二維三次非線性薛定諤方程組的極小質(zhì)量爆破解

吳清迪

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

0 引 言

考慮如下的二維三次非線性薛定諤方程組:

(1)

等價(jià)地,可以將(1)寫為向量形式

i?tu+Δu=F(u),

(2)

相比于薛定諤方程,方程組中2個(gè)分量的相互作用和影響使得方程組的求解和證明更加困難,因此在證明過(guò)程中考慮分量的估計(jì)和帶來(lái)的不同結(jié)果顯得至關(guān)重要.為解決該問(wèn)題,筆者利用向量表示方法簡(jiǎn)便解的表達(dá).因此,在下文中將會(huì)根據(jù)敘述過(guò)程中的不同情況分別使用方程組形式或向量形式來(lái)表示.

定理1當(dāng)臨界質(zhì)量m0有限時(shí),存在一組質(zhì)量為m0的極大存在時(shí)間解u=(u1,u2),并且解u向前和向后都爆破.同樣地,質(zhì)量為m0的向前和向后都爆破的極大存在時(shí)間解,在模去變換群G后是幾乎周期的.

1 預(yù)備知識(shí)

為了得到本文的主要結(jié)果,給出如下定義和定理.

此外:

(3)

根據(jù)定理2之ii)可得,對(duì)于m≤C-1有

A(m)≤Cm2.

(4)

另一方面,根據(jù)方程組的解關(guān)于初值的連續(xù)依賴性,得到A是左連續(xù)的.所以,一定存在唯一的臨界質(zhì)量0m0時(shí),A(m)是無(wú)界的.

將定理1歸結(jié)為研究一類特解,即這些解是相位旋轉(zhuǎn)、調(diào)制、空間平移和伸縮等對(duì)稱性的幾乎周期解,所以接下來(lái)介紹對(duì)稱性的相關(guān)性質(zhì).

令G為滿足上式變換的集合,則G是由相位旋轉(zhuǎn)、頻率調(diào)制、平移和伸縮產(chǎn)生的群.

(5)

2 主要結(jié)論的證明

在證明定理1之前,首先給出命題1及其證明,然后利用命題1證明本文的主要結(jié)論.

(6)

為證明命題1,在接下來(lái)的2小節(jié)中分別回顧穩(wěn)定性引理和線性輪廓分解.

2.1 穩(wěn)定性引理

(7)

其中,常數(shù)0

引理1[6]對(duì)每個(gè)A>0和ε>0,存在δ>0滿足以下性質(zhì):

(8)

2.2 線性輪廓分解

(9)

(10)

此外,對(duì)任意的l≥1,有質(zhì)量分離:

(11)

2.3 命題1的證明

根據(jù)un的時(shí)間平移不變性,可以選取tn=0,從而有

(12)

(13)

(14)

假設(shè)存在ε>0滿足

(15)

下面將證明(15)與(12)矛盾.

因?yàn)锳是單調(diào)遞增,并且在區(qū)間[0,m0-ε]上是有限的,所以結(jié)合上述性質(zhì),可以得到邊界條件:對(duì)所有的0≤m≤m0-ε以及常數(shù)0

A(m)≤Bm.

(16)

因?yàn)锳(m-ε)是有限的,所以由(15),(16)和定理2得

M(v(j))=M(φ(j))≤m0-ε,

和

(17)

根據(jù)(5),(12)和三角不等式,以及(14)和(17)有

(18)

然后,通過(guò)公式

(19)

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)得

根據(jù)(13)和(19)即證

(20)

令

(21)

令δ>0并且其取值和Bm0有關(guān),當(dāng)l和n充分大時(shí),由(18)可以得到

由(20)和(21)可得

將上式與(13)比較,可知至多有一個(gè)φ(j)非0,所以輪廓分解簡(jiǎn)化為

un(0)=hneitnΔφ+wn.

(22)

但這與(12)矛盾.同樣地,tn趨于-∞時(shí)情況類似.

綜上所述,當(dāng)tn收斂到0時(shí)命題1成立.

2.4 定理1的證明