基于Subsampling抽樣的厚尾AR(p)序列趨勢變點的Ratio檢驗

王愛民，金 浩，宋雪麗

（西安科技大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054）

0 引言

近年來，Ratio 統(tǒng)計量是一種流行的檢驗時間序列變點問題的方法，其與傳統(tǒng)的累計和方法相比不需要方差的估計。Horváth 等（2008）[1]運用Ratio 統(tǒng)計量檢驗短記憶的均值變點問題；Shao（2011）[2]、Kai 等（2018）[3]和Wingert 等（2020）[4]進一步研究了長記憶變點問題；Chen 等（2016）[5]運用Ratio統(tǒng)計量檢驗從短記憶到長記憶的變點問題。

實際上，上述文獻大多考慮方差有限的情形。然而，方差無窮序列的大部分信息滯留在尾部，不能用傳統(tǒng)高斯序列來刻畫，所以本文針對方差無窮AR(p)序列檢驗結(jié)構(gòu)變點。假設(shè)yt由下列模型產(chǎn)生：

其中，xt=(1,t,…,tp)T，β=(β0,β1,…,βp)T，p是大于等于0 的整數(shù)。εt是p階自回歸序列，新息過程ηt位于穩(wěn)定吸收域。有：

參數(shù)κ（尾指數(shù)）控制尾部分布的厚度是未知的。式（3）和式（4）表明存在aT和bT使得：

先假設(shè)bT=0，κ>1，此時E(ηt)=0。特別地，當(dāng)ηt是獨立同分布的序列時，Kokoszka和Wol（f2004）[6]已證明：

本文拓展了Jin等（2009）[7]和Wang等（2016）[8]的理論，把獨立同分布的新息過程延伸到弱相依的AR（p）情形；探索用ηt新息替代εt從而獲得準(zhǔn)確的臨界值。雖然Perron和Zhu（2005）[9]以及Yang（2017）[10]提出了對趨勢變點位置的估計，但是少有學(xué)者關(guān)注其檢驗問題，為此，本文考慮了厚尾AR（p）相依序列趨勢變點的檢驗問題。

1 模型與修正Ratio檢驗統(tǒng)計量

假設(shè)y1,…,yT滿足模型（1）和模型（2）?？紤]p=1，即xt=(1,t)T。當(dāng)p=0 時，模型退化成含有常數(shù)項的均值變點模型，本文不做研究。對于更一般的情況，xt=(1,t,…,tp)T,p≥2 仍然有效。在引入變點模型之前，為滿足漸近有效性需提出如下假設(shè)：

假設(shè)1：假設(shè)1-ρ1z-…-ρpzp=0 所有的特征根都在單位圓外。

假設(shè)2：新息過程ηt是獨立同分布的，在吸收域κ?(1,2)且E(ηt)=0。

假設(shè)1 說明AR(p)過程可以表示為無限階移動平均過程。假設(shè)2保證式（6）的中心極限定理存在，從而下列的Ratio 統(tǒng)計量有準(zhǔn)確的極限分布?？紤]新息過程為AR(p)的趨勢變點模型：

其中，εt是厚尾AR(p)序列，1{?}是示性函數(shù)，k*是趨勢變點位置。ρi=0,i=1,…,p,模型退化為文獻[8]及文獻[11]的模型。原假設(shè)和備擇假設(shè)下的檢驗問題為：

2 主要結(jié)論

本文給出檢驗趨勢變點在原假設(shè)下的極限分布和備擇假設(shè)下的一致性。為了方便起見，令v=k/T,s=i/T,v*=k*/T。

定理1：假設(shè)yt由式（8）生成，εt是厚尾AR（p）序列。若原假設(shè)H0、假設(shè)1和假設(shè)2成立，則當(dāng)T→∞時，有：

證明：計算yt(t=1,…,k)對μ和β回歸的最小二乘估計殘差：

結(jié)合式（13）至式（15），得到統(tǒng)計量原假設(shè)下的極限分布為：

定理2：假設(shè)yt由式（8）生成，εt是厚尾AR（p）序列。若備擇假設(shè)H1、假設(shè)1 和假設(shè)2 成立，當(dāng)T→∞時，Ξ=R(k*)，有：

證明：若k

從而得到分母第二項的發(fā)散速度：

3 Subsampling抽樣

因為趨勢變點的極限分布依賴于尾指數(shù)κ，目前已有一些關(guān)于尾指數(shù)估計的文獻，比如Koedijk 等（1990）[12]和Resnick（2007）[13]的研究，但其準(zhǔn)確性不是很好。當(dāng)使用Subsampling 抽樣方法的時候就能避免參數(shù)κ的估計。具體步驟如下：

第一步，計算yt對μ和β回歸的最小二乘估計殘差：=yt--，t=1,2,…,T。

第二步，計算對ρ回歸的最小二乘估計殘差：

構(gòu)造如下檢驗統(tǒng)計量：

為驗證Subsampling 抽樣方法的Ratio 檢驗有效性，下面給出原假設(shè)下的相合性。

定理3：當(dāng)T→∞,b→∞時，滿足b/T→0。若假設(shè)1和假設(shè)2同時成立，則對任意x>0，有。

在開發(fā)房地產(chǎn)之前，必須要考慮好供求關(guān)系，這對于房價、成本計算以及開發(fā)時間和房屋的數(shù)量等起到了重要的價值，也可以促進房地產(chǎn)行業(yè)的發(fā)展。可以促進城市的建設(shè)，在規(guī)劃當(dāng)中，還需要控制風(fēng)險來讓規(guī)劃變得更具有可行性。

定理3：證明可參考文獻[11]。

4 數(shù)值模擬

通過經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢的模擬結(jié)果來說明上述基于Subsampling 抽樣Ratio 檢驗趨勢變點的合理性。以下是樣本數(shù)據(jù)yt的產(chǎn)生過程：

考慮εt是一個AR（1）過程，εt=ρεt-1+ηt,ηt是獨立同分布的厚尾序列。尾指數(shù)κ?{1.1,1.2,…,1.9}。不失一般性，設(shè)置μ=0,β=0?？紤]跳躍幅度??{0,0.2,0.6,1}，自回歸系數(shù)ρ?{-0.9,-0.5,0,0.5,0.9}，變點位置v*?{0.3,0.5,0.7}，置信水平α=5%，樣本量T?{300,500,1000}，進行3000次循環(huán)。

因經(jīng)驗水平都在5%的置信水平波動，所以經(jīng)驗水平的扭曲可以忽略。數(shù)值模擬結(jié)果（見表1 至表3）表明，首先，經(jīng)驗水平不依賴于自回歸系數(shù)ρ，這和定理1 是一致的；其次，經(jīng)驗水平對尾指數(shù)的變化是敏感的；最后，隨著T的增大，經(jīng)驗水平波動性減小。所以在原假設(shè)下，基于Subsampling 抽樣的Ratio 檢驗?zāi)芎芎玫乜刂平?jīng)驗水平。

表1 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢（T=300）

表2 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢（T=500）

表3 Subsampling抽樣的Ratio檢驗的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢（T=1000）

Subsampling抽樣的Ratio檢驗在備擇假設(shè)下的經(jīng)驗勢受到樣本量、跳躍幅度、變點位置、自回歸系數(shù)和尾指數(shù)的影響，純模擬結(jié)果表明：

（1）隨著樣本容量T=300,500,1000 的增加，統(tǒng)計量的經(jīng)驗勢隨之增加。這與定理2 是一致的，即在存在趨勢變點的情況下，樣本量越大，統(tǒng)計量越發(fā)散。

（3）統(tǒng)計量在后端的經(jīng)驗勢大于在前端的經(jīng)驗勢，即變點在后端時更易檢驗。例如當(dāng)T=300,?=0.6,ρ=0.5,κ=1.7 時，對于v*=0.3,0.5,0.7，經(jīng)驗勢分別是0.4805、0.8535和0.9420。

（4）在一階自回歸過程中，ρ≤0 的經(jīng)驗勢大于ρ>0的經(jīng)驗勢，這和定理2 是一致的。除ρ=-0.9 之外，其余自回歸系數(shù)的經(jīng)驗勢近似重合。例如當(dāng)T=500,?=0.6,v*=0.7,κ=1.7 時，對于ρ=-0.5，ρ=0 和ρ=0.5，經(jīng)驗勢分別為0.9680、0.9640和0.9560。

（5）當(dāng)?=0.2,κ≤1.6 時，即使T很大，經(jīng)驗勢也比較低，所以很難檢驗出趨勢變點。但當(dāng)κ>1.6 時，經(jīng)驗勢就比較高。因趨勢變點的發(fā)散速度為T3-2/κ，所以κ較大時有更快的發(fā)散速度。以上的數(shù)值模擬結(jié)論說明Subsampling抽樣的Ratio統(tǒng)計量能夠檢驗厚尾序列的趨勢變點。

5 谷歌股票價格分析

為通過實際應(yīng)用說明Subsampling 抽樣的Ratio 統(tǒng)計量能夠檢驗趨勢變點，選取2016 年8 月19 日至2018 年1月18 日谷歌股票收盤價的356 次觀察數(shù)據(jù)（見圖1）進行實證。首先，根據(jù)Perron 和Zhu（2005）[9]提出的方法估計趨勢變點=173，把整個樣本序列分成兩段[1,173] 和[1 74,356],修正后的序列定義為,t=1,…,356,,其 中，=783.4415,=0.4282，=0.3605；其次，使用貝葉斯信息準(zhǔn)則，判定為AR(1)模型并計算臨界值Ξb(0.05)=0.8406，其中，α=0.05，b=45；然后，用原始序列zt代替vt代入Ratio 統(tǒng)計量，得到Ξ=0.9047>0.8406，說明序列確實存在趨勢變點；最后，由于序列若存在持久性變點，也會出現(xiàn)上述現(xiàn)象，因此應(yīng)用Kim（2000）[14]提供的Ratio統(tǒng)計量檢驗此變點，并未發(fā)現(xiàn)持久性變點。所以，該序列存在趨勢變點。

圖1 Google股票收盤價

6 結(jié)束語

本文提出基于Subsampling 抽樣的Ratio 統(tǒng)計量來檢驗厚尾AR(p)序列趨勢變點。在原假設(shè)下推導(dǎo)出統(tǒng)計量的極限分布是列維過程的泛函，在備擇假設(shè)下得到統(tǒng)計量的一致性。同時，Subsampling抽樣對于厚尾AR(p)序列有比較精確的臨界值。蒙特卡洛數(shù)值模擬結(jié)果表明該抽樣的Ratio檢驗實現(xiàn)了較好的經(jīng)驗水平和經(jīng)驗勢。最后，通過一組數(shù)據(jù)闡明了理論的可行性和有效性?？傊?，基于Subsampling 抽樣的Ratio 檢驗是判斷厚尾序列有趨勢變點的有效工具。