)航天器數(shù)量為5個(gè)。在初始構(gòu)型中,1、2、3號(hào)航天器構(gòu)建成50 m空間圓構(gòu)型,相位分別為0°、120°、240°,4、5號(hào)航天器分別落后繞飛中心點(diǎn)100 m、150 m。目標(biāo)編隊(duì)是50 m投影圓構(gòu)型,5個(gè)航天器相位均布,相位順序?yàn)?、2、4、3、5,此時(shí)相位分別為-42°、30°、102°、174°、246°。圖中僅給出了LVLH坐標(biāo)系下XY平面投影示意圖。該場(chǎng)景任務(wù)包括“進(jìn)入編隊(duì)”與“由空間圓重構(gòu)為投影圓”兩個(gè)典型編隊(duì)重構(gòu)模式。仿真場(chǎng)景中各航天器的特性參數(shù)及仿真設(shè)置參數(shù)如表1所示。

表1 各航天器的特性參數(shù)及仿真參數(shù)

圖2 編隊(duì)重構(gòu)任務(wù)XY面投影示意圖

3.2 仿真結(jié)果

通過(guò)對(duì)上述場(chǎng)景進(jìn)行仿真校驗(yàn),獲得仿真結(jié)果,如圖3～圖6所示,包括相對(duì)轉(zhuǎn)移軌跡、星間距離與推力加速度值。

圖3 所有約束下的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡

圖3給出了各航天器所有約束下最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡結(jié)果,包括LVLH坐標(biāo)系下的三維圖像、XY平面軌跡投影及YZ平面軌跡投影。

圖4表示不考慮安全距離約束時(shí),5個(gè)航天器之間的距離變化曲線,即尋優(yōu)計(jì)算1的優(yōu)化結(jié)果,安全距離由黑色虛線表示。由圖4可知,在1 500～2 500 s時(shí)間范圍內(nèi),2號(hào)與4號(hào)航天器的距離小于40 m,未滿足安全距離約束。圖5表示考慮安全距離約束時(shí),各航天器之間的距離變化曲線,即尋優(yōu)計(jì)算2的求解結(jié)果。圖5表明,在考慮安全距離約束的情況下,2號(hào)與4號(hào)航天器之間的相對(duì)距離滿足大于40 m安全距離的要求,這說(shuō)明優(yōu)化結(jié)果滿足航天器間安全距離的約束條件。

圖4 無(wú)安全距離約束時(shí)相對(duì)距離變化圖

圖5 存在安全距離約束時(shí)相對(duì)距離變化圖

本文僅給出4號(hào)航天器在LVLH坐標(biāo)系下兩次優(yōu)化結(jié)果的推力加速度輸出值,如圖6所示。圖中,灰色虛線表示推力器所能輸出的最大加速度值,紅色方形實(shí)線表示X向加速度輸入值,黑色菱形虛線為Y向加速度,藍(lán)色圓形實(shí)線是Z向加速度。由圖6可知,兩次優(yōu)化結(jié)果的X方向不存在推力加速度輸出,僅在Y向、Z向存在推力輸出,且最大值小于或等于最大加速度約束值。當(dāng)考慮安全距離約束時(shí),圖6(b)的Z向加速度輸入值發(fā)生改變。

圖6 4號(hào)航天器的優(yōu)化加速度輸入值

為更好地驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)迭代過(guò)程的精度,本文通過(guò)下式對(duì)尋優(yōu)結(jié)果中各航天器的動(dòng)力學(xué)迭代精度情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì):

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結(jié)果如表2所示,不考慮安全約束的優(yōu)化計(jì)算精度量級(jí)均為10-13,考慮安全約束時(shí)的優(yōu)化計(jì)算精度量級(jí)均為10-9,而文獻(xiàn)[17]中的精度僅為10-4。由此可知,考慮安全距離約束情況的優(yōu)化求解精度比不考慮時(shí)低,但二者整體精度值都比較高,說(shuō)明該方法具有較好的動(dòng)力學(xué)精度。

表2 動(dòng)力學(xué)約束精度

文獻(xiàn)[29]利用凸優(yōu)化方法提出一種完全基于ROE解決編隊(duì)重構(gòu)機(jī)動(dòng)規(guī)劃的方法,并在算例中求解5個(gè)航天器由前后跟隨構(gòu)型重構(gòu)為空間圓形構(gòu)型的機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化方案。與之對(duì)比,算法求解效率差異在表3中給出。由表3可知,本文方法在尋優(yōu)計(jì)算方面速度較快。此外,本文方法同文獻(xiàn)[17]的偽譜法及文獻(xiàn)[20]的NLP方法對(duì)比,具有更快的求解速度。

表3 算法求解效率對(duì)比

4 結(jié) 論

本文提出一種使用凸優(yōu)化的近地圓軌道多航天器編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化方法,該方法解決了在地球引力攝動(dòng)與大氣阻力攝動(dòng)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響以及航天器推力缺省、幅值約束與安全距離等工程約束下的編隊(duì)重構(gòu)軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

本文根據(jù)J2～J6攝動(dòng)引力對(duì)平均軌道根數(shù)的攝動(dòng)影響,建立高階攝動(dòng)對(duì)ROE的傳播矩陣,并給出了ROE與相對(duì)位置速度狀態(tài)的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及大氣阻力差異攝動(dòng)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的映射關(guān)系。將航天器推力缺省配置約束、推力器輸出幅值約束及多航天器編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程中的安全距離約束等問(wèn)題,轉(zhuǎn)換成使用凸優(yōu)化方法求解多星最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡的數(shù)值形式,并在文中給出了使用CVX軟件求解上述約束問(wèn)題下多航天器編隊(duì)重構(gòu)軌跡的優(yōu)化計(jì)算方法。最后利用凸優(yōu)化方法解決任務(wù)需求的多星編隊(duì)重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌跡優(yōu)化問(wèn)題,對(duì)軌跡優(yōu)化問(wèn)題的求解速度與計(jì)算精度進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明,所提方法獲得的編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡能夠較好地滿足所述約束條件,而且具有計(jì)算速度快、精度高的優(yōu)點(diǎn)?？蔀槎嗪教炱鲄f(xié)同編隊(duì)重構(gòu)提供理論及工程應(yīng)用基礎(chǔ)。