怎樣解答立體幾何問題

關(guān)峰

立體幾何問題的命題形式有很多種，如：（1）證明空間中的平行、垂直關(guān)系；（2）求空間角的大?。唬?）判斷空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；（4）求空間幾何體的體積或表面積.解答立體幾何問題的常用方法主要有向量法和幾何法.下面我們結(jié)合實例探討一下向量法和幾何法的特點(diǎn)和應(yīng)用技巧.

一、向量法

利用向量法解答立體幾何問題，需先根據(jù)題意和圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系，一般需尋找相互垂直，且交于一點(diǎn)的三條直線，并將其視為坐標(biāo)軸；然后根據(jù)點(diǎn)所在的位置，求得各點(diǎn)在x、y、z軸方向上的垂直或平行距離，得到各點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則求得問題的答案.一般地，需根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的方向向量、平面的法向量來判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，根據(jù)向量的數(shù)量積公式求空間角的大小.

例1

解答本題，需先作 DE ⊥ AB 于 E ，CF ⊥ AB 于 F ，利用勾股定理證明 AD ⊥ BD ；再根據(jù) PD ⊥平面ABCD ，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系；然后求得各個點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面 PAB 的法向量；最后通過向量運(yùn)算證明AP?BD = 0 ，根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得PD 與平面 PAB 的法向量所成角的余弦值.在運(yùn)用向量法求空間角的大小時，要注意直線與平面法向量之間的關(guān)系，以及所求角的取值范圍.

二、幾何法

幾何法是解答立體幾何問題的基本方法.運(yùn)用幾何法解答立體幾何問題，需學(xué)會根據(jù)題意添加合適的輔助線，靈活運(yùn)用立體幾何中的基本公式、定理、公理、性質(zhì).一般地，證明空間中的線面平行（垂直），需依據(jù)線面平行（垂直）的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證；求幾何體的體積、表面積，需通過作輔助線，將其拆分或填補(bǔ)為規(guī)則的幾何體，根據(jù)簡單幾何體的體積公式、表面積公式求解；求空間角的大小，往往要根據(jù)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的定義進(jìn)行求解.

例2

解：

對于第一個問題，我們需先添加輔助線，根據(jù)全等正三角形的性質(zhì)推出 EM ⊥ AB ，F(xiàn)N ⊥ BC ，EM = FN ；再根據(jù)線面垂直的判定定理證明 EM ⊥平面 ABCD ， FN ⊥平面 ABCD ，即可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理推出 EM//FN ，從而證明四邊形 EMNF 為平行四邊形；最后根據(jù)線面平行的判定定理證明 EF// 平面 ABCD .對第二個問題，需分別取 AD 、DC 的中點(diǎn) K，L ，連接MN、 KL、LN、MK，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及第一個問題中的垂直、平行關(guān)系求得 KM、MN、NL、LK、EM 的長度，并根據(jù)柱體和椎體的體積公式求得長方體 KMNL - EFGH 的體積與四棱錐 B - MNFE 體積，即可解題.

綜上所述，幾何法的適用范圍較廣，對于大部分的立體幾何問題，都可以采用該方法求解，但解題過程稍微復(fù)雜一些；向量法較為簡單，但是需在能夠建立空間直角坐標(biāo)系的情況下使用.