靈活運用放縮法，高效解答數(shù)列不等式問題

李喜春

數(shù)列不等式問題通常較為復(fù)雜，且難度系數(shù)較大，對同學(xué)們的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力有較高的要求.解答這類問題，往往需綜合運用數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識，常用的方法有放縮法和數(shù)學(xué)歸納法.本文重點談一談如何通過巧妙放縮，來解答數(shù)列不等式問題.

一、將數(shù)列放縮成等差數(shù)列

通過觀察，我們通常能很快確定數(shù)列不等式中數(shù)列的通項公式及其特征，若通過放大或者縮小，數(shù)列的通項公式可以變?yōu)榈炔顢?shù)列的通項公式，如 an -an -1=d（d 為常數(shù)），便可利用等差數(shù)列的前 n 項和公式對數(shù)列進行求和，從而快速證明不等式.

例1.

證明：

我們根據(jù)目標(biāo)不等式 n（n + 1） 2 < Sn < （n + 1） 2 2 的結(jié) 構(gòu)特征，利用基本不等式放縮代數(shù)式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 ；通 過 去 項 ，放 縮 代 數(shù) 式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） > n ，從而將數(shù)列{an}的通項公 式放縮為 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 、 n（n + 1） > n2 = n ， 即可將數(shù)列變成等差數(shù)列.再根據(jù)等差數(shù)列的前n項 和公式來證明不等式，即可解題.值得注意的是，在構(gòu) 造等差數(shù)列時，一般都是從數(shù)列{an} 的第一項開始放 縮.

二、將數(shù)列放縮成等比數(shù)列

有時通過放大或者縮小，數(shù)列的通項公式可以變 為等比數(shù)列的通項公式，如 an an - 1 = q（q為常數(shù)，且不為 0），那么我們就可以利用等差數(shù)列的前n項和公式對 數(shù)列進行求和，從而快速證明不等式.

例2

解：

為 了 將 數(shù) 列 的 和 與 n 2 - 1 3 、n 2 靠 攏 ，需 將 bn = 2n - 1 2n + 1 - 1 進行放縮，得到 bn < 1 2 、bn ≥ 1 2 - 1 3 ? 1 2n ，以運用 等比數(shù)列的前n項和公式求得數(shù)列的和.

例3

解：

我們需先利用不等式的性質(zhì)將 ln（ 1 2k + 1） 放縮為 ln（ 1 2k + 1） ≤ 1 2k ，以將數(shù)列的通項公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 的通項公式 1 2k ；然后利用等比數(shù)列的前n項和公式進 行求和.

三、將數(shù)列放縮成遞推數(shù)列

有些數(shù)列的通項公式較為復(fù)雜，從中很難發(fā)現(xiàn)規(guī) 律，此時可將數(shù)列的通項公式進行適當(dāng)?shù)姆趴s，如添 項、去項、湊系數(shù)等，將其化為遞推關(guān)系式，如 an + 1 = Aan + B 、an + 1 = Aan n + B 、an + 1 an = f （n） 、an + 1 - an = f （n） 等，進而構(gòu)造出遞推數(shù)列.再運用待定系數(shù)法、取倒數(shù) 法、取對數(shù)法等求得數(shù)列的通項公式和前n項和，從而 證明不等式.

例4

證明：

四、將數(shù)列放縮成可裂項求和的數(shù)列

通過放縮，有些分式數(shù)列的通項公式可裂為兩項 之差的形式，且裂項后數(shù)列的前后項可以相互抵消， 即可運用裂項相消法求得數(shù)列的和.常見的裂項形式 有： 1 n（n + k） = 1 k ? è ? ? 1 n - 1 n + k 、 1 n + n + 1 = n + 1 - n 、 方法集錦 42 數(shù)學(xué)篇 1 4n2 - 1 = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 .

例5

解：

要 證 明 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 7 4 ，需將數(shù)列的通項公式 1 an = 1 n2 放縮為 1 an = 1 n2 < 1 （n - 1）× n ，以將該式裂項為 1 （n - 1）× n = 1 n - 1 - 1 n ，即 可運用裂項相消法求和，證明不等式.最后還需單獨驗 證當(dāng) n = 1 時的情形是否滿足不等式.雖然 1 n2 < 1 n - 1 - 1 n 對一切 n ≥ 2 時都成立，但是我們需從數(shù)列 { } 1 an 的 第三項開始放縮.如果從數(shù)列{ } 1 an 的第二項進行放縮， 將 會 得 到 結(jié) 果 ： 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 1 +（1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + ??? + 1 n - 1 - 1 n）= 2 - 1 n < 2 .而 2 > 7 4 ，導(dǎo)致放縮的結(jié)果過大，從而無法證明 不等式.一般地，裂項相消后，保留的項越多，其結(jié)果越 精確.

四、將數(shù)列放縮成可錯位相減的數(shù)列

我們知道，若一個數(shù)列的各項由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積構(gòu)成，則可運用錯位相減法求數(shù)列的和， 因此對于數(shù)列的各項是積式或商式的不等式問題，就可以將數(shù)列的通項公式放縮為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的通項公式的積或商，利用錯位相減法快速求得數(shù)列的和，證明不等式.

例6.

解：

我們將 an = n - 1 2n - 1 an - 1 + an - 1 放縮得到 an - an - 1 > n - 1 2n - 1 （n ≥ 2） ，而 n - 1 2n - 1 為等差數(shù)列 {n - 1} 和等比數(shù)列 { } 1 2n - 1 的通項公式的積，便可利用錯位相減法進行求 和，快速證明 an > 3 - n + 1 2n - 1 .

總之，運用放縮法證明數(shù)列不等式，不僅要根據(jù)數(shù)列和通項公式的特征選擇合適的方法進行放縮，還要控制好放縮的“度”.有時， 同一個問題有多種放縮方式，如何選擇最優(yōu)的放縮方式？這需要同學(xué)們進行深入的探究.

（作者單位：貴州省遵義市第四中學(xué)）