一種極值搜索的齒輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)階次跟蹤方法

徐磊 丁康 何國(guó)林 王遠(yuǎn)航

摘要： 在變速工況下，齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)具有非平穩(wěn)性，頻譜特征模糊，不利于特征提取和故障診斷。階次跟蹤方法作為一種非平穩(wěn)信號(hào)分析方法，將原信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到角度域，有助于抑制變轉(zhuǎn)速導(dǎo)致的頻率模糊現(xiàn)象。廣泛應(yīng)用的計(jì)算階次跟蹤分析方法在實(shí)現(xiàn)等角度重采樣過(guò)程中，通過(guò)提取瞬時(shí)轉(zhuǎn)速積分求取瞬時(shí)角位移，或者基于相位解調(diào)獲取角度‐時(shí)間關(guān)系，受限于積分累計(jì)誤差或小的轉(zhuǎn)速跟蹤范圍。利用齒輪系統(tǒng)嚙合振動(dòng)信號(hào)峰峰值對(duì)應(yīng)的等角度間隔特征，提出一種基于時(shí)域信號(hào)極值搜索的無(wú)鍵相階次跟蹤方法。所提方法不需要通過(guò)轉(zhuǎn)速積分獲取瞬時(shí)角位移，同時(shí)允許較大轉(zhuǎn)速變化范圍，降低了階次分析域變換過(guò)程的誤差，抗噪性能良好，使階次譜能量集中度和特征成分辨識(shí)度得到明顯提高。理論分析、仿真對(duì)比分析和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果均驗(yàn)證了所提方法的有效性，適用于變轉(zhuǎn)速工況下的齒輪箱非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)頻譜分析和故障診斷。

關(guān)鍵詞： 故障診斷；階次跟蹤；齒輪系統(tǒng)；極值搜索；角度‐時(shí)間關(guān)系

中圖分類號(hào)： TH165+.3；TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2023）03-0837-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.026

引 言

齒輪系統(tǒng)通常運(yùn)行在不同程度的變轉(zhuǎn)速或者轉(zhuǎn)速波動(dòng)工況下，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)［1‐2］。由于轉(zhuǎn)速的變化，齒輪振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域不再具有周期性，同時(shí)響應(yīng)信號(hào)產(chǎn)生調(diào)頻特征，頻率泄漏和頻譜模糊現(xiàn)象嚴(yán)重［3］。階次跟蹤方法作為一種有效的非平穩(wěn)信號(hào)分析方法，將等時(shí)間間隔采樣的非平穩(wěn)信號(hào)轉(zhuǎn)化為等角度間隔采樣的準(zhǔn)平穩(wěn)信號(hào)，有效降低變轉(zhuǎn)速或轉(zhuǎn)速波動(dòng)對(duì)頻譜特征的影響。對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行等角度間隔采樣，關(guān)鍵在于獲得轉(zhuǎn)角與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。可以在信號(hào)采集時(shí)通過(guò)轉(zhuǎn)速信號(hào)或鍵相信號(hào)間隔等角度觸發(fā)采樣獲得，該類方法稱為硬件階次跟蹤（Hard Order Tracking， HOT）；也可基于時(shí)間‐角位移函數(shù)對(duì)時(shí)域采樣信號(hào)進(jìn)行等角度重采樣重構(gòu)得到，該類方法稱為計(jì)算階次跟蹤（Computed Order Tracking， COT）。 此外，還有Vold‐Kalman階次跟蹤技術(shù)［4‐6］和基于Gabor變換的階次跟蹤分析［7‐8］。

由于不需要復(fù)雜的電路和額外的硬件設(shè)備，計(jì)算階次跟蹤已經(jīng)成為工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的階次跟蹤方法［9］。在裝有轉(zhuǎn)速傳感器或者編碼盤(pán)的情況下，可對(duì)采集的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速進(jìn)行時(shí)間積分獲取時(shí)間‐角位移函數(shù)。Fyfe等［10］基于轉(zhuǎn)速計(jì)信號(hào)，通過(guò)二次多項(xiàng)式插值建立角度‐時(shí)間關(guān)系，比較了不同的多項(xiàng)式插值方法對(duì)后續(xù)重采樣過(guò)程的影響，得出結(jié)論：三次樣條插值在構(gòu)造相角‐時(shí)間函數(shù)以及重采樣原始信號(hào)方面能獲得最好的結(jié)果。然而，鍵相裝置在某些場(chǎng)合安裝困難，因此，無(wú)鍵相的階次跟蹤方法（Ta‐cholessOrderTracking，TLOT）成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)。一種思路是基于轉(zhuǎn)速的數(shù)值積分獲取角度‐時(shí)間關(guān)系。轉(zhuǎn)速可以通過(guò)時(shí)頻分析方法獲得［11‐13］。其中最重要的是從時(shí)頻圖中精確地提取出時(shí)頻脊線。但是，旋轉(zhuǎn)部件的瞬時(shí)相位信息才是階次跟蹤的必要輸入量。由瞬時(shí)頻率獲得的相位信息不可避免地存在積分累計(jì)誤差，直接導(dǎo)致后續(xù)處理的不確定性增大，降低階次跟蹤的效果。

Bonnardot等［14］提出了一種基于相位解調(diào)的階次跟蹤方法。該方法提取出齒輪振動(dòng)信號(hào)中的嚙合頻率成分，基于相位解調(diào)技術(shù)獲取的角度‐時(shí)間關(guān)系建立參考信號(hào)。相對(duì)于通過(guò)瞬時(shí)頻率積分獲取角度和時(shí)間的關(guān)系，采用相位解調(diào)做階次跟蹤不受積分累計(jì)誤差的影響，在本質(zhì)上更為精確。Combet等［15］對(duì)Bonnardot的研究工作做了進(jìn)一步擴(kuò)展，關(guān)注于將階次跟蹤過(guò)程中的參數(shù)選擇自動(dòng)化。然而，為了不與相鄰邊帶重疊，該方法要求的頻率分辨率很高，同時(shí)僅可以應(yīng)用于很小的轉(zhuǎn)速波動(dòng)。為解決適用轉(zhuǎn)速范圍不足的缺點(diǎn)，Coats 等［16］提出了一種多步迭代的相位解調(diào)階次跟蹤方法。該方法從最小的可分離的轉(zhuǎn)頻諧波開(kāi)始，通過(guò)迭代方法逐階獲取更高階轉(zhuǎn)頻諧波的相位。Coats 等［17］進(jìn)一步基于嚙合頻率進(jìn)行多步迭代的相位解調(diào)，避免齒輪箱振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)頻諧波提取困難，但是在信號(hào)存在幅值調(diào)制的時(shí)候效果并不理想。

鑒于 TLOT 方法中存在的缺點(diǎn)，本文致力于直接建立旋轉(zhuǎn)軸的角度‐時(shí)間關(guān)系用于振動(dòng)信號(hào)的等角度采樣，同時(shí)適用轉(zhuǎn)速變化較大的工況。首先通過(guò)帶通濾波器濾出單階的嚙合頻率及其邊帶成分，由此降低了頻率分辨率的要求，同時(shí)擴(kuò)大了適用的轉(zhuǎn)速范圍；進(jìn)一步地利用嚙合頻率信號(hào)時(shí)域波形中的相鄰波峰波谷之間存在固定的角度關(guān)系，直接建立了等角度時(shí)間序列，對(duì)應(yīng)齒輪多個(gè)嚙合位置。在此之前，采用 Hilbert 變換去除了包絡(luò)對(duì)波峰波谷的影響。原信號(hào)基于等角度時(shí)間序列的重采樣使得階次跟蹤得以實(shí)現(xiàn)。與 Vold‐Karman 階次跟蹤方法的對(duì)比驗(yàn)證了所提方法的精度。所提方法運(yùn)用在一個(gè)三軸五擋的變速齒輪箱上，結(jié)果顯示與參考軸相關(guān)的成分能量聚集度增加，故障診斷的準(zhǔn)確性提高。

1 信號(hào)模型與誤差分析

齒輪系統(tǒng)在正常無(wú)損傷情況下的振動(dòng)響應(yīng)成分主要是齒輪嚙合頻率及其諧波成分。在實(shí)際工程中，輪系不可避免地存在制造、安裝誤差或負(fù)載波動(dòng)，嚙合頻率成分會(huì)出現(xiàn)調(diào)幅調(diào)頻現(xiàn)象［3］，因此單級(jí)定軸齒輪的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)的角域模型可表示為：式中 A 為信號(hào)幅值；Zr為該軸齒輪的齒數(shù)；an，n，αn分別對(duì)應(yīng)第 n 階調(diào)幅邊帶的幅值系數(shù)、階數(shù)和相位 ；bm，m，βm 分別對(duì)應(yīng)第 m 階嚙合頻率的幅值系數(shù)、階數(shù)以及相位；式（1）表示存在 M 階嚙合頻率，每階嚙合頻率兩側(cè)有 N 階轉(zhuǎn)頻調(diào)制邊帶。φ 為齒輪軸的轉(zhuǎn)角，與轉(zhuǎn)速的關(guān)系可表示為：式中 ω（t）為齒輪軸的角速度，與轉(zhuǎn)頻 fn的關(guān)系為ω=2πfn。

對(duì)時(shí)域信號(hào)的階次跟蹤，需要基于轉(zhuǎn)角和時(shí)間的關(guān)系對(duì)時(shí)域信號(hào)等角度采樣。在無(wú)轉(zhuǎn)速計(jì)的情況下，為獲取轉(zhuǎn)角和時(shí)間的關(guān)系，需要對(duì)響應(yīng)信號(hào)做一系列處理。首先，為消除原始信號(hào)中多階嚙合頻率成分疊加的影響，對(duì)第 k 階嚙合頻率及其調(diào)制成分做帶通濾波，濾波過(guò)后的信號(hào)為：

濾出的信號(hào) yk （ φ ） 包括第 k 階嚙合頻率成分及其兩邊的調(diào)幅調(diào)頻邊帶。其中，調(diào)幅成分和調(diào)頻成分都包含齒輪軸的轉(zhuǎn)角信息，這里旨在從調(diào)頻部分提取轉(zhuǎn)角信息，需要去除調(diào)幅成分帶來(lái)的干擾。采用 Hilbert 變換去除 yk （ φ ） 信號(hào)的包絡(luò)，剩下的信號(hào)y？k （ φ ）可表示為：

y？k （ φ ） 僅包括單一的嚙合頻率成分，同時(shí)幅值被歸一化。在時(shí)域的波形中，每個(gè)相鄰的波峰和波谷之間存在固定的角度關(guān)系。因此，獲取 y？k （ φ ） 信號(hào)波峰和波谷對(duì)應(yīng)的時(shí)間，可以建立一組等角度時(shí)間序列，用于反映齒輪軸轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化的過(guò)程［18］。求極值點(diǎn)令 y？k （ φ ）的一階導(dǎo)數(shù)等于 0 得：式中 齒輪軸運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，f（n t）不為 0，僅當(dāng) sin（kZrφ+βk）=0 時(shí)等式成立，φ=（iπ－βk）/（kZr）（i∈Z+）時(shí)滿足條件。因此 y？k （ φ ）信號(hào)相鄰的波峰波谷之間角度間隔為定值 π/（kZr）。獲取波峰波谷所對(duì)應(yīng)的時(shí)間可以建立等角度時(shí)間序列（φh-th），且角度序列等間隔而時(shí)間序列不等間隔。原信號(hào) y（t）如果直接基于該角度間隔采樣，對(duì)應(yīng)采樣階次為 2kZr，可分析的最高階次為 kZr，通常不滿足原信號(hào)最高分析階次的要求。通過(guò)對(duì)等角度時(shí)間序列進(jìn)一步細(xì)化插值，以獲取更小間隔的角度序列，增大最高分析階次。

1. 1 物理意義

參考信號(hào)（φh-th）是一個(gè)以 π/（kZr）的角度為間隔的等角度時(shí)間序列。等同于原信號(hào)基于齒輪齒數(shù)采樣，一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期（2π）等間隔采樣 2kZr個(gè)數(shù)據(jù)，齒輪每轉(zhuǎn)過(guò) π/（kZr）采樣一次。時(shí)變嚙合剛度可以反映齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程。以直齒輪為例，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，單雙齒嚙合區(qū)間交替，如圖 1 所示，B1P1及 B2P2為雙齒嚙合區(qū)，P1P2為單齒嚙合區(qū)。一個(gè)單齒加一個(gè)雙齒嚙合區(qū)，即一個(gè)嚙合周期的轉(zhuǎn)角為 2π/Zr。齒輪轉(zhuǎn)一圈經(jīng)過(guò) Zr個(gè)嚙合周期。時(shí)變嚙合剛度的波形可以簡(jiǎn)化為脈沖信號(hào)，大的嚙合剛度區(qū)間和小的嚙合剛度區(qū)間交替。由于嚙合剛度可以由多階嚙合頻率諧波成分組成［19］。當(dāng)對(duì)響應(yīng)信號(hào)的第一階嚙合頻率成分做極值搜索時(shí)，等效為齒輪每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)嚙合周期獲取兩個(gè)振動(dòng)數(shù)據(jù)，k=1，轉(zhuǎn)過(guò)一圈即獲取 2Zr個(gè)數(shù)據(jù)；對(duì)響應(yīng)信號(hào)的第二階嚙合頻率成分做極值搜索，k=2，齒輪每轉(zhuǎn)過(guò)一圈獲取 4Zr個(gè)數(shù)據(jù)，以此類推。對(duì)于錐齒輪和斜齒輪同理，嚙合區(qū)間包含的齒對(duì)數(shù)可能有所變化，但也只存在一個(gè)交變區(qū)間，嚙合剛度的波形都可以簡(jiǎn)化成脈沖信號(hào)。

1. 2 誤差分析

假設(shè)采樣頻率為 fs，采樣時(shí)間間隔 Δt=1/fs。由于離散采樣的原因，去包絡(luò)后的信號(hào) y？k （ φ ） 實(shí)際為y？k （ hΔφ ）序列（Δφ=fnΔt）。因此對(duì)離散信號(hào)做極值搜索，實(shí)際搜索得到的極值點(diǎn)與理論極值點(diǎn)存在偏差，偏差大小與采樣頻率有關(guān)。采樣頻率越大，偏差越小。離散采樣誤差體現(xiàn)在時(shí)間序列上。因?yàn)榈冉嵌葧r(shí)間序列（φh-th）中，等角度序列 φh 是直接構(gòu)造的，為（iπ－βk）/（kZr）（i∈Z+），極值搜索是為了獲得極值點(diǎn)的時(shí)間，即 th。

1. 3 適用轉(zhuǎn)速變化范圍

當(dāng)轉(zhuǎn)速變化時(shí)，嚙合頻率將出現(xiàn)明顯的頻率模糊現(xiàn)象，頻率模糊范圍涉及到所有轉(zhuǎn)頻；同時(shí)，調(diào)幅的存在進(jìn)一步擴(kuò)大頻率模糊范圍。當(dāng)轉(zhuǎn)速變化區(qū)間很大時(shí)，不同階的嚙合頻率成分相互干擾，在高階嚙合頻率處這種現(xiàn)象愈加明顯。本文方法的等角度時(shí)間序列的建立是基于單階嚙合頻率諧波及其調(diào)制成分的分離，這一過(guò)程是采用帶通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。濾波器需要保證該階嚙合頻率及其調(diào)制成分處于通帶內(nèi)，而其他頻率成分處于阻帶內(nèi)。因此，本文的階次跟蹤方法需要保證所濾的第 k 階嚙合頻率不與相鄰嚙合頻率混疊。

基于上述前提，假設(shè)采樣時(shí)間內(nèi)信號(hào)的平均轉(zhuǎn)頻為 fn，最大轉(zhuǎn)頻變化為 Δfn，不考慮調(diào)幅因素的影響，第 k階嚙合頻率成分剛好與第 k+1階嚙合頻率重疊，即 kZrΔfn+（k+1）ZrΔfn=Zrfn，如圖 3 所示。此時(shí)Δfn=fn/（k+2）。所提方法的運(yùn)用，至少要保證第一階嚙合頻率能成功濾出，即 k=1，最大轉(zhuǎn)速變化范圍應(yīng)為 fn/3。即信號(hào)在不存在調(diào)幅的情況下，本文的階次跟蹤方法的運(yùn)用需要保證在采樣時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)速變化最大不超過(guò)平均轉(zhuǎn)速的 1/3。在調(diào)幅的影響下，第 k階嚙合頻率右邊頻和第 k+1階嚙合頻率的左邊頻會(huì)發(fā)生重疊，允許的轉(zhuǎn)速變化范圍會(huì)進(jìn)一步縮小。

2 算法步驟和數(shù)值仿真

2. 1 算法步驟

a）對(duì)原始信號(hào) y（t）做 FFT，選擇可分離的第 k階嚙合頻率區(qū)間做帶通濾波，得到信號(hào) yk （ t ）；

b）對(duì) yk （ t ） 做 Hilbert 變 換 去 除 調(diào) 幅 包 絡(luò) 的 影響，獲得幅值歸一化的單諧波信號(hào) y？k （ t ）；

c）搜索 y？k （ t ） 的極值點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，建立等角度時(shí)間序列（φh-th），假設(shè)該序列對(duì)應(yīng)的階次譜的最高分析階次為 Oh；

d）根據(jù)分析的最高階次確定采樣角度間隔，對(duì)等角度序列細(xì)化插值 g 倍，利用函數(shù)擬合（φh-th），插值獲得細(xì)化的等角度序列 φg所對(duì)應(yīng)時(shí)間序列 tg；

e）利用函數(shù)擬合原時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，基于細(xì)化的等角度時(shí)間序列（φg-tg）對(duì)原信號(hào)插值，建立等角度采樣下的振動(dòng)信號(hào)；

f）對(duì)等角度采樣的振動(dòng)信號(hào)做傅里葉變換獲取階次譜，對(duì)應(yīng)的最高分析階次為 g Oh。

2. 2 數(shù)值仿真

以式（1）構(gòu)建仿真信號(hào)。令 Zr=90，an=［0.6，0.3］，bm=［1，0.8，0.6，0.4］。不失一般性，αn=βm=0。設(shè)置的轉(zhuǎn)速曲線如圖 4 所示，基于數(shù)值積分獲得采樣時(shí)間內(nèi)的平均轉(zhuǎn)速為 1289 r/min。仿真信號(hào)的幅值隨轉(zhuǎn)速變化，假定幅值A(chǔ)與轉(zhuǎn)速fn的關(guān)系為A=50+fn/100，理論平均幅值為 62.89 m/s2。采樣頻率為 20480 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為 50 s，信噪比為 5 dB。仿真信號(hào)局部放大的時(shí)域圖和頻譜圖如圖 5 所示。理論上仿真信號(hào)包含 4 階嚙合頻率成分及其兩邊的2 階調(diào)幅邊帶，但是在頻譜上，由于轉(zhuǎn)速變化引起的頻率模糊現(xiàn)象非常嚴(yán)重，無(wú)法直接識(shí)別出信號(hào)所包含的成分，不利于輪系振動(dòng)狀態(tài)的特征識(shí)別。

根據(jù) 2.1 節(jié)所述的步驟處理仿真信號(hào)。選擇對(duì)第一階嚙合頻率做帶通濾波獲得信號(hào) y（1 t），濾波器范圍如圖 5（b）中的虛線框所示。采用的 FIR 濾波器的半階數(shù)設(shè)為 2000。對(duì) y（1 t）做 Hilbert 變換去除包絡(luò)信號(hào)的影響，并搜索極值，如圖 6 所示。相鄰極值點(diǎn)之間的相位差為定值 π/Zr，由這些極值點(diǎn)可以建立等角度時(shí)間序列，對(duì)應(yīng)的階次譜最高分析階次為 Zr。進(jìn)一步地，根據(jù)分析階次確定角度的采樣間隔，對(duì)等角度序列做 10 倍細(xì)化。利用三次樣條函數(shù)擬合等角度時(shí)間序列，基于細(xì)化的等角度序列插值獲得對(duì)應(yīng)的細(xì)化時(shí)間序列，如圖 7 所示。相比于利用轉(zhuǎn)速積分獲取角度‐時(shí)間關(guān)系的傳統(tǒng)方法，所提方法與給定的轉(zhuǎn)速時(shí)間曲線誤差更小，如圖 8 所示。在 0～1 s 時(shí)，3 條曲線基本重合，表示在初期傳統(tǒng)方法和所提方法都能較好地逼近真實(shí)的角度‐時(shí)間關(guān)系；在 49～50 s 內(nèi)，點(diǎn)劃線偏離較大，源于傳統(tǒng)方法的誤差累計(jì)。基于三次樣條函數(shù)，利用所提方法的角度‐時(shí)間關(guān)系對(duì)原始信號(hào)做插值處理。建立細(xì)化的等角度采樣信號(hào)，做 FFT 的階次譜如圖 9 所示。

從所提方法的階次譜中可以清楚地看到信號(hào)成分為兩階轉(zhuǎn)頻階次調(diào)制嚙合頻率階次，如圖 9（b）所示。階次譜中各個(gè)成分的階次都準(zhǔn)確地與理論值對(duì)應(yīng)，嚙合頻率兩邊對(duì)稱的調(diào)制邊帶表明由轉(zhuǎn)速變化引起的調(diào)頻被消除了。嚙合頻率階次及其兩邊調(diào)制邊帶階次的幅值與理論幅值的誤差如圖 10 所示。

現(xiàn)對(duì)比基于 Vold‐Kalman 濾波器的無(wú)鍵相階次跟蹤方法［6］。該方法需要基于時(shí)頻脊線提取方法提取轉(zhuǎn)速信號(hào)作為 Vold‐Kalman濾波器的輸入，同時(shí)也沒(méi)有積分累計(jì)誤差的過(guò)程。采用 Cost‐function‐basedRidge Detection Method （CFRD）［20］提 取 仿 真 信 號(hào)的時(shí)頻脊線，獲得的轉(zhuǎn)速曲線如圖 11 所示。隨后基于 Vold‐Kalman 濾波器將仿真信號(hào)分解成單一成分信號(hào)。去除單一成分信號(hào)的包絡(luò)后做 Hilbert 變換即可獲取信號(hào)的角度與時(shí)間的關(guān)系。將角度時(shí)間信號(hào)作為參考信號(hào)，獲取的等角度仿真信號(hào)的階次譜如圖 12 所示。階次譜的幅值與理論幅值的誤差如圖 10 所示，可以看到對(duì)比方法的嚙合頻率階次兩邊的調(diào)制邊帶幅值并不對(duì)稱，表明轉(zhuǎn)速變化引起的調(diào)頻還沒(méi)有被完全消除，所以帶來(lái)較大的誤差。

所提方法與對(duì)比方法相比，在階次方面，二者針對(duì)仿真信號(hào)都能獲得準(zhǔn)確的階次；在幅值方面，從圖10 中可以看出，所提方法更接近理論幅值。對(duì)比方法的精度受限于所提取轉(zhuǎn)速的準(zhǔn)確程度。

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)源于圖 13 所示的三軸五擋手動(dòng)變速器，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表 1 所示，傳感器位于輸出軸上。測(cè)試工況為：五擋輸出齒輪設(shè)置了斷齒故障，輸入轉(zhuǎn)速?gòu)?1800 r/min 降到 1500 r/min，采樣頻率 fs=12800 Hz，采樣時(shí)間 T=40 s。豎直方向上的振動(dòng)加速度響應(yīng)信號(hào)時(shí)域、頻域圖如圖 14 所示，時(shí)頻圖如圖 15 所示。頻譜當(dāng)中頻率混疊十分嚴(yán)重，無(wú)法識(shí)別單一的嚙合頻率諧波成分。時(shí)頻圖中可以看出在1000～1200 Hz 內(nèi)存在共振區(qū)間。為了能夠準(zhǔn)確地識(shí)別故障特征頻率成分，現(xiàn)采用所提方法對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行階次跟蹤。

首先挑選第一階嚙合頻率做帶通濾波，如圖15（b）所示。濾波器的上下限頻率設(shè)置為464 Hz 和575 Hz，如圖 15（b）中的虛線框所示。以中間軸為參考軸，對(duì)濾波信號(hào)做 Hilbert 變換后搜索極值，建立等角度‐時(shí)間關(guān)系，對(duì)應(yīng)的最高分析階次為 30。根據(jù)等角度‐時(shí)間關(guān)系，對(duì)角度序列細(xì)化 8 倍并建立角域采樣信號(hào)，對(duì)應(yīng)的階次譜如圖 16 所示，最高分析階次為240。第一級(jí)齒輪的嚙合階次（30，60，90，120）和第二級(jí)齒輪的嚙合階次（43，86，129，172）很明顯。60階次兩邊的邊帶如圖17所示。主要包含四組調(diào)制成分：第一組是嚙合頻率成分（60階）；第二組是以中間軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制嚙合頻率，如61，63，64階，如圖17（b）所示；第三組是以輸入軸轉(zhuǎn)頻調(diào)制嚙合頻率，如61.58，63.16階，如圖17（b）所示；第四組是輸出軸的沖擊故障特征頻率，如圖17（a）所示。階次譜中嚙合頻率成分及其邊帶特征明顯，頻譜聚集度高，便于齒輪系統(tǒng)故障的識(shí)別。

運(yùn)用對(duì)比方法處理實(shí)驗(yàn)信號(hào)，階次譜如圖18和19所示，可以大致地找到兩組嚙合階次諧波以及60階次附近的四組調(diào)制成分。但是，由于依然存在頻率模糊，響應(yīng)信號(hào)中成分所對(duì)應(yīng)的階次與理論存在一定偏差，如嚙合階次；各階次的幅值也與對(duì)比方法相差較大，能量不夠聚集。所提方法能更好地消除變轉(zhuǎn)速引起的頻率模糊現(xiàn)象。另外，對(duì)比方法需要進(jìn)行大規(guī)模的解耦計(jì)算，計(jì)算效率更低。在MATLAB版本為R2018a，CPU為IntelCorei7‐8700及運(yùn)行內(nèi)存8GB的條件下，仿真計(jì)算中所提方法求解耗時(shí) 15 s，對(duì)比方法求解耗時(shí)5082 s；實(shí)驗(yàn)中所提方法求解耗時(shí) 8 s，對(duì)比方法求解耗時(shí) 33134 s。

濾波器帶寬的選擇也影響所提方法的應(yīng)用。在仿真信號(hào)中，第一、二階嚙合頻率所屬的兩塊區(qū)域之間間隔明顯，如圖5（b）所示，因此可以手動(dòng)挑選中間過(guò)渡帶的一個(gè)區(qū)域設(shè)置為濾波器的邊界。在實(shí)驗(yàn)信號(hào)中，根據(jù)短時(shí)傅里葉變換檢查出嚙合頻率區(qū)域大概的范圍，如文中轉(zhuǎn)速?gòu)?800r/min降到1500r/min，大致對(duì)應(yīng)的常嚙合齒輪副嚙合頻率范圍為570～475Hz。但是，并不能直接將該區(qū)域設(shè)定為濾波器的范圍，因?yàn)榭赡艽嬖诓煌瑖Ш项l率區(qū)域的重疊，同時(shí)嚙合信號(hào)還存在調(diào)幅成分。因此還需要根據(jù)信號(hào)的頻譜進(jìn)一步判斷。文獻(xiàn)［16］表明，區(qū)域中最高幅值和最低幅值之間相差20dB可以劃分為一個(gè)嚙合頻率區(qū)間。因此，如圖20所示，以475～570Hz中的最高幅值為上界，與其相差20dB的幅值為下界，在縱軸上畫(huà)出一個(gè)區(qū)域；以高于下界的兩個(gè)橫軸區(qū)域之間為過(guò)渡帶，在過(guò)渡帶中選擇464Hz和575Hz為濾波器的上下限。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于極值搜索的無(wú)鍵相階次跟蹤方法，可用于變速工況下齒輪系統(tǒng)的故障診斷。該方法利用單一嚙合頻率信號(hào)的相鄰波峰波谷之間存在固定的角度間隔，直接建立參考軸的轉(zhuǎn)角時(shí)間序列，避免了由轉(zhuǎn)速積分導(dǎo)致的累計(jì)誤差。單一嚙合頻率成分的分離通過(guò)帶通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，Hilbert變換去除包絡(luò)對(duì)嚙合頻率波峰波谷的影響。隨后振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)可以基于細(xì)化的等角度時(shí)間序列重采樣。與對(duì)比方法相比，所提方法對(duì)原信號(hào)的幅值恢復(fù)精度更高，同時(shí)處理方法簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高。實(shí)驗(yàn)表明所提方法可以極大地增強(qiáng)變速工況下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的特征識(shí)別及故障診斷的準(zhǔn)確性。

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