面向不完備單值中智信息的三支決策模型①

楊海龍， 任歡歡

陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710119

三支決策[1-3]是處理決策問題的一個(gè)有效方法, 其核心思想是將一個(gè)論域劃分為三個(gè)兩兩不相交的部分, 對(duì)每個(gè)部分制定相應(yīng)的策略, 以及對(duì)三分和策略進(jìn)行評(píng)價(jià).三支決策的模型和理論已經(jīng)被廣泛研究并應(yīng)用到了眾多領(lǐng)域.

單值中智集[4]作為直覺模糊集[5]的推廣, 能有效描述不確定性[6-10].單值中智集與三支決策的融合也被廣泛研究[11-19].然而, 如何建立基于不完備單值中智信息系統(tǒng)的三支決策模型, 尚未有文獻(xiàn)涉及.

本文針對(duì)不完備單值中智信息系統(tǒng).首先, 利用平均值法將不完備單值中智信息系統(tǒng)補(bǔ)全為完備單值中智信息系統(tǒng); 然后, 基于補(bǔ)全的完備單值中智信息系統(tǒng)建立三支決策模型; 最后, 通過選擇產(chǎn)品供應(yīng)商的例子闡述新模型的應(yīng)用, 并詳細(xì)分析了模型中參數(shù)變化對(duì)決策結(jié)果的影響.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出所需的一些基本概念.

1.1 單值中智集與單值中智數(shù)

定義2[10]設(shè)p,q為兩個(gè)單值中智數(shù),k是一個(gè)大于0的實(shí)數(shù), 定義下面兩個(gè)運(yùn)算:

1)p⊕q=〈Tp+Tq-Tp·Tq,Ip·Iq,Fp·Fq〉;

2)kp=〈1-(1-Tp)k,(Ip)k,(Fp)k〉.

文獻(xiàn)[9]指出了單值中智數(shù)排序方法的不足, 并給出了單值中智數(shù)的一個(gè)新排序方法.

定義3[9]設(shè)p=(Tp,Ip,Fp)和q=(Tq,Iq,Fq)是兩個(gè)單值中智數(shù),

1)若sc(p)

2)若sc(p)=sc(q),ac(p)

3)若sc(p)=sc(q),ac(p)=ac(q),Ip

4)若sc(p)=sc(q),ac(p)=ac(q),Ip=Iq, 則稱p等于q, 記作p=q,

文獻(xiàn)[9]證明了定義3中給出的排序方法可以比較任意兩個(gè)單值中智數(shù).

1.2 三支決策

文獻(xiàn)[1]基于貝葉斯決策理論闡述了三支決策的過程.設(shè)U為非空有限集,R是U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,[u]R={v∈U|(u,v)∈R}是u的等價(jià)類.設(shè)Ψ={C,C}是狀態(tài)集,Λ={πP,πB,πN}是行動(dòng)集, 其中狀態(tài)C和C分別表示對(duì)象屬于C和不屬于C,πP,πB,πN分別表示對(duì)u采取的3個(gè)行動(dòng), 即決定u∈POS(C),u∈BND(C),u∈NEG(C).損失函數(shù)是采取某種行動(dòng)帶來的損失, 具體如表1所示.

表1 損失函數(shù)

在表1中,γPP,γBP和γNP分別表示當(dāng)對(duì)象u屬于C時(shí), 采取πP,πB和πN這3種行為帶來的損失;γPN,γBN和γNN分別表示當(dāng)對(duì)象u不屬于C時(shí), 采取πP,πB和πN這3種行為帶來的損失, 應(yīng)滿足條件γPP≤γBPγNP,γPN≤γBNγNN.對(duì)每個(gè)對(duì)象采取3種不同行動(dòng)的期望損失分別為:

E(πP|[u]R)=γPPP(C|[u]R)+γPNP(C|[u]R);

E(πB|[u]R)=γBPP(C|[u]R)+γBNP(C|[u]R);

E(πN|[u]R)=γNPP(C|[u]R)+γNNP(C|[u]R)

其中P(C|[u]R)和P(C|[u]R)分別表示等價(jià)類[u]R中的對(duì)象屬于C和不屬于C的條件概率.

根據(jù)最小風(fēng)險(xiǎn)貝葉斯決策理論, 得到如下決策規(guī)則:

(P)若E(πP|[u]R)≤E(πB|[u]R), 且E(πP|[u]R)≤E(πN|[u]R), 則u∈POS(C);

(B)若E(πB|[u]R)≤E(πP|[u]R), 且E(πB|[u]R)≤E(πN|[u]R), 則u∈BND(C);

(N)若E(πN|[u]R)≤E(πP|[u]R), 且E(πN|[u]R)≤E(πB|[u]R), 則u∈NEG(C).

2 不完備單值中智信息下的三支決策模型

本節(jié)將建立面向不完備單值中智信息的三支決策模型.具體的, 將一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng)補(bǔ)全為完備單值中智信息系統(tǒng), 然后基于補(bǔ)全的完備單值中智信息系統(tǒng)建立三支決策模型.

對(duì)于一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng), 采用平均值法補(bǔ)全未知(缺失)值, 即單值中智數(shù)中的未知值用該屬性下其他對(duì)象的已知屬性值的平均值代替, 從而一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng)可被補(bǔ)全為一個(gè)完備的單值中智信息系統(tǒng), 稱之為由平均值法誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng).

例1表2所示是一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng)(U,A,V,f*), 其中“＊”表示該值未知.利用平均值法, 表2被補(bǔ)全為一個(gè)完備的單值中智信息系統(tǒng)(見表3).

表2 不完備單值中智信息系統(tǒng)

表3 由平均值法誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng)

文獻(xiàn)[8]提出了兩個(gè)單值中智數(shù)之間的相似度如下:

定義6[8]設(shè)p=(Tp,Ip,Fp)和q=(Tq,Iq,Fq)是兩個(gè)單值中智數(shù), 定義p和q之間的相似度為

基于定義6, 從不完備單值中智信息系統(tǒng)出發(fā), 基于誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng)給出對(duì)象間的相似度的定義.

定義7設(shè)(U,A,V,f*)是一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng),(U,A,V,fc)是由平均值法誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng).?u,v∈U, 對(duì)象u和v的相似度定義為:

(1)

其中#A表示A中屬性的個(gè)數(shù),Sai(u,v)=S(fc(u,ai),fc(v,ai))是對(duì)象u和v關(guān)于屬性ai的相似度.

例2(續(xù)例1)根據(jù)表3和定義7, 可得對(duì)象之間的相似度如下:

Sim(u1,u1)=Sim(u2,u2)=Sim(u3,u3)=Sim(u4,u4)=1,

Sim(u1,u2)=Sim(u2,u1)=0.4,Sim(u1,u3)=Sim(u3,u1)=0.425,

Sim(u1,u4)=Sim(u4,u1)=0.358 3,Sim(u2,u3)=Sim(u3,u2)=0.425,

Sim(u2,u4)=Sim(u4,u2)=0.375,Sim(u3,u4)=Sim(u4,u3)=0.35.

進(jìn)一步給出不完備單值中智信息系統(tǒng)中α相似關(guān)系和α相似類的定義.

定義8設(shè)(U,A,V,f*)是一個(gè)不完備單值中智信息系統(tǒng),(U,A,V,fc)是由平均值法誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng).?α∈[0, 1],U上的α相似關(guān)系定義為:

SRα={(u,v)∈U×U|Sim(u,v)≥α}

?u∈U,u關(guān)于α相似關(guān)系SRα的α相似類定義為:

例3(續(xù)例2)令α=0.4, 根據(jù)定義8, 可得α相似關(guān)系SRα如下:

SR0.4={(u1,u1),(u1,u2),(u1,u3),(u2,u1),(u2,u2),(u2,u3),(u3,u1),(u3,u2),(u3,u3),(u4,u4)}

進(jìn)一步, 可得α相似類為:

在三支決策理論框架下, 結(jié)合定義3和決策準(zhǔn)則(P)-(N)可得面向不完備單值中智信息的決策規(guī)則如下:

則u∈POS(C).

則u∈BND(C).

則u∈NEG(C).

其中

本文提出的三支決策模型的關(guān)鍵步驟可總結(jié)為下面的算法1.

算法1 基于不完備單值中智信息系統(tǒng)的三支決策的算法輸入: 不完備單值中智信息系統(tǒng)、 損失函數(shù)和參數(shù)α(0<α<1)輸出: 每個(gè)對(duì)象u∈U的三支決策結(jié)果1)將不完備單值中智信息系統(tǒng)中的未知值用該屬性下其他對(duì)象對(duì)應(yīng)的屬性值的平均值補(bǔ)全, 得到補(bǔ)全的完備單值中智信息系統(tǒng). 2)對(duì)每個(gè)屬性a∈A, 計(jì)算對(duì)象間的相似度Sa(u, v). 3)由公式(1), 計(jì)算對(duì)象間關(guān)于屬性集A的相似度Sim(u, v).4)計(jì)算[u]αSR和P(C|[u]αSR).5)計(jì)算期望損失E(π·|[u]αSR)(·=P, B, N).6)基于期望損失計(jì)算得分函數(shù)sc(E(π·|[u]αSR))和精確度函數(shù)ac(E(π·|[u]αSR)). 7)由(P?)-(N?)得到每個(gè)對(duì)象的三支決策結(jié)果.

3 模型的應(yīng)用

本節(jié)利用一個(gè)選擇產(chǎn)品服務(wù)商的決策問題的例子, 闡述面向不完備單值中智信息的三支決策模型的有效性和可行性.

隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展, 數(shù)據(jù)變得尤為重要, 越來越多的企業(yè)開始關(guān)注數(shù)字化轉(zhuǎn)型, 利用大數(shù)據(jù)技術(shù)為其服務(wù).為提高數(shù)據(jù)管理能力, 某公司想要選擇一個(gè)數(shù)據(jù)產(chǎn)品服務(wù)商.設(shè)U={u1,u2, …,u10}為10個(gè)供應(yīng)商,A={a1,a2,a3,a4}為4個(gè)條件屬性(其中a1表示“產(chǎn)品質(zhì)量”,a2表示“處理能力”,a3表示“售后服務(wù)”,a4表示“購(gòu)買成本”),D=j5i0abt0b為決策屬性.該領(lǐng)域的專家根據(jù)條件屬性為每個(gè)供應(yīng)商給出評(píng)價(jià)值, 評(píng)價(jià)值為單值中智數(shù).由于某些原因, 其中一些數(shù)據(jù)值是缺失的.關(guān)于供應(yīng)商的不完備單值中智信息系統(tǒng)如表4所示, 其中決策屬性值d=1表示專家推薦該供應(yīng)商,d=0表示專家不推薦該供應(yīng)商.下面利用本文提出的模型對(duì)10個(gè)供應(yīng)商做出評(píng)判.給定α=0.37.

表4 關(guān)于供應(yīng)商的不完備單值中智信息系統(tǒng)

由表4可以得到兩個(gè)狀態(tài)集:C={u3,u4,u6,u9},C={u1,u2,u5,u7,u8,u10}.它們分別代表推薦的供應(yīng)商集合和不推薦的供應(yīng)商集合.損失函數(shù)如表5所示, 每個(gè)損失是一個(gè)單值中智數(shù).

表5 損失函數(shù)

按照算法1 給出步驟如下:

1)將不完備單值中智信息系統(tǒng)補(bǔ)全為完備單值中智信息系統(tǒng), 如表6所示.

表6 關(guān)于供應(yīng)商的由平均值法誘導(dǎo)的完備單值中智信息系統(tǒng)

2)根據(jù)表6計(jì)算對(duì)象關(guān)于屬性ai(i=1,2,3,4)的相似度Sai(u,v), 這里僅展示Sa1(u,v)(表7).

表7 關(guān)于屬性a1的相似度Sa1(u, v)

3)計(jì)算對(duì)象間的相似度Sim(u,v)(表8).

表8 對(duì)象間的相似度

4)由定義8可得對(duì)象的相似類:

5)計(jì)算期望損失(表9).

表9 期望損失

6)計(jì)算期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)(表10).

表10 當(dāng)α=0.37時(shí)期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表12 當(dāng)α=0.365時(shí)期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表13 當(dāng)α=0.375時(shí)期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

表14 當(dāng)α=0.38時(shí)期望損失的得分函數(shù)和精確度函數(shù)

7)根據(jù)準(zhǔn)則(P*)-(N*), 可得三支決策結(jié)果:

a)u3,u6,u9∈POS(C);

b)u8,u10∈BND(C);

c)u1,u2,u4,u5,u7∈NEG(C).

根據(jù)上述決策結(jié)果, 建議該公司選擇供應(yīng)商u3,u6或u9; 同時(shí), 供應(yīng)商u8和u10需要進(jìn)一步考慮; 而供應(yīng)商u1,u2,u4,u5和u7則不太合適.

4 參數(shù)變化對(duì)決策結(jié)果的影響分析

本節(jié)討論參數(shù)α變化對(duì)模型的影響分析.選取α=0.36,0.365,0.37,0.375,0.38, 損失函數(shù)的得分函數(shù)和精確度函數(shù)的結(jié)果分別展示在表10-14中.α不同取值產(chǎn)生的決策結(jié)果如圖1所示.

圖1 當(dāng)α變化時(shí)的決策結(jié)果

由圖1可看出, 隨著α的增大, 被劃分到正域的對(duì)象增多.對(duì)于決策者來說, 選擇不同的α, 意味著產(chǎn)生不同的決策結(jié)果.在處理實(shí)際問題時(shí), 需要根據(jù)實(shí)際情況具體分析, 以選取最適合的α.

5 結(jié)語

本文研究了不完備單值中智信息下的三支決策模型.將不完備單值中智信息系統(tǒng)補(bǔ)全為完備的單值中智信息系統(tǒng), 基于補(bǔ)全的完備單值中智信息系統(tǒng)計(jì)算對(duì)象間的相似度, 進(jìn)一步建立三支決策模型.最后, 利用選擇產(chǎn)品供應(yīng)商的例子闡述了模型的應(yīng)用, 并對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析.本文沒有考慮信息表動(dòng)態(tài)變化的情形, 不完備動(dòng)態(tài)單值中智信息下的三支決策模型是一個(gè)有意義的研究課題.