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    已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)研究

    2023-06-25 05:37:27黃巖渠喻采平湯春玲
    金融經(jīng)濟 2023年5期
    關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

    黃巖渠 喻采平 湯春玲

    摘要:銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)性金融風(fēng)險傳播的主要渠道之一,其具體網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)因商業(yè)秘密等原因需要采用網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法得出。重構(gòu)結(jié)果直接關(guān)系到對系統(tǒng)性金融風(fēng)險測度的研究。不同于已有的基于基礎(chǔ)約束條件和機構(gòu)行為約束條件的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法,本文提出了一種新的基于基礎(chǔ)約束條件和已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的銀行債務(wù)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法,新方法在約束條件下通過數(shù)值分析和最大熵結(jié)合方法重構(gòu)銀行間網(wǎng)絡(luò)。因為網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是機構(gòu)行為的結(jié)果,所以直接用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束重構(gòu)可以得到更真實的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。最后本文利用我國銀行機構(gòu)的銀行間債務(wù)基礎(chǔ)約束數(shù)據(jù)和無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的約束條件,使用數(shù)值分析與最大熵結(jié)合方法重構(gòu)了最可能的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò),并解釋了重構(gòu)結(jié)果。

    關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò);網(wǎng)絡(luò)重構(gòu);最大熵

    中圖分類號:F239? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼: A? ? ? ? 文章編號:1007-0753(2023)05-0042-12

    一、引言

    網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)有很多應(yīng)用場景,如貨物運輸網(wǎng)絡(luò)、商品交易網(wǎng)絡(luò)、CDS網(wǎng)絡(luò)、支付網(wǎng)絡(luò)以及銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)等的重構(gòu)。在對系統(tǒng)性金融風(fēng)險的風(fēng)險傳染測度以及壓力測試中,銀行間債務(wù)傳染是最基本的傳染渠道之一,然而在實際建模過程中,這些銀行間的債務(wù)連接往往不為人所知,銀行間的雙邊風(fēng)險敞口只有交易對手知道。雖然在某些情況下可以從監(jiān)管備案或者信貸登記處得到相關(guān)資料,但更常見的情況是各國央行和監(jiān)管機構(gòu)不對該網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行監(jiān)控,各金融機構(gòu)并不報告雙邊風(fēng)險敞口。為了進(jìn)行風(fēng)險傳染研究,學(xué)者們采用各種方法來重構(gòu)金融系統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

    Upper和Worms(2004) 提出使用最大熵算法來重構(gòu)德國銀行的同業(yè)債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。該方法在已知各銀行機構(gòu)銀行間總資產(chǎn)和總負(fù)債的約束下采用最大熵方法來重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接。初始網(wǎng)絡(luò)中,機構(gòu)i與機構(gòu)j的網(wǎng)絡(luò)連接采用機構(gòu)i的銀行間總資產(chǎn)和機構(gòu)j的銀行間總負(fù)債標(biāo)準(zhǔn)化后的乘積得到。最終網(wǎng)絡(luò)通過設(shè)置初始網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣對角線為0,隨后采用RAS方法縮放,首先沿著行,然后沿著列,迭代直到滿足資產(chǎn)負(fù)債約束條件。Baral和Fique(2012)用二元copula來重構(gòu)鄰接矩陣,豐富了最大熵方法。copula是一個累積分布函數(shù),它生成了機構(gòu)之間連接的概率,機構(gòu)之間連接的概率被輸入到最大熵方法中,生成隨機鄰接矩陣以重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。Drehmann和Tarashev(2013)通過擾動最大熵法來生成高密度網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)。Halaj和Kok(2013)通過迭代分配網(wǎng)絡(luò)連接,以相等的概率隨機繪制,銀行間負(fù)債和資產(chǎn)的存量隨著分配減少,通過迭代分配直到銀行間負(fù)債被分配完畢,從而完成網(wǎng)絡(luò)連接的重構(gòu)。Anand和Craig(2015)基于網(wǎng)絡(luò)連接代價最小原則提出了最小密度方法。該方法假定網(wǎng)絡(luò)連接是有代價的,在選擇網(wǎng)絡(luò)連接時,采用機構(gòu)之間資產(chǎn)與負(fù)債差距最大的方法來選擇連接形成網(wǎng)絡(luò),從而使重構(gòu)得到的網(wǎng)絡(luò)代價最小。Cimini等(2015)采用適應(yīng)度方法,在給定機構(gòu)屬性(如資產(chǎn))與連接屬性(出度與入度)的情況下,從統(tǒng)計物理學(xué)的角度校準(zhǔn)連接,并計算連接強度。Squartini等(2017)提出了一種基于適應(yīng)度的資產(chǎn)投資網(wǎng)絡(luò)重建方法。Anand等(2015)采用適應(yīng)度模型重建了13個地區(qū)的金融網(wǎng)絡(luò)。Petropoulos等(2021) 基于XGBOOST法、最大熵法、最小密度法采用機器學(xué)習(xí)的方式重建了希臘的銀行間市場網(wǎng)絡(luò)。Engel等(2021) 采用隨機指數(shù)圖模型(ERGM)的方法研究了跨國金融網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)。Maringer等(2022)在最小密度法的基礎(chǔ)上,提出了連接代價規(guī)模效益遞減的改進(jìn)方式,利用隨機搜索啟發(fā)方法重構(gòu)金融網(wǎng)絡(luò)。

    綜上,已有文獻(xiàn)的重構(gòu)方法一般可以歸納為三種:一是根據(jù)金融網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)約束特性,如在已知各機構(gòu)的銀行間資產(chǎn)與負(fù)債的基礎(chǔ)上采用最大熵、最小密度法來重建金融網(wǎng)絡(luò);二是通過各機構(gòu)的特性,如總資產(chǎn)、出度、入度等,利用適應(yīng)度方法來估計各機構(gòu)之間的網(wǎng)絡(luò)連接概率,在此基礎(chǔ)上重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接;三是利用網(wǎng)絡(luò)約束、機構(gòu)特性、網(wǎng)絡(luò)行為(互惠、傳遞等)等方法來重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接,如指數(shù)隨機圖模型。這些方法都是在已知網(wǎng)絡(luò)約束條件、機構(gòu)相關(guān)特性、機構(gòu)行為方式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的重構(gòu)。用上述方法構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下,符合金融機構(gòu)的部分行為特征,但由于只考慮了部分行為因素,重構(gòu)的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)不是異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。然而,已有研究表明銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)是異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。如Cont等(2013)研究了巴西的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò),發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。Inaoka等(2012)研究了日本銀行間支付網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò);Fricke等(2013)發(fā)現(xiàn)金融網(wǎng)絡(luò)的形成是異配的,如小銀行機構(gòu)傾向于向大銀行機構(gòu)借款。在已知金融網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的情況下,利用適應(yīng)度、指數(shù)隨機圖等基于機構(gòu)特性、機構(gòu)行為約束條件的方法重構(gòu)得到一個不符合觀測結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)是不合理的。

    鑒于此,本文在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下,依據(jù)附加網(wǎng)絡(luò)是“異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”的約束條件,提出了一種采用數(shù)值分析和最大熵方法重構(gòu)最可能網(wǎng)絡(luò)的方法,并利用我國的銀行機構(gòu)數(shù)據(jù)重構(gòu)最可能的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)。

    二、基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)

    (一) 基礎(chǔ)約束條件模型

    考慮由n個金融機構(gòu)組成的金融機構(gòu)間債務(wù)形成網(wǎng)絡(luò),銀行之間的相互借貸形成一個n×n的網(wǎng)絡(luò),用矩陣X表示。

    采用最大熵方法重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)時,網(wǎng)絡(luò)連接xij的大小可以直接由xij = ailj給出,這是一個非常好的特性,可以大大減少求解方程的計算工作量。但正如上文討論的,缺點是利用最大熵結(jié)果得到的網(wǎng)絡(luò)與實際網(wǎng)絡(luò)情況有很大差距,需要改進(jìn)。

    (三)基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間

    在已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束時,實際上給出了網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量約束的條件。為了保證施加網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束后網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)能夠進(jìn)行,式(2)仍然存在解,需要研究基礎(chǔ)約束條件下的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間。

    假如每家銀行機構(gòu)均存在同業(yè)業(yè)務(wù),ai,li均大于0,此時網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)為n2-n。在采用最大熵方法求解時,首先求得網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量n2,然后令對角線上的元素值為0,通過RAS方法將網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)調(diào)整為n2-n,采用RAS方法時只需要通過左乘行乘數(shù)對角矩陣,右乘列乘數(shù)對角矩陣進(jìn)行迭代,主要執(zhí)行n階矩陣乘法。也可以采用最大熵法直接求解,但需要求一個n2-n個網(wǎng)絡(luò)連接的解,該方程組的解沒有解析函數(shù)表達(dá)式,時間和空間復(fù)雜度都比較高。

    考慮到網(wǎng)絡(luò)連接成本問題,保持最小的連接數(shù)對機構(gòu)的成本分?jǐn)偸怯幸娴?。在機構(gòu)i和機構(gòu)j之間沒有連接的情況下,xij = 0,因此希望盡量保持更多的xij為0??紤]到方程組的通解為式(9),可以令x22 = 0,…, x2n = 0, x32 = 0,…, x3n = 0, x42 = 0,…, xnn = 0,通過式(9)可以直接得到方程中其他2n-1個未知數(shù)x11, x12,…, x1n, x21,…, xn1 的值,得到不少于2n-1個網(wǎng)絡(luò)連接。

    考慮限制為基礎(chǔ)約束(6)的情況,并假定銀行不向自己借貸,對角線元素為0,也就是說,網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)分布區(qū)間為[2n-1, n2-n]。在網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為k時(n2-n≥k≥2n-1),可以自由選擇的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為k-2n+1,此時解空間的維度為k-2n+1。

    在實際的網(wǎng)絡(luò)中,很多情況下由于機構(gòu)行為的原因,例如維持網(wǎng)絡(luò)連接需要成本,小機構(gòu)多選擇大機構(gòu)進(jìn)行交易,因此網(wǎng)絡(luò)連接的分布并不是均勻的,即每個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的概率并不相等。實際的網(wǎng)絡(luò)分布主要為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)(冪律網(wǎng)絡(luò))、小世界網(wǎng)絡(luò)、中心外圍式網(wǎng)絡(luò)等。即網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性網(wǎng)絡(luò)的概率更大,需要在給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下研究網(wǎng)絡(luò)連接的計算。給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時,實際上就是給定了網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)k的約束,這也是討論網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)量區(qū)間的意義。已知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)在區(qū)間[2n-1, n2-n]時,網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)一定是可行的,否則不能重構(gòu)。

    三、基礎(chǔ)約束與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法

    基礎(chǔ)約束與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)分為兩個步驟:第一步是根據(jù)已知信息確定具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),第二步是根據(jù)給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與最大熵方法用數(shù)值分析方法計算重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)連接強度。在確定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)時使用以下已知信息進(jìn)行重構(gòu):一是網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),二是小機構(gòu)通常情況下更愿意選擇與大機構(gòu)交易。因為大機構(gòu)更穩(wěn)定,可以減小風(fēng)險,大機構(gòu)通常能滿足小機構(gòu)的借貸需求,而大機構(gòu)也通常選擇大機構(gòu)進(jìn)行借貸。在計算網(wǎng)絡(luò)連接強度時,采用網(wǎng)絡(luò)連接強度數(shù)值滿足最大熵要求的方法。為了將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、機構(gòu)行為、借貸限制以及最大熵方法結(jié)合,本文將連接的重構(gòu)分為兩個步驟來完成:第一步是重構(gòu)滿足網(wǎng)絡(luò)連接異配條件的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò);第二步是在無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上,利用借貸限制以及最大熵方法重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接強度。

    (一)異配無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成方法

    Barabasi和Albert(1999)指出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是社會網(wǎng)絡(luò)的固有特征,并提出了使用BA算法生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),此后很多權(quán)威期刊如《自然》《科學(xué)》《物理評論快訊》都發(fā)表了相關(guān)的研究成果。后續(xù)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成算法主要研究動態(tài)增加節(jié)點與邊(Albert和Barabási,2002)邊連接的概率與節(jié)點的度數(shù)成正比(Bollobási和Riordan,2004)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成效率等內(nèi)容(Albert和Barabási,2000)。本文從網(wǎng)絡(luò)成長的角度來構(gòu)建無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),先生成一個很少節(jié)點數(shù)(m個節(jié)點)的完全網(wǎng)絡(luò),然后增加一個新的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點,新節(jié)點與老節(jié)點之間形成m0條邊(m0<m),新節(jié)點與前面的網(wǎng)絡(luò)之間邊的連接概率與原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度數(shù)成正比,Barabasi和Albert(1999)證明了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點不斷增長時形成的網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

    針對本文的情況,首先,為了保證網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)結(jié)果存在,網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)需保持在[2n-1, n2-n]區(qū)間。Barabasi和Albert(1999)生成的網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為m0(m0-1) + m(n-m0) 。也就是說,構(gòu)建無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時需要選擇合適的m和m0。當(dāng)m0很小時,為了保證連接數(shù)大于2n-1,須有m0>3。

    其次,要在連接形成時讓小機構(gòu)優(yōu)先選擇大機構(gòu)。假定有n個銀行機構(gòu),各銀行的借出信息為ai,首先選擇借出數(shù)量最大的銀行(ai)形成完全網(wǎng)絡(luò),然后按照機構(gòu)從小到大的順序,將各個金融機構(gòu)加入到網(wǎng)絡(luò)中來,這樣形成的網(wǎng)絡(luò)就是異配的。大銀行先加入網(wǎng)絡(luò),具有更高的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度數(shù);小銀行后加入網(wǎng)絡(luò),具有的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度數(shù)小,優(yōu)先與大銀行形成網(wǎng)絡(luò)連接。本文模擬初始銀行為6個金融機構(gòu)的完全網(wǎng)絡(luò),初始銀行都是大銀行,然后將各金融機構(gòu)的借出數(shù)量(ai)按照從小到大的順序加入到這個網(wǎng)絡(luò)中形成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。這樣,小金融機構(gòu)有著更大的概率與大金融機構(gòu)連接,同時又符合無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成規(guī)律。

    (二)給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下的網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)方法

    由于給定的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),不是全連接網(wǎng)絡(luò),采用解析函數(shù)方法得不出一個完美的解析表達(dá)式解。本文中采用數(shù)值方法求解無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連接強度,主要是基于迭代方法求解。這里主要討論以下幾個內(nèi)容:一是極值函數(shù)的變形,降低計算的空間與時間復(fù)雜度;二是如何選取初始迭代點,使迭代能夠進(jìn)行(xij>0)且計算時間更短;三是采用迭代方法求最大熵的結(jié)果及其驗證。

    首先,為了改善計算性能效果,本文對網(wǎng)絡(luò)連接的重構(gòu)最大熵方法進(jìn)行變形。連接主要采用式(12)作為極值條件,采用式(13)作為限制,如果直接使用拉格朗日法求極值得到式(14),則需要用數(shù)值方法求解一個包含n2-2n個未知數(shù)(xij, λj, βi),由n2-2n個非線性方程組成的方程組(其中2n個方程為線性)。為了簡化計算,將式(9)的2n-1個線性方程代入極值表達(dá)式(12),得到:

    從迭代表格(見表1)中可以發(fā)現(xiàn),在各個不同自變量的方向上,收斂速度是不一樣的,有的在第4次已經(jīng)收斂,有的在第5次才完成收斂(x23, x32, x33, x34方向)。重復(fù)迭代直到極值函數(shù)的值不再降低,整個函數(shù)的迭代在第5步才收斂完成,并取得與解析函數(shù)法一樣的最大熵結(jié)果。

    在迭代完成后,根據(jù)式(9)求解其余的自變量,得到:

    x22 = 0.180, x12 = 0.060, x13 = 0.100,? x14 = 0.060,

    x21 = 0.081, x31 = 0.099, x41 = 0.090

    在給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)情況下進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)連接重構(gòu)的思路是,在鄰接矩陣中將不在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的邊全設(shè)置為0,出現(xiàn)的邊設(shè)置為未知數(shù)xij或約束表達(dá)式,并以此為基礎(chǔ)構(gòu)造求最大熵的極值表達(dá)式,然后再利用表達(dá)式求偏導(dǎo)得到雅可比矩陣與海森矩陣,并設(shè)置初始值進(jìn)行迭代得到極值表達(dá)式的極小值,返回此時的各網(wǎng)絡(luò)連接的數(shù)值。

    由于限制條件的方程數(shù)目為2n-1,在重構(gòu)網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時,網(wǎng)絡(luò)連接的邊數(shù)要大于2n-1才有解。在初始網(wǎng)絡(luò)過小時,方程組可能出現(xiàn)無非負(fù)數(shù)解的情況;在初始網(wǎng)絡(luò)較大時,運算需要計算的邊數(shù)(未知數(shù))呈線性增長,計算時間也呈線性增長。按照本文生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的方式,初始6個機構(gòu)共30條邊,然后每增加一家機構(gòu),增加10條邊(其中借入5條邊,借出5條邊),總共邊的數(shù)目為10(n-6)+30=10n-30條邊,然后根據(jù)式(9)有2n-1個方程可以減小未知數(shù)的數(shù)目。實際上,解空間的自由度為10n-30-(2n-1)= 8n-29個(機構(gòu)數(shù)目n≥6),也就是說,本文要計算一個包含8×62-29=467個未知數(shù)的非線性表達(dá)式的極值。

    實際上求解的表達(dá)式中未知數(shù)的計算復(fù)雜度是O(n)級別的,這和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是一個稀疏網(wǎng)絡(luò)有關(guān)。當(dāng)n較大時,實際邊的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于n2,可以用最大熵方法直接求解方程組。方法是將式(19)中等于0的xij移出極值表達(dá)式,在定義求導(dǎo)參數(shù)時將xij移出變量列表,對式(19)求極值時,由于有8n-29個自變量,即有8n-29個偏導(dǎo)數(shù)方程,利用迭代法可以求出該函數(shù)的極值點。

    對于極值表達(dá)式的具體構(gòu)造,因所求無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的矩陣是一個稀疏矩陣,該稀疏矩陣中有2n-1個未知數(shù)用式(6)替代,替代后生成一個包含8n-29個未知數(shù)的極值表達(dá)式。極值表達(dá)式構(gòu)造算法流程如下:

    1.從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣第2行、第1列開始將n-1個不為0的元素替換為資產(chǎn)表達(dá)式,替換后鄰接矩陣元素標(biāo)記為2,記錄替換位置,替換后的元素值為xik = ai-∑ j≠k xij {xij≠0},總共替換的元素有n-1個,相當(dāng)于應(yīng)用了式(9)中資產(chǎn)方程組通解的結(jié)果。

    2.從無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣第2列、第1行開始將n-1個不為0的元素替換為負(fù)債表達(dá)式,替換后鄰接矩陣元素標(biāo)記為3,記錄替換位置,替換后的元素值為xik = li-∑? i≠k xij {xij≠0},總共替換的元素為n-1個,相當(dāng)于應(yīng)用了式(9)中負(fù)債方程組通解的結(jié)果。

    3.因為在步驟1中的表達(dá)式中可能有元素在步驟2中被替換,也就是說步驟1中被替換的表達(dá)式中的元素有的可能不是未知數(shù)(只有被替換后剩余的元素才是未知數(shù)),需再次執(zhí)行步驟1,使步驟1中出現(xiàn)在表達(dá)式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

    4.因為在步驟2中的表達(dá)式可能有元素在步驟3中被替換,需要再次執(zhí)行步驟2,使步驟2中出現(xiàn)在表達(dá)式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

    5.本文已經(jīng)替換了2(n-1)個變量,剩下的一個變量替換分3步完成:

    6.替換完成后,對矩陣的6n-12個元素求最大熵,組成的極值表達(dá)式只包含4n-11個自變量(未知數(shù))以及ai,lj(2n個已知數(shù)),對極值表達(dá)式求偏導(dǎo)可以得到4n-11個方程,可以用式(15)通過迭代方法求得最大熵時4n-11個變量的值,然后利用上述步驟2、3、4中的表達(dá)式得到2n-1個未知數(shù)的值,至此稀疏矩陣6n-12個元素被完全求解。

    四、我國銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)的重構(gòu)

    本文選取我國62家銀行2022年的年報數(shù)據(jù)生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò),初始的完全網(wǎng)絡(luò)由農(nóng)業(yè)銀行(Yny)、中國銀行(Yzg)、工商銀行(Ygs)、建設(shè)銀行(Yjs)、國開銀行(Ygk)、交通銀行(Yjt)6個銀行節(jié)點組成(按借出金額從大到小排列,標(biāo)準(zhǔn)化后借出數(shù)量都大于0.07),然后按照各銀行的借出金額從小到大順序依次構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)(Yqh、Yjh、Ywl、Ybb、Ylz、Yxm、Yhk、Yfh、Yjj、Yft、Yql、Ynx、Ync、Ygz、Ydw、Ylh、Ygy、Ygh、Ynu、Yhr、Yqz、Yca、Yzy、Ysx、Yqd、Yhb、Ycs、Yzz、Ywz、Ysz、Yxa、Ynb、Ygo、Yhs、Yhe、Ybs、Yhz、Ytj、Ycd、Ygf、Ycq、Yxy、Yjo、Ynj、Ysj、Ysh、Yhx、Ynf、Ypa、Ybj、Yzs、Yjc、Ypf、Ygd、Yzx、Yms),圖2為生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的算法流程圖,圖3為按照規(guī)則生成的62個節(jié)點的銀行間債務(wù)網(wǎng)絡(luò)(無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò))。

    在網(wǎng)絡(luò)中,在銀行代碼前加Y,表示機構(gòu)是銀行,從圖3中可以看到,中國銀行、工商銀行、建設(shè)銀行、農(nóng)業(yè)銀行、國開銀行、交通銀行位于網(wǎng)絡(luò)的中心,小銀行優(yōu)先與大銀行連接,說明生成的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是異配的,即小銀行優(yōu)先連接大銀行機構(gòu)。

    在圖3的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下,利用最大熵方法求得該網(wǎng)絡(luò)的連接數(shù)值。首先由2022年各銀行年報得到銀行間市場借入、借出數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化(各機構(gòu)銀行間資產(chǎn)除以銀行間總資產(chǎn))。然后利用國有大銀行農(nóng)業(yè)銀行(Yny)、中國銀行(Yzg)、工商銀行(Ygs)、建設(shè)銀行(Yjs)、國開銀行(Ygk)、交通銀行(Yjt)形成初始完全網(wǎng)絡(luò)。最后將銀行機構(gòu)借款數(shù)目按照從小到大的順序進(jìn)行排序,形成一個包含機構(gòu)代碼的三維數(shù)據(jù)框。數(shù)據(jù)框數(shù)據(jù)按順序?qū)x值,以便在生成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時滿足銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接異配的要求。

    無標(biāo)度異配網(wǎng)絡(luò)的連接計算流程見圖4。采用上文中極值表達(dá)式生成的6個步驟,構(gòu)造出極值表達(dá)式(包含ai,lj以及467個未知數(shù)xij的表達(dá)式),并對極值表達(dá)式求導(dǎo)得到雅可比矩陣與海森矩陣,最終得到迭代表達(dá)式。銀行間網(wǎng)絡(luò)連接的迭代初值有8n-29=467個,初值的選取需滿足保證各網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)為正數(shù)。首先采用無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)邊xij = γ * ailj,其余值為0。然后通過RAS方法對γ * ailj為元素的矩陣進(jìn)行迭代,得到xij的一個初值,計算得到該初值下的網(wǎng)絡(luò)連接的熵-∑ni=1∑n j=1xijln(xij),此時極值表達(dá)式的值為-5.071 511。最后再對ai,lj賦初值,給個未知網(wǎng)絡(luò)連接xij賦給初值,并在得到雅可比矩陣與海森矩陣的基礎(chǔ)上,使用式(21)進(jìn)行迭代,經(jīng)過1 347次迭代后收斂時,極值表達(dá)式得到最小值-5.325 441,并得到返回的各銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接的具體數(shù)據(jù)。

    經(jīng)過驗證,本文通過迭代得到的各銀行機構(gòu)網(wǎng)絡(luò)連接數(shù)據(jù)的值均為正數(shù),網(wǎng)絡(luò)連接鄰接矩陣行、列的和滿足限制條件式(6),重構(gòu)得到的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度且異構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)連接值的熵-∑ni=1∑n j=1xijln(xij)為5.325 441是最大的,是滿足約束條件下最可能出現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)。求解無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)連接的運行結(jié)果以銀行間的連接拓?fù)鋱D方式展現(xiàn),見圖5。

    實際上在給定網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(給定鄰接矩陣連通性)的情況下,不管給定的網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)還是中心外圍式網(wǎng)絡(luò),都可以用本文中的數(shù)值計算方法使用最大熵方法來求解表達(dá)式的極值,計算得到網(wǎng)絡(luò)連接強度的數(shù)值。因為極值表達(dá)式的構(gòu)造只與鄰接矩陣的連通性有關(guān),采用最大熵方法可以得到網(wǎng)絡(luò)連接強度數(shù)值的唯一解。

    五、結(jié)論

    本文的貢獻(xiàn)在于提出了一種新的基于基礎(chǔ)約束條件和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)約束條件的網(wǎng)絡(luò)銀行債務(wù)重構(gòu)新方法,網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)連接強度兩個步驟組成,這兩個步驟都直接影響到網(wǎng)絡(luò)重構(gòu)的效果。在該方法下重構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)具備更接近真實網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)特征,即在滿足基礎(chǔ)約束條件的情況下,還滿足網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度異配的。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接影響系統(tǒng)性金融風(fēng)險的測度,在經(jīng)新方法重構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)下測度系統(tǒng)性金融風(fēng)險,能夠得到更接近真實風(fēng)險狀況的測度結(jié)果。

    網(wǎng)絡(luò)連接的形成不僅與當(dāng)前的環(huán)境有關(guān),還與歷史情況有關(guān),本文只考慮了影響當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)連接的因素,沒有考慮網(wǎng)絡(luò)連接的歷史因素影響,下一步的研究可以在考慮當(dāng)前與歷史選擇的情況下(使用指數(shù)隨機圖模型)重構(gòu)更為現(xiàn)實的金融網(wǎng)絡(luò),并展示網(wǎng)絡(luò)連接情況的演化歷史。

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    (責(zé)任編輯: 唐詩柔/校對:曾向宇)

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