基于雙層規(guī)劃模型的城市軌道交通運營方案優(yōu)化設計

曹紫薇，林南南，劉志鋼

摘? 要：基于城市軌道交通客流時間分布不均勻，考慮客流出行隨機性，通過建立雙層規(guī)劃模型，探究不同風險類型乘客的出行時段選擇對軌道交通運營的優(yōu)化方案。上層模型考慮企業(yè)運營成本與乘客出行成本，以發(fā)車時間間隔建立列車多時段行車間隔優(yōu)化模型，下層模型則考慮乘客隨機出行需求產生的影響，結合乘客出行成本建立隨機乘客均衡模型來獲得不同出行風險類型乘客下的確定性出行時段客流及乘客期望出行成本。通過算例分析驗證模型有效性，分析不同的風險類型乘客的出行時段對列車發(fā)車間隔設置的影響。結果表明，乘客對風險厭惡程度越高，選擇客流高峰出行的乘客會減少，轉而在非高峰時段出行。所建立的模型可以幫助企業(yè)選擇合理的運營方案使得企業(yè)運營成本不高的同時提高乘客服務質量，保證運營安全。

關鍵詞：軌道交通；運營成本；雙層規(guī)劃模型；乘客出行需求

中圖分類號：F570? ? 文獻標志碼：A? ? DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.11.020

Abstract： Considering the randomness of urban rail transit passenger flow， a bi-level programming model is established to explore the optimal scheme for rail transit operation under different risk types of passenger travel time choice. The upper model considers the operation cost of the enterprise and the travel cost of the passengers， and establishes a multi-period interval optimization model based on the departure time interval， while the lower model considers the impact of the random travel demand of the passengers， a stochastic passenger equilibrium model is established to obtain the deterministic travel time flow and expected travel cost of passengers with different travel risk types. The validity of the model is verified by an example， and the influence of the travel time of passengers with different risk types on the train departure interval settings is analyzed. The results show that the more risk-averse passengers are， the fewer passengers will choose to travel in rush hour， and they will travel in non-rush hour. The established model can help enterprises to choose a reasonable operation plan to make low operating costs while improving the quality of passenger service， to ensure the safety of operation.

Key words： rail transit; operation cost; bi-level programming model; passenger travel needs

0? 引? 言

軌道交通高效快速，安全環(huán)保且運力強大，逐漸成為出行人員的首選交通方式，各城市在逐步加快軌道交通的建設。在城市軌道交通也就是地鐵運營過程中，如何設計列車開行方案至關重要，需協(xié)調各部門的工作，也關系到乘客滿意度與企業(yè)的經濟效益。由于客流的不確定性，軌道交通不同運營時段的客流量有較大差異，Sun等[1]將時變客流需求作為一個變量，構建了軌道交通列車開行方案的優(yōu)化模型，并進行了對比分析；Erfan等[2]考慮了關于列車運行中的不確定性，優(yōu)化了軌道交通始發(fā)站列車的發(fā)車時間優(yōu)化模型。但是都假設乘客的到達分布已知且相對穩(wěn)定，而這在現(xiàn)實生活中是不成立的。關于乘客的出行，朱宇婷等[3]研究發(fā)現(xiàn)，乘客的出行選擇會因公共交通的開行方案發(fā)生變化，如在客流高峰乘客會根據開行方案及客流量，考慮列車容量而調整自己的出行時段。對于成本問題，鄧連波等[4]構建彈性需求函數(shù)來考慮乘客廣義出行成本；湯蓮花等[5]則是基于成本建立了雙層規(guī)劃模型來優(yōu)化軌道交通開行方案；丁小兵等[6]從多交通方式的角度構建成本模型，分析乘客選擇的出行路徑。本文考慮乘客對出行風險的不同，考慮不同風險等級的乘客進行出行時段選擇情況下，結合運營企業(yè)和乘客雙方利益需求，建立關于列車發(fā)車間隔的優(yōu)化模型，從而對軌道交通運營方案進行優(yōu)化。

1? 問題描述與分析

1.1? 問題描述

軌道交通運行中易出現(xiàn)客流時空分布不均，如早晚可能會出現(xiàn)單向高峰客流，也會出現(xiàn)客流稀疏的情況，列車運行中車內人員數(shù)量稀少，供需不匹配會導致企業(yè)運營成本高于運營收入，但若是將列車發(fā)車間隔增加過多，可能會使乘客未能乘坐上班列車，但等待下班列車到達時間較長，增加乘客的出行成本。對于軌道交通線路平峰時段，列車運行間隔過短會造成運營成本上升，過長會使得乘客等待時間加長，影響服務質量，對此建立仿真模型。

1.2? 乘客一般出行成本分析

根據陳治亞等[7]的研究，乘客實際出行時段會由于隨機因素與其期望出行時段存在一定差異，令n=1，2，…，N為車站集合，GH為線路OD對gh的集合，T為時段集合。將OD對路段gh且乘客期望在出行時段■的確定性需求表示為q■■，選擇實際出行時段■表示為q■■，實際在時段■出行的乘客表示為q■■，其中：q■■=Σ■q■■；q■■=Σ■q■■，乘客出行成本考慮如下。

1.2.1? 候車時間成本

乘客出行時，希望出行時間最小，在考慮乘客出行成本時，需考慮乘客候車時間成本。假設乘客到達服從均勻分布，站臺上的乘客可以全部上車，如圖1所示，可以看出乘客出行平均候車時間可表示為列車發(fā)車間隔的一半，即：

c■=■t■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

式中：t■為時段■的列車在站點n的間隔時間，對于全自動運行列車而言其就是列車發(fā)車時間間隔。

1.2.2? 乘車擁擠成本

乘客出行除了候車時間，不同時段的車內人員擁擠也會一定程度影響乘客的出行選擇。相關研究[8-9]認為乘客在車廂內感知擁擠度隨在車內時間增長而增加，參考陳治亞等[7]的研究中使用的BPR 函數(shù)來構建車廂擁擠度函數(shù)，在列車運營時段■的線路段n，n+1上的擁擠成本為：

c■=r■1+λt■■■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

式中：r■為列車n-1與n站點間的運行時間，λ和 k為車內擁擠參數(shù)，C為列車額定載客量。x■■和x■■分別為列車運營時段■內站點間的確定與隨機性客量。

x■■=∑■q■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

x■■=∑■q■■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式中：GHn是站點n，n+1之間的OD對集合。

1.2.3? 時段偏移成本

企業(yè)對線路運營進行優(yōu)化的同時可能會影響到乘客出行，可能使乘客提前或者延后出行，從而產生時段偏移成本，用η表示乘客的單位時段偏移成本。該成本可表示為：

c■=η■-■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

1.2.4? 乘車票價費用

乘客乘坐軌道交通需購買乘車車票，用f■表示時段■內乘客的單位公里乘車票價成本：

c■=f■·l■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

式中：l■為乘客出行距離。

綜上，乘客出行時，OD對gh期望出行時段為■實際為■的確定性乘客需求的一般出行成本為：

C■=c■+∑■■c■+c■+c■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

2? 模型建立

2.1? 下層模型建立

乘客的隨機出行需求使得確定性乘客的出行成本不確定，當乘客對于出行時段要求不嚴格時，會出現(xiàn)其根據軌道交通運營做出更改出行時段的選擇，假設■時段OD對gh隨機需求q■■服從正態(tài)分布Nμ■， σ■■且相互獨立，根據中心極限定理，由公式（4）、公式（2）可知x■■服從 Nμ■， σ■■，c■服從 NE■， σ■■■，其中：μ■=∑■μ■；σ■■=∑■σ■■; E■=r■+■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1！??；σ■■■=■■·∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1?。?∑∑■■■σ■■μ■+x■■■j-1??！■。

假設乘客一般出行成本中的各成本相互獨立，則C■服從 NE■， σ■■，其中E■=c■+∑■■E■+c■+c■；σ■■=∑■■σ■■■。

由于乘客選擇出行時期望出行成本最小，但隨機性會使成本發(fā)生變動，考慮出行成本預算[10]。

ξ■=E■+ε■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

由于乘客隨機需求，根據文獻[10]將持有不同風險態(tài)度等級乘客的出行概率表示為ρ=PC■≤ξ■=P■≤■，則其分布函數(shù)為φξ■-E■σ■=ρ，故出行成本為：

ξ■=E■+σ■φ■ρ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

根據文獻可知，客流量可采用logit模型分配，從而得到OD 對gh出行時段期望為■實際為■的確定客流為：

q■■=q■■·■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

q■■≥0? ? ■，■∈T， gh∈GH? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

2.2? 上層模型建立

運營單位希望保證乘客服務質量的同時延長發(fā)車時間間隔來降低企業(yè)運營成本，上層模型考慮企業(yè)運營成本與乘客出行成本最小化。

由于軌道交通企業(yè)的運營成本主要考慮為列車的運行成本，采用列車的單位車公里的運行成本c■與列車行駛公里l的乘積進行表示，即∑■■·l·c■，故企業(yè)運營成本為：

Z■=∑■■·l·c■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

乘客期望出行總成本為：

Z■=∑■∑■∑■q■■·E■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（13）

由于在城市軌道交通運營中，同一方向正線的同一運行區(qū)間會有兩列或多列列車同時運行[11]，因此要考慮列車發(fā)車時間間隔，時間間隔太小可能會出現(xiàn)安全隱患且有一定的技術運營限制，時間間隔太大會增加所有乘客的等待時間。故列車發(fā)車時間間隔應設置合理閾值范圍。

t■≤t■≤t■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （14）

3? 模型求解算法

對于建立的雙層規(guī)劃模型，采用結合MSA算法的NSGA-Ⅱ算法進行求解。下層模型求解得到客流分配，得出乘客需求q■■與乘客期望出行成本E■，作為參數(shù)輸入上層模型中，求解可得到發(fā)車時間間隔最優(yōu)解集。

第一步：初始化。設置遺傳算法的參數(shù)和模型的參數(shù)，分別為下層模型和上層模型生成初始可行解。

第二步：下層模型求解。設置下層模型迭代次數(shù)，使OD對gh初始客流為0，計算下層模型初始出行成本、初始客流分配、初始確定性客流，并更新乘客期望出行成本與出行成本預算，更新確定性客流。判斷算法是否收斂或迭代次數(shù)是否達到閾值，是進行下一步，否則返回進行第二步迭代。

第三步：上層模型求解，設置上層模型迭代次數(shù)，輸入下層模型最優(yōu)解，隨機產生初始種群，編碼得到初始種群，計算上層模型的企業(yè)運營成本與乘客出行成本，進行交叉變異，合成新種群，并對種群內所有個體非支配排序得到非支配層，再放入新的父代種群，使用擁擠度算法計算并排序個體擁擠度，得到新的父代種群，更新企業(yè)運營成本與乘客出行成本。

第四步：終止判斷。判斷迭代次數(shù)是否達到最大，是則終止并輸出最終解；否則，轉到第三步，進行下一次迭代。

4? 算例分析

采用上海軌道交通某線路進行算例分析，該線路共有26個站點，考慮列車運營7：00—13：00，將其劃分為三個時段，高峰（1）、平峰（2）、低谷期（3），每個時段2個小時。該線路列車發(fā)車時間間隔為t■=12min， t■=3min，線路全長36.8km，各時段初始發(fā)車間隔為3min、7min、10min，列車行駛的成本參數(shù)c■=80（元/列·km），乘客出行單位時段偏移費用η=1.55，BPR參數(shù)λ=0.15， k=4，使用MATLAB進行求解。

首先探究不同風險等級乘客出行，分別取ρ為0.5，0.7，0.9，ρ越大，說明乘客厭惡風險。根據企業(yè)確定的初始列車發(fā)車間隔與各時段的客流數(shù)據可以得到不同ρ值下的確定客流分配，圖2中折線表示OD對1，8的各時段期望出行客流，柱狀圖表示各時段實際出行客流，可以發(fā)現(xiàn)實際出行選擇時段1的客流量小于期望出行時段1的客流，圖2中實際出行時段2與3的不同色塊表示其他時段期望出行客流轉至該時段出行客流，看出期望出行時段為1的乘客會轉向于時段2、3出行。

從不同ρ值下的帕累托最優(yōu)解集中選取兩端與中間三種方案與初始方案進行對比分析，如表1所示，得出下邊信息，可以看出方案一與方案三相對于初始方案會出現(xiàn)兩個目標向相反方向變動較大，綜合考慮目標一、目標二應該可以將方案二作為參考方案。

對于方案二優(yōu)化后的列車行車間隔如表2所示，可以看出對于不同出行風險類型的乘客所設置的列車發(fā)車間隔有所不同，但是高峰時段可以縮短發(fā)車間隔，在平峰及低谷時段可以適當延長發(fā)車間隔來緩解乘客出行需求與企業(yè)運營成本之間的矛盾，對于時段1的發(fā)車間隔的設置可以看出對于風險規(guī)避乘客來說會盡量避免高峰時刻出行，此時的發(fā)車時間間隔是相對較長的，因此可以考慮不同客流出行需求分布，設置合理的發(fā)車時間間隔以緩解高峰客流列車與站點服務壓力并避免非高峰時段企業(yè)列車運營不合理現(xiàn)象。

5? 結? 論

通過考慮乘客在不確定性條件下的出行選擇，給予乘客出行成本預算，引入不同風險類型乘客出行需求，建立上層模型考慮企業(yè)成本與乘客出行成本，下層模型考慮隨機客流分配的雙層規(guī)劃模型。通過下層模型得到配流結果調整上層模型中的軌道交通線路不同運營時段的列車發(fā)車時間間隔。從算例結果中可以知道不同風險類型的出行乘客中，對出行風險越敏感，越多的期望高峰時段出行的乘客選擇其他時段出行，會降低高峰斷面客流，增加其他時段斷面客流量，企業(yè)可以根據實際情況選擇合理的列車行車間隔來有效控制運營成本提高服務質量。

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