“一題一課”模式下對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的探索與實(shí)踐*

盧紅衛(wèi)

(江蘇省張家港市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 215600)

“一題一課”的主要目的是通過(guò)典型例題的解題研究、變式訓(xùn)練和反思總結(jié)的示范啟發(fā),引領(lǐng)學(xué)生從不同的視角去思考問題,鞏固和深化所學(xué)知識(shí),訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問題的策略方法,形成一定的解題技能,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析問題、解決問題的能力[1]．

1 聚焦深度學(xué)習(xí),精選試題

高中數(shù)學(xué)各種試題繁多,教師在課堂一講到底的灌輸型課堂教學(xué)模式已不適應(yīng)新課改的要求,而深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與、內(nèi)化知識(shí)、遷移應(yīng)用、舉一反三、融會(huì)貫通．為了更好地實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的課堂教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)改善教學(xué)策略,精選試題,試題的選擇應(yīng)能強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用,達(dá)到解一題而會(huì)解一類題．以下是2023屆蘇州市高三上學(xué)期期中考試的壓軸題第22題,筆者結(jié)合班級(jí)學(xué)生答題情況,用一節(jié)課的時(shí)間與學(xué)生一起進(jìn)行了探究．

題目已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-xlna,其中實(shí)數(shù)a>0．

(1)若實(shí)數(shù)a∈N*,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;

2 剖析典型錯(cuò)誤,探尋本質(zhì)

通過(guò)投影儀展示部分學(xué)生的解答過(guò)程,讓學(xué)生去解讀考試過(guò)程中的書寫過(guò)程,去尋找錯(cuò)誤的原因,提出改進(jìn)的辦法．

錯(cuò)誤糾正

生:f′(x)=0有解只需要lna∈(0,1)即可,當(dāng)lna<0時(shí)f′(x)>0,f′(x)=0無(wú)解;當(dāng)lna>1時(shí)f′(x)<0,f′(x)=0無(wú)解．

師:因?yàn)橐阎?dāng)x∈(0,+∞)時(shí)f(x)<0恒成立,那么在lna的三種取值情況下,哪一種比較直觀、容易研究呢?

生:當(dāng)lna<0時(shí)f′(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(0)=0,這種情況舍去;當(dāng)lna>1時(shí)f′(x)<0,f(x)在(0, +∞)上單調(diào)遞減,f(x)

師:完全正確,那就只有l(wèi)na>1,結(jié)合a∈N*,所以a=3．做好分類討論的同時(shí)我們對(duì)每種分類情況也要注意圖象特點(diǎn),這樣就避免了一些不必要的復(fù)雜計(jì)算．

錯(cuò)誤糾正

師:雖然處理恒成立問題時(shí)分離變量的方法我們很熟悉,但利用洛必達(dá)法則求最值我們不熟悉,能否避開洛必達(dá)法則呢?由題目已知條件,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=ln(1+x)-xlna<0恒成立,得到ln(1+x)

生:先考慮y=ln(1+x)在x=0處的切線y=x恒在y=xlna的下方或重合．因?yàn)閤∈(0,+∞)時(shí)ln(1+x)

師:那a

生:因?yàn)閍∈N*,只需要看看a=1,a=2時(shí)是否成立即可．

師:完全正確!當(dāng)然在大題的解答過(guò)程中l(wèi)n(1+x)

點(diǎn)評(píng)教師不應(yīng)回避學(xué)生的典型錯(cuò)誤,而是要從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā),對(duì)學(xué)生存在的疑惑進(jìn)行針對(duì)性的解決．在典型錯(cuò)誤剖析、糾正的同時(shí),學(xué)生的解題能力也在同步提升,不同途徑的思維展示使學(xué)生真正將新知識(shí)納入到自己的認(rèn)知系統(tǒng)中．

3 鼓勵(lì)提出問題,自致其用

通過(guò)對(duì)以上典型錯(cuò)誤的分析與糾正,學(xué)生思考后又提出以下問題:

問題1 因?yàn)閍∈N*,先做a=1,a=2時(shí)是否符合,再做a≥3時(shí),由a≥3時(shí)f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,肯定符合,這樣的討論是不是更加簡(jiǎn)單了?

問題2 是否可以必要性探路?當(dāng)x=1時(shí)ln 2-lna<0成立,則a>2,a∈N*,因?yàn)榇祟}要求a的最小值,所以只要驗(yàn)證當(dāng)a=3時(shí)是否符合就可以了．

全班學(xué)生對(duì)以上兩個(gè)問題進(jìn)行了思考與討論,一致認(rèn)為以上方案可行:

問題1注意到了a∈N*,分類討論變得簡(jiǎn)單了;

問題2注意到了必要性探路,完全避開了分類討論．

點(diǎn)評(píng)在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的各種想法,然后大家一起探討問題的不同解決方法的優(yōu)劣,并進(jìn)行方法歸納總結(jié),形成數(shù)學(xué)遷移能力,有助于以后解決新的問題．

4 引領(lǐng)多維思考,提升思維

問題1 做證明題常用的方法有哪些呢?很多同學(xué)會(huì)想到分析法,先等價(jià)變形,但如何進(jìn)行等價(jià)變形呢?

問題2 此題的第(1)問導(dǎo)數(shù)恒成立問題對(duì)第(2)問的證明是否有幫助呢?

學(xué)生在教師的提示性問題下進(jìn)行思考嘗試,最后給出了如下三個(gè)解題方案:

方案1分析法目標(biāo)引領(lǐng)下進(jìn)行取對(duì)數(shù)、換元、找中間量,轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問題．

因?yàn)?m>em,而em>m+1(需補(bǔ)充證明),所以3m>m+1．

方案3從不等式左邊出發(fā),進(jìn)行二項(xiàng)式展開,放大通項(xiàng),朝著有利于求和的方向去化簡(jiǎn),還是比較容易達(dá)成目標(biāo)的．

點(diǎn)評(píng)對(duì)于較難的問題,教師可以做適當(dāng)?shù)膯l(fā)引領(lǐng)．課堂教學(xué)中教師的“教”應(yīng)與學(xué)生的“學(xué)”有機(jī)結(jié)合,教師的“教”并不是一講到底,而是需要合理設(shè)置問題,引領(lǐng)學(xué)生積極參與,主動(dòng)理解、消化和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．

5 注重拓展引申,觸類旁通

結(jié)合對(duì)以上問題的分析與講解,教師設(shè)計(jì)了一道與此題方法類似的拓展引申問題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí),以鞏固解題的方法規(guī)律．

拓展引申 已知函數(shù)f(x)=ex+1-(lna)x-lna-1,實(shí)數(shù)a>0,若實(shí)數(shù)a∈N*,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的最大值．

要做好“一題一課”的教學(xué),需要教師在平時(shí)的教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)問題,總結(jié)方法,提煉規(guī)律.“一題一課”因目標(biāo)明確,思維深刻,能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步深化理解和鞏固數(shù)學(xué)知識(shí),提高“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題、反思問題”的數(shù)學(xué)問題解決能力以及歸納、猜想、推理、證明的數(shù)學(xué)探究能力,促進(jìn)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的形成與發(fā)展,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．