例談利用齊次化求一類分式遞歸數(shù)列的通項

山西省太原市第三實驗中學(xué)校 (030031) 董立偉

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》(2020年5月第1版)(以下簡稱“選修二”)第四章《數(shù)列》部分出現(xiàn)了許多由一次分式形式的遞推關(guān)系猜想通項公式的數(shù)列問題. 這類問題本身并不難解,但學(xué)生們更想知道的是如何通過嚴(yán)格的推理得到這類數(shù)列的通項公式. 對分式遞歸數(shù)列,我們熟知的求通項的解法是不動點法. 這種方法確實巧妙,但是學(xué)生們也只能套用,很難理解其深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵. 事實上,利用齊次化的方法可以得到求解此類數(shù)列通項公式的一種初等解法.

第三步(構(gòu)造).利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列求數(shù)列{bn}的通項公式;

以下用兩個例子來闡述該類型問題的解法.

以下用兩個例子描述該類型問題求解過程.

例3 (選修二第48頁例3改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,2an+1-anan+1=1(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.

例4 (選修二第51頁習(xí)題4.4第3題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.

結(jié)語：利用齊次化,我們將一次分式形式的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為二階線性遞推關(guān)系,進而可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造新的等差或等比數(shù)列,求得其通項公式,從而得到此類問題的一種更易為高中生接受的初等解法.