彈載雷達陣列幅相誤差校正及目標超分辨技術(shù)

胡衍墨,鄧維波,劉愛華,張 鑫

(1.哈爾濱工業(yè)大學電子與信息工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001;2.上海無線電設(shè)備研究所,上海 201109)

0 引言

主瓣內(nèi)多目標分辨一直以來都是陣列信號處理的研究重點,在雷達抗干擾[1]、目標識別等領(lǐng)域有著極大的應用潛力。然而,采用傳統(tǒng)的陣列信號處理方法進行波束測角,分辨空間中的兩個目標時,分辨能力嚴重依賴雷達的波束寬度,不能分辨一個波束內(nèi)的兩個目標,即存在瑞利限[2-3]。

為提升角度分辨能力,已有多種超分辨算法被提出,例如多重信號分類(MUSIC)算法[2]、旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)算法[4]、基于壓縮感知(CS)的角度超分辨算法[5]等。出于穩(wěn)定性和計算量的考慮,本文采用平滑MUSIC 算法處理主瓣內(nèi)的相干目標回波信號,突破瑞利限,以提升角度分辨能力。特別地,對主瓣內(nèi)存在兩個目標的特殊情況進行分析,給出雙目標情況下的二維面陣平滑方法,并分析該方法的計算復雜度。

此外,不同通道間存在的幅相誤差以及天線耦合效應[6]等會對空間測角產(chǎn)生一定影響,因此需要進行通道補償。本文采用先進的補償技術(shù),利用波達方向(DOA)估計中的信號矩陣特性修正陣列的幅相誤差[7],并利用強回波信號進行幅相誤差校正,恢復空間角度的估計精度和分辨能力。

1 二維平面陣信號模型

二維平面陣列示意如圖1所示。建立以陣元中心o為原點的直角坐標系oxyz,設(shè)平面陣列的陣元數(shù)為MN,陣元間隔均為半波長。陣元位置矩陣(T 為矩陣轉(zhuǎn)置運算符),其中陣元(m,n)的位置矢量dm,n=[xm,yn]T,xm和yn分別代表陣元(m,n)在x軸和y軸上的位置坐標,m=1,2,…,M,n=1,2,…,N。φ和θ分別為目標點P相對于陣列中心o的俯仰角和方位角。

圖1 二維平面陣列示意圖

假設(shè)空間共存在K個信號源,方向分別為(φ1,θ1),(φ2,θ2),…,(φk,θk),…,(φK,θK),設(shè)u（φk,θk）=[sinθkcosφk,cosθkcosφk]T為第k個信號的空間二維方向矢量,則第k個信號從陣元(m,n)到陣元(1,1)的延遲可以表示為

式中:c為光速。陣元(m,n)上的信號可以表示為

式中:gm,n為陣元(m,n)的幅相誤差;sk(t)為第k個回波信號;Nm,n(t)為陣元(m,n)上的噪聲。一般地,將陣元(1,1)作為參考陣元,有g(shù)1,1=1。將式 (2)寫為矩陣形式,有

式中:diag(·)為生成對角矩陣函數(shù);ω=2π/λ為波數(shù),λ為信號波長。假設(shè)陣列共獲取了L個快拍,此時式 (3)可以寫成矩陣形式

式中:X∈CMN×L為接收信號矩陣,C為復數(shù)集;G=diag（g）∈CMN×MN為幅相誤差矩陣,其中g(shù)=[g1,1,g1,2,…,gM,N]T∈CMN×1為幅相誤差矢量;A∈CMN×K為陣列流型矩陣;S∈CK×L為目標的回波信號矩陣;N∈CMN×L為噪聲矩陣。

陣列流型矩陣A也可以使用陣列導向矢量獲得,即

其中

式中:a(φk,θk)為陣列導向矢量。

2 利用強回波信號的幅相誤差校正

本文利用已知來波角度的強回波信號校正陣列的幅相誤差。假設(shè)該信號來波的俯仰角和方位角為φc,θc,則式 (4)可以改寫為

式中:Xc∈CMN×L為陣列的L次快拍的信號;a(φc,θc)∈CMN×1為已知來波信號的陣列導向矢量;sc∈C1×L為強回波信號。

為了估計幅相誤差矩陣G,首先構(gòu)造信號Xc的協(xié)方差估計矩陣

式中:H 為矩陣共軛轉(zhuǎn)置運算符。將式(7)代入式(8)中,理論上,在L→∞的情況下,可以得到

式中:σ2s為強回波信號功率;σ2n為噪聲信號功率;IMN×MN為MN×MN的單位陣。

隨后,對進行特征分解。將除最大特征值外的其余特征值對應的特征向量構(gòu)成的矩陣記為∈CMN×(MN-1),則滿足

估計幅相誤差g需要求解

式中:min(·)為取最小值函數(shù);‖·‖2為2范數(shù)運算符。

式 (11)的等價形式為

其中

此時,根據(jù)式 (12),式 (11)可以寫為

對式(13)求導并約束結(jié)果為0,得到

則的估計矩陣

式中:-1為矩陣求逆運算符。綜上,可以得到幅相誤差的估計

隨后,對式 (7)進行校正,校正后的接收信號矩陣

3 空間平滑MUSIC算法

傳統(tǒng)的MUSIC算法在信號具有一定相干性的情況下是失效的。這是因為在空間存在K個信號源時,信號協(xié)方差矩陣的秩不為K,會對空間譜估計產(chǎn)生嚴重影響。因此需要使用平滑MUSIC算法將信號的秩重新恢復為K,得到空間目標的具體角度。本文以K=2的情況為例,說明面陣的平滑處理方法。

3.1 平滑方法

本文使用4次平滑的MUSIC 算法實現(xiàn)相干信號的DOA 估計。在MN×MN等間距排列的平面陣中選取4個子陣,每個子陣有Q個單元。

使用矩形平滑方法處理相干信號,二維平滑示意如圖2所示。

圖2 二維空間平滑示意圖

圖2中4個實線框均代表MN×MN的二維平面陣,其中的4個虛線框代表4個子陣,即利用這4個子陣進行平滑。4個子陣的位置分別為:(1～M-1)×(1～N-1),(1～M-1)×(2～N),(2～M)×(1～N-1),(2～M)×(2～N)。為了簡化后續(xù)的模型推導過程,分別假設(shè)上述4個子陣陣元位置的索引值為ρ1,ρ2,ρ3和ρ4,同時可得Q=(M-1)(N-1)。這種位置選擇方法既保留了矩形平面陣的特性,又最大化地減少了陣列自由度和估計精度的損失,因此本文采用這種方式進行空間平滑。

3.2 算法推導

定義第l個平滑子陣的信號矩陣[8]

其中

式中:Ab∈CQ×K為第一個子陣的陣列流型,其列為Q維的導向矢量;Nl為第l個平滑子陣的噪聲矩陣。第l個平滑子陣的協(xié)方差矩陣

式中:RS為信號協(xié)方差矩陣。將這4個平滑協(xié)方差矩陣做平均,則前向平滑協(xié)方差矩陣

相干回波的空間平滑算法雖然可以恢復協(xié)方差矩陣的秩,即rank(Rf)=K,但相對于原陣列,陣列的有效孔徑減小了,進而損失了一定自由度。

對Rf進行特征分解,并將特征值由大到小排列,由后N-K個特征值對應的特征向量構(gòu)成的噪聲空間記為。隨后利用二維MUSIC 算法進行極大值搜索,MUSIC譜峰搜索函數(shù)

下面計算該算法的復雜度。MUSIC 算法通過空間二維搜索進行角度估計。設(shè)空間角度的估計精度為δ,由于是空間二維搜索;設(shè)MUSIC 算法的網(wǎng)格劃分數(shù)n=(180°/δ)2,則算法的復雜度

4 仿真分析

對14×14的空間二維平面陣進行仿真實驗,陣元間的間隔均為半波長,分別研究本文算法對幅相誤差的校正性能和主瓣內(nèi)同時存在兩個目標時的角度分辨能力。

4.1 利用強回波的幅相誤差校正性能

假設(shè)幅相誤差的幅度存在2 dB的變化,產(chǎn)生±10°的相位變化。在10 次快拍下評估本文算法,強回波的來波方向設(shè)為(0°,0°),每個陣元接收回波信號的信噪比設(shè)為40 dB。仿真實驗中共有196個天線陣元,每個天線陣元的幅相誤差均不同,196個天線陣元接收回波信號真實的幅度和相位以及利用本文算法得到的對應估計結(jié)果如圖3所示。可見,不論是幅度還是相位,估計值均與真實值基本一致,說明了強回波下本文算法對幅相誤差校正的有效性。

圖3 信噪比為40 dB時幅相誤差估計仿真結(jié)果

為了進一步說明本文算法的性能,設(shè)定快拍數(shù)為10,不同信噪比條件下幅相誤差校正性能的仿真結(jié)果如圖4 所示,圖中利用均方根誤差(RMSE)描述估計性能?？芍?不同信噪比時幅度和相位的RMSE的數(shù)值相同;隨著信噪比的提升,幅度和相位的RMSE均逐漸降低。

圖4 不同信噪比時幅相誤差校正仿真結(jié)果

設(shè)定天線陣元接收信號的信噪比為40 dB,不同快拍數(shù)下幅相誤差校正的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同快拍數(shù)時幅相誤差校正仿真結(jié)果

由圖5可知:隨著快拍數(shù)的增加,幅相誤差的校正更加精確;相比于小快拍數(shù),在大快拍數(shù)下增加相同數(shù)量的快拍并不能顯著提升估計精度。

總地來說,上述仿真實驗結(jié)果說明了強回波下幅相誤差校正的必要性。

4.2 不存在幅相誤差時的超分辨性能

使用平滑MUSIC算法進行角度超分辨性能仿真。假設(shè)空間兩個來波完全相關(guān),來波方向分別為俯仰角θ1=20°、方位角φ1=20.0°,俯仰角θ2=22°、方位角φ2=21.5°。共進行4次平滑,平滑方法如圖2所示。共取4個矩形子陣計算協(xié)方差矩陣,加權(quán)平均后得到平滑協(xié)方差矩陣。仿真中每個陣元接收信號的信噪比為35 d B。

基于平滑MUSIC 算法的目標分辨結(jié)果如圖6所示。可見平滑MUSIC 算法可以區(qū)分兩個鄰近目標。經(jīng)分析可知,在球坐標平面上兩個目標的角度距離為2.5°,而此時陣列的3 dB波束寬度為9°,分辨率為波束寬度的0.28倍。而傳統(tǒng)波束形成參數(shù)估計方法受限于陣列孔徑的影響,無法突破瑞利限分辨位于陣列主瓣內(nèi)的兩個目標。

圖6 二維空間平滑MUSIC算法目標分辨結(jié)果

4.3 存在幅相誤差時的超分辨性能

為了說明幅相誤差對超分辨算法性能的影響及幅相誤差校正的有效性,利用圖3所示仿真結(jié)果進行超分辨估計。

在不進行幅相誤差校正的情況下,采用二維空間平滑MUSIC 算法分辨空間中的兩個目標,仿真結(jié)果如圖7所示。可知這種情況下不能成功分辨兩個目標。在進行幅相誤差校正后,采用該算法的目標分辨結(jié)果如圖8所示。雖然兩個峰值的高度不同,但完全可以成功分辨兩個目標。這說明幅相誤差對角度超分辨估計的影響較大,而且幅相誤差校正是完全必要的,這同樣說明了本文算法和估計流程的合理性和有效性。

圖7 未進行幅相誤差校正的二維空間平滑MUSIC算法目標分辨結(jié)果

圖8 幅相誤差校正后二維空間平滑MUSIC算法目標分辨結(jié)果

5 結(jié)論

本文研究了存在幅相誤差的情況下,使用二維面陣區(qū)分主瓣內(nèi)兩個目標的方法。利用強回波信號對陣列的幅相誤差進行估計和補償,并進一步采用平滑MUSIC算法實現(xiàn)角度超分辨。在幅相維,利用噪聲子空間的正交性,采用凸優(yōu)化方法估計幅相誤差。在角度維,給出了面陣平滑處理方法,并計算了算法的復雜度。實驗結(jié)果表明,本文算法可以有效估計陣元幅相誤差,增加信噪比和快拍數(shù)有利于提升估計精度。在未進行幅相誤差校正時,角度超分辨算法失效,不能有效分辨主瓣內(nèi)的兩個目標。但利用本文算法補償幅相誤差,可以恢復平滑MUSIC 算法的分辨能力。這說明幅相誤差對角度超分辨估計的影響較大,需要進行校正,同時說明了本文算法、模型和處理流程的有效性。

本文所提幅相誤差校正算法屬于有源校正算法,需要預先明確強回波校正目標的具體方位。后續(xù)研究重點應集中在陣元幅相誤差和目標角度的同時估計上。