基于計(jì)數(shù)單位，感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性

韓菲　孫玉婷　郎建勝

［摘 要］計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)“數(shù)”概念的基礎(chǔ)，數(shù)的意義、組成、比較大小等知識在本質(zhì)上都是計(jì)數(shù)單位的應(yīng)用，小學(xué)數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)的三種數(shù)——整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)也因計(jì)數(shù)單位搭建起緊密的知識聯(lián)系。計(jì)數(shù)單位也是學(xué)生理解運(yùn)算算理的基礎(chǔ)，四則運(yùn)算可視為計(jì)數(shù)單位的累加、遞減、分解和組合。以計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算過程，從計(jì)數(shù)單位角度認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系，這種數(shù)與運(yùn)算的一致性教學(xué)能加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，建構(gòu)起數(shù)學(xué)的完整脈絡(luò)。

［關(guān)鍵詞］計(jì)數(shù)單位；數(shù)與運(yùn)算；一致性

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0039-04

一、研究背景

1.數(shù)與運(yùn)算的一致性是新課標(biāo)的要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對四大領(lǐng)域的課程內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化整合，呈現(xiàn)整體性、一致性和階段性的特點(diǎn)。其中在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，新課標(biāo)將內(nèi)容整合為“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題?！皵?shù)與運(yùn)算”包括數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算兩部分，新課標(biāo)將二者作為一個整體體現(xiàn)出數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算之間的密切聯(lián)系。新課標(biāo)指出：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識?！币虼?，加強(qiáng)數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算的一致性，溝通“認(rèn)數(shù)”與“算數(shù)”之間的聯(lián)系是數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的重中之重。數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的聯(lián)系不是浮于表面的知識點(diǎn)過渡與鋪墊，而是挖掘知識之間的核心聯(lián)系，否則，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)就是零散的、相互割裂的，缺乏內(nèi)在聯(lián)系的。因此，將數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算整合為一個主題，從計(jì)數(shù)單位出發(fā)挖掘整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義，將有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運(yùn)算。

2.計(jì)數(shù)單位是數(shù)與運(yùn)算一致性的核心

新課標(biāo)提出要整合相同本質(zhì)的內(nèi)容，以加強(qiáng)知識間的聯(lián)系；善用核心概念，在學(xué)生腦中構(gòu)建學(xué)科知識體系。其中計(jì)數(shù)單位就是數(shù)與運(yùn)算的核心概念之一，貫穿在整個小學(xué)階段數(shù)與運(yùn)算的學(xué)習(xí)中。在人教版四年級教材中，計(jì)數(shù)單位一詞正式出現(xiàn)，實(shí)際上學(xué)生對這個詞并不陌生，從一年級開始就在數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算學(xué)習(xí)過程中常常接觸。學(xué)生對計(jì)數(shù)單位最基本的理解是個、十、百、千等逐漸擴(kuò)大的數(shù)位，但對于“為什么產(chǎn)生計(jì)數(shù)單位”“整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位之間有什么聯(lián)系”等問題存在不同認(rèn)知，在教學(xué)中這些問題也常被忽略。

在數(shù)的認(rèn)識方面，數(shù)的認(rèn)識是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，其內(nèi)容包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，主要學(xué)習(xí)數(shù)的意義、表示、讀寫、組成、比較大小、運(yùn)算等。在數(shù)的意義和組成上，一個數(shù)由它的計(jì)數(shù)單位的個數(shù)組成，如456由4個百、5個十和6個一組成， 0.28由2個0.1和8個0.01組成，[34]由3個[14]組成。在讀自然數(shù)時要讀出數(shù)字符號和計(jì)數(shù)單位，在比較大小時是比較相同計(jì)數(shù)單位下的個數(shù)多少。可以說，計(jì)數(shù)單位決定了數(shù)的意義、讀寫、組成、比較大小、運(yùn)算，它將眾多知識點(diǎn)串聯(lián)在一起，形成結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡(luò)。其實(shí)學(xué)生在生活中就已經(jīng)有了相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，如分東西時會選擇2個2個地分或5個5個地分，這是為了更方便計(jì)數(shù)與交流而創(chuàng)造出來的“單位”。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中會逐漸感悟到“單位”的用處不僅體現(xiàn)在數(shù)的認(rèn)識中，感悟到計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，體會到數(shù)學(xué)中統(tǒng)一的基本思想。

在數(shù)的運(yùn)算方面，數(shù)與運(yùn)算的一致性是通過計(jì)數(shù)單位聯(lián)系起來的。在產(chǎn)生數(shù)和數(shù)數(shù)過程中必然伴隨數(shù)的增加或減少，這是加減運(yùn)算的意義之一；若數(shù)以一定單位成倍地增加或減少，這是乘除運(yùn)算的意義之一。在加減運(yùn)算時將相同的計(jì)數(shù)單位相加減，在乘除運(yùn)算時將計(jì)數(shù)單位個數(shù)累加和遞減，在加減乘除筆算時還要注意數(shù)位對齊，等等，這些都離不開計(jì)數(shù)單位的運(yùn)用。數(shù)的運(yùn)算可以看作是計(jì)數(shù)單位之間的運(yùn)算，基于十進(jìn)制和位值制規(guī)則，以計(jì)數(shù)單位為整體進(jìn)行運(yùn)算，包括分?jǐn)?shù)的通分也是為了轉(zhuǎn)換為相同的計(jì)數(shù)單位再進(jìn)行運(yùn)算。無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算過程中都發(fā)揮著巨大的作用，它是運(yùn)算算理的基礎(chǔ)與核心，也是搭建運(yùn)算整體性的橋梁。

綜上可知，計(jì)數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算中具有重要地位，要想深入地認(rèn)識與理解計(jì)數(shù)單位，還要從計(jì)數(shù)系統(tǒng)的發(fā)展說起。

二、從計(jì)數(shù)系統(tǒng)的發(fā)展過程理解一致性

1.符號的誕生

數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)量的抽象源于對現(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)驗(yàn)。人們對數(shù)量多少的感知是天生的，起初古人還不會用數(shù)來表示物體的多少，于是用一一對應(yīng)的方法進(jìn)行比較，基于一一對應(yīng)的感受與對物體的計(jì)量慢慢形成多與少的概念。對于同樣的東西，理解多與少比較簡單，加上就是多了，拿走就是少了，于是加減運(yùn)算就在一一對應(yīng)的數(shù)數(shù)基礎(chǔ)上形成了。

隨著表示數(shù)量的需求增加以及出于溝通的需要，人們漸漸開始用身邊的常見集合來表示數(shù)，這樣不需要將具體的事物呈現(xiàn)在對方眼前就可以交流數(shù)量的多少，如用一只手表示5個蘋果，用石頭、小木棍表示獵物數(shù)量。后來，人們創(chuàng)造了一些通用符號表示事物，為生產(chǎn)交換和溝通提供便利，如古埃及的象形文字、中國的甲骨文等。此階段的計(jì)數(shù)實(shí)現(xiàn)了一定的抽象，人們會用符號表示1頭?；?粒米，但這里的“1”仍與具體事件有關(guān)。隨著時間的推移，人們創(chuàng)造了專屬的數(shù)字符號，這時符號的表達(dá)脫離了背景，僅表達(dá)數(shù)量多少而沒有其他具體的含義。

2.從非進(jìn)位到進(jìn)位

進(jìn)制計(jì)數(shù)是人為定義的一種可進(jìn)位的計(jì)數(shù)方法，人們根據(jù)不同的文化背景與需求產(chǎn)生了不同的進(jìn)制，如古巴比倫人采用六十進(jìn)制，古埃及人采用十進(jìn)制。目前普遍使用的是十進(jìn)制，即相鄰兩個計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10。這與人類天然有10根手指有關(guān)，符合人類的思維習(xí)慣。在數(shù)字符號產(chǎn)生之前，遠(yuǎn)古時期的人們經(jīng)常采用結(jié)繩計(jì)數(shù)法，一開始用1個結(jié)表示1，后來隨著計(jì)量數(shù)量的增多，人們開始想到區(qū)分繩結(jié)的大小、位置、花式、顏色等來表示不同的數(shù)量單位，進(jìn)而用不同的物體表示不同的量，而不只是將“1”簡單地重復(fù)，這是最原始的進(jìn)制計(jì)數(shù)。后來人們在龜甲、骨頭、泥板上刻下記號以達(dá)到計(jì)數(shù)的目的，逐漸形成通用的數(shù)字符號。如圖1中的古埃及象形數(shù)字，當(dāng)計(jì)數(shù)到十、百、千、萬……則改用一種新的符號表示，無須一直用“1”來重復(fù)計(jì)量與表示數(shù)，為記錄較大的數(shù)量提供便利。

3.從非位值制到位值制

數(shù)量有無數(shù)個，難道要創(chuàng)造無數(shù)個符號來表示嗎？聰明的人類想到了將符號重復(fù)使用，于是創(chuàng)造了位值原則。位值原則是指同一個數(shù)擺在不同的位置以表示不同的數(shù)值，如3在個位上表示3個一，在十位上表示3個十。在教學(xué)中數(shù)的表達(dá)實(shí)際上是多少個計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，如50表示5個十，3/4表示3個1/4，0.8表示8個0.1。

將十進(jìn)制與位值制相結(jié)合就是目前常用的十進(jìn)制位值計(jì)數(shù)法。它以十進(jìn)制和位值制為原則，哪一數(shù)位上的數(shù)滿10便向前一數(shù)位進(jìn)1，這里的“進(jìn)1”是指一個計(jì)數(shù)單位。以此遞推，同一個符號在不同位置上表示的數(shù)值不同，并且不同位置之間具有一定的數(shù)量關(guān)系，這樣便可以用有限的符號代表所有的數(shù)值。至此，計(jì)數(shù)的發(fā)展實(shí)現(xiàn)了高層次抽象并具有了廣泛應(yīng)用性，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

三、從數(shù)的產(chǎn)生與倍數(shù)關(guān)系理解一致性

1.從數(shù)的產(chǎn)生理解計(jì)數(shù)單位的一致性

學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展具有階段性，對某個數(shù)學(xué)對象的深入認(rèn)識往往需要分階段學(xué)習(xí)，因此小學(xué)數(shù)學(xué)教材也采用螺旋式結(jié)構(gòu)編排，但這容易導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識較為分散，知識與知識之間沒有形成結(jié)構(gòu)化與系統(tǒng)化的體系，學(xué)生無法對數(shù)學(xué)形成全面完整的認(rèn)識，無法深入理解知識之間的聯(lián)系。因此在教學(xué)中，教師不僅要注意知識內(nèi)部的縱向聯(lián)系，還要注意各知識間的橫向聯(lián)系。例如，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間因計(jì)數(shù)單位而相互聯(lián)系。又如，計(jì)數(shù)單位可以從兩個方面來理解：“計(jì)數(shù)”指數(shù)事物的個數(shù)與順序，可以一個一個地?cái)?shù)，也可以十個十個地?cái)?shù)，是對數(shù)數(shù)的抽象；“單位”是計(jì)量物體標(biāo)準(zhǔn)量的名稱，如厘米、噸等。

對整數(shù)而言，“一”是最基本的計(jì)數(shù)單位，從1開始累加，數(shù)到10便產(chǎn)生了一個新的計(jì)數(shù)單位“十”，從10開始可以一為計(jì)數(shù)單位累加，11、12、13……直到20成為2個十，也可以十為計(jì)數(shù)單位累加，20、30、40……直到100又產(chǎn)生了一個新的計(jì)數(shù)單位“百”?；诖嗽?，自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位逐漸擴(kuò)大，形成了個、十、百、千、萬等計(jì)數(shù)單位。

“1”還是自然數(shù)與分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)）計(jì)數(shù)單位的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，具有豐富的內(nèi)涵?！?”可以指一個物體，如1個月餅；也可以指一個計(jì)量單位，如1米；還可以指一些物體組成的整體，如1箱蘋果。這樣的“1”不再只有“具體數(shù)量1個”的含義，在關(guān)系表達(dá)中可表示為不限個數(shù)的1份，代表一個整體，常被稱為單位“1”。當(dāng)分物、測量和計(jì)算無法用整數(shù)表達(dá)結(jié)果時，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是為了讓數(shù)表達(dá)得更精確，將自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位“一”均分后產(chǎn)生了更小的單位，這樣的溝通使自然數(shù)的“一”與單位“1”具有了相似性和一致性。

為了滿足現(xiàn)實(shí)世界中表達(dá)的需要以及數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，小數(shù)便產(chǎn)生了，并且沿用了與整數(shù)一致的十進(jìn)制。小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的小數(shù)主要是有限小數(shù)，其也被稱為十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。將分?jǐn)?shù)單位中的1/10、1/100等作為小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，實(shí)現(xiàn)整數(shù)與小數(shù)在表達(dá)與計(jì)數(shù)上的一致性。兩者皆采用十進(jìn)制，如果說整數(shù)的計(jì)數(shù)單位從小到大是逐漸擴(kuò)大10倍，那么小數(shù)的計(jì)數(shù)單位就是從大到小逐漸縮小10倍。

2.從倍數(shù)關(guān)系理解計(jì)數(shù)單位的一致性

倍數(shù)關(guān)系是數(shù)量關(guān)系中最重要的一種，在認(rèn)識數(shù)的過程中，除了理解數(shù)表示“數(shù)量”，還要加強(qiáng)理解表示“倍數(shù)關(guān)系”這一概念。無論是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，其計(jì)數(shù)單位都可以表示倍數(shù)關(guān)系，如1/3既可以表示一條線段長1/3米，也可以表示這條線段是另一條線段的1/3?！氨丁币部梢詫⒊朔ê统?lián)系起來，例如：2米長的線段的3倍就是以2米為計(jì)數(shù)單位度量3次，即2×3；6米長的線段是2米長的線段的幾倍，就是以6米為計(jì)數(shù)單位，看其中包含了幾個2米，即6÷2。這樣，“倍數(shù)關(guān)系”很好地將數(shù)與運(yùn)算的知識統(tǒng)一起來。小學(xué)教材中對于“倍”的編排分為兩個階段：三年級上冊初步認(rèn)識“倍”，借助直觀具體的關(guān)系圖理解誰是誰的幾倍，以及解決簡單的倍數(shù)關(guān)系問題；五年級下冊從除法的定義出發(fā)，更深層次地理解倍數(shù)的概念。這些都離不開計(jì)數(shù)單位“份數(shù)意義”上的累加或分配。

為了使學(xué)生更好理解倍數(shù)關(guān)系，教師在教學(xué)時需要明確找出兩個量在計(jì)數(shù)單位上的聯(lián)系，也就是明確把誰看作比較時的標(biāo)準(zhǔn)量。例如，有2條長分別為1米和3米的線段，如果把1米長的線段看作單位“1”，則3米長的線段里有3個1，因此3米長的線段是1米長的線段的3倍；反之，如果把3米長的線段看作單位“1”，那么1米長的線段是3米長的線段的1/3。從“自然數(shù)可以表示倍數(shù)關(guān)系”遷移到“分?jǐn)?shù)可以表示倍數(shù)關(guān)系”，是借助三年級“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”理解“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的含義。

四、基于計(jì)數(shù)單位的一致性，教學(xué)中需注意什么

教學(xué)注重一致性是新課標(biāo)提出的新理念，然而教師在追求一致性的過程中也不能忽視學(xué)生學(xué)習(xí)階段性的特點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生每個學(xué)段的認(rèn)知特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律合理安排學(xué)習(xí)任務(wù)。若一味地追求一致性而忽視了學(xué)生的接受程度或?qū)A(chǔ)知識的深層理解，反而達(dá)不到良好的教學(xué)效果。因此，課堂教學(xué)中應(yīng)避免出現(xiàn)以下情況。

1.內(nèi)容復(fù)雜深奧，超出學(xué)生的理解范圍

數(shù)學(xué)作為一門高度抽象的學(xué)科，具有嚴(yán)密、深奧的知識體系，知識與知識之間有著許多復(fù)雜的脈絡(luò)，而小學(xué)生的思維特點(diǎn)還不足以深刻理解這些復(fù)雜的知識脈絡(luò)。因此，教師不應(yīng)在學(xué)生思維能力尚未達(dá)到成熟水平時額外補(bǔ)充一些復(fù)雜的知識，教學(xué)要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)鞏固基礎(chǔ)與拓展提升。如10的認(rèn)識是認(rèn)識數(shù)由量變到質(zhì)變的重要內(nèi)容，教師可以補(bǔ)充個位、十位數(shù)位的認(rèn)識，十位上的1表示1個十，引導(dǎo)學(xué)生體會滿10進(jìn)1的過程，但是不需要在這里講解位值原則以及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，也不需要講授二進(jìn)制和五進(jìn)制等，即教師應(yīng)注意選擇合適的時機(jī)、把握合適的尺度建立知識的一致性和內(nèi)在聯(lián)系，避免在學(xué)生思維尚未成熟、對知識一知半解的狀態(tài)下講解復(fù)雜深奧的內(nèi)容。

2.急于求成，缺少經(jīng)歷觸及知識本質(zhì)的過程

把握數(shù)與運(yùn)算的一致性是站在更高的層面上，用聯(lián)系的視角對知識進(jìn)行統(tǒng)整，這是理解數(shù)學(xué)知識一般化的過程，也是一個更抽象、更本質(zhì)的過程。學(xué)生認(rèn)識事物存在階段性的特點(diǎn)，上述過程應(yīng)是在了解學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的前提下，讓學(xué)生逐步認(rèn)識和經(jīng)歷的，因此，教學(xué)應(yīng)當(dāng)是循序漸進(jìn)、逐步深入的。學(xué)生只有經(jīng)歷了觸及知識本質(zhì)的過程，才能逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維與素養(yǎng)，自覺搭建起認(rèn)數(shù)與算數(shù)之間的橋梁。在探索一致性教學(xué)的過程中，如果教師試圖通過一節(jié)課的時間講清聯(lián)系，或者沒有選擇好恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)就觸及知識的本質(zhì)以及關(guān)于一致性的理解，這樣的教學(xué)就犯了急于求成的錯誤。

溝通一致性能幫助學(xué)生更深層次地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，有時也能更好地理解算理和算法。教師可以通過一些巧妙的教學(xué)方法，從計(jì)數(shù)單位的角度出發(fā)去設(shè)計(jì)教學(xué)。例如，為了在“分?jǐn)?shù)的加減法”一課中滲透“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減”這條加法的基本原理，教師出示如下題組：

400+300=

0.4+0.3=

23×4+23×3=

4/9+3/9=

教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察這些算式的相同之處，即所有題目都是在計(jì)算“4+3=7”，接著提問：“這些算式又有什么不同之處？”有學(xué)生回答：“第一道算式是4個百加3個百，第二道算式是4個十分之一加3個十分之一……”最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，它們都是計(jì)數(shù)單位不變，單位個數(shù)相加。

綜上所述，學(xué)生通過深入理解計(jì)數(shù)單位進(jìn)而對數(shù)與運(yùn)算的一致性有所感悟，這是一個循序漸進(jìn)的過程。在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，教師應(yīng)在學(xué)生的理解范圍內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)系的視角看待數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運(yùn)算，這樣才能真正促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的理解以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象（第1輯）[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

[4] 朱國榮.從“不到1個”到“不到1倍”：“分?jǐn)?shù)表示倍數(shù)關(guān)系的含義”一課教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（Z1）：83-87.

（責(zé)編 李琪琦）