考慮斜坡約束的固定時(shí)間行星軟著陸制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

龔有敏，郭延寧，孫 悅，馬廣富，郭敏文，張海博

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001；2. 北京控制工程研究所，北京 100094)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展,各國(guó)也紛紛開(kāi)展了深空探測(cè)任務(wù),比如中國(guó)的天問(wèn)一號(hào)火星探測(cè)器和美國(guó)的“毅力”火星探測(cè)器。隨著深空探測(cè)任務(wù)的不斷深入,火星采樣返回和載人火星探測(cè)等任務(wù)也得到了廣泛的關(guān)注。在未來(lái)開(kāi)展采樣返回等任務(wù)時(shí),將探測(cè)器著陸到峽谷等危險(xiǎn)地形更有利于采集到與水資源或者行星地質(zhì)相關(guān)的樣本。這就要求探測(cè)器能夠具備在這些危險(xiǎn)地形下安全著陸的能力。因此,研究能夠?qū)崿F(xiàn)精確軟著陸并自主規(guī)避著陸過(guò)程的障礙的技術(shù)是極其重要的。在這些技術(shù)中,探測(cè)器的制導(dǎo)系統(tǒng)在保障探測(cè)器的安全著陸起到關(guān)鍵的作用,得到了廣泛的研究[1-2]。

由于在阿波羅登月計(jì)劃中的成功應(yīng)用,阿波羅多項(xiàng)式制導(dǎo)[3]在過(guò)去的幾十年內(nèi)受到了學(xué)術(shù)界與工程界的廣泛關(guān)注。阿波羅多項(xiàng)式制導(dǎo)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于在星載計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。為了滿足更高的著陸性能要求,Lu[4-5]提出了增廣的阿波羅式多項(xiàng)式制導(dǎo)和分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式制導(dǎo),文獻(xiàn)[5]中提出的分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式制導(dǎo)方法通過(guò)改變分?jǐn)?shù)冪次和參數(shù)來(lái)改變著陸軌跡的曲率,具有規(guī)避障礙的潛能。

除此之外,現(xiàn)有的著陸制導(dǎo)方法可以分為計(jì)算最優(yōu)制導(dǎo)[6-7]和反饋制導(dǎo)[8-10]兩類。計(jì)算最優(yōu)制導(dǎo)也叫作軌跡優(yōu)化,這類方法是以燃料最優(yōu)為出發(fā)點(diǎn),通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)得到控制加速度的數(shù)值解。這類方法中最具有代表性的是在文獻(xiàn)[11]中提出的凸優(yōu)化方法。近年來(lái)也有不少新的優(yōu)化方法應(yīng)用到著陸制導(dǎo)中,比如終端時(shí)間自由的凸優(yōu)化方法[12]、協(xié)同優(yōu)化方法[13]、多階段凸優(yōu)化方法[14]以及序列凸優(yōu)化方法[15]。隨著人工智能方法的發(fā)展,基于學(xué)習(xí)的優(yōu)化方法也被用于求解最優(yōu)著陸制導(dǎo)[16-17]問(wèn)題。然而,計(jì)算優(yōu)化制導(dǎo)方法得不到控制加速度的解析解,屬于開(kāi)環(huán)制導(dǎo)方法,魯棒性差,依賴模型的準(zhǔn)確度,而且需要進(jìn)行大量的計(jì)算,增加了星載計(jì)算機(jī)的運(yùn)算壓力。為了提高系統(tǒng)的魯棒性,獲得解析的制導(dǎo)律形式,許多學(xué)者研究了反饋著陸制導(dǎo)方法。最有名的反饋制導(dǎo)方法是零控脫靶量/零控速度(zero-effort-miss/zero-effort-velocity,ZEM/ZEV)最優(yōu)反饋制導(dǎo)[18-19],它是通過(guò)最小化整個(gè)系統(tǒng)能量來(lái)產(chǎn)生閉環(huán)的控制加速度指令。為了實(shí)現(xiàn)避障,Cui等[20]通過(guò)增加常值加速度段得到了可構(gòu)建非凹著陸軌跡的ZEM/ZEV制導(dǎo)方法,該方法通過(guò)求解常值加速度的時(shí)間來(lái)實(shí)現(xiàn)避障。雖然該制導(dǎo)方法也適用于三維空間的著陸問(wèn)題,但是該方法的推導(dǎo)僅針對(duì)二維平面,尚缺乏三維空間著陸問(wèn)題的理論推導(dǎo)來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)證明該制導(dǎo)方法在三維空間的有效性。Wang等[21]通過(guò)引入虛擬終端速度提出了兩段ZEM/ZEV制導(dǎo)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)避障。但是該方法需要通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題來(lái)得到切換時(shí)間和虛擬終端速度。Zhang等[22]和Zhou等[23]等通過(guò)在性能指標(biāo)中引入避障項(xiàng)對(duì)ZEM/ZEV制導(dǎo)律進(jìn)行改進(jìn),避免了探測(cè)器與行星表面的碰撞,但這兩個(gè)方法均未考慮行星表面凸起的障礙。除此之外,Gong等[24]通過(guò)構(gòu)建階梯形地形約束提出了基于預(yù)設(shè)性能的自主避障著陸制導(dǎo)方法,該方法需要提前獲知障礙的精確信息。文獻(xiàn)[25-27]采用勢(shì)函數(shù)的方法設(shè)計(jì)了自主避障反饋著陸制導(dǎo)律,這些基于勢(shì)函數(shù)得到的制導(dǎo)方法存在局部極小值的問(wèn)題。

本文將著陸過(guò)程的自主避障作為主要研究問(wèn)題。由于采用斜坡約束來(lái)實(shí)現(xiàn)避障具有不需要提前獲知障礙的精確信息的優(yōu)點(diǎn),斜坡約束在許多計(jì)算最優(yōu)制導(dǎo)算法中被用來(lái)約束軌跡以實(shí)現(xiàn)避障,但是現(xiàn)有的反饋制導(dǎo)中很少考慮斜坡約束。鑒于此,本文采用斜坡約束對(duì)著陸軌跡進(jìn)行約束,研究滿足約束的反饋制導(dǎo)律,實(shí)現(xiàn)自主避障精確軟著陸。與現(xiàn)有方法相比,主要的創(chuàng)新點(diǎn)如下:

1) 研究了考慮斜坡約束的反饋制導(dǎo)問(wèn)題,不僅滿足了斜坡約束,還得到解析的控制加速度形式。此外,采用斜坡約束來(lái)約束著陸軌跡以實(shí)現(xiàn)避障無(wú)需提前獲知障礙的精確信息;

2) 利用斜坡約束構(gòu)建了一個(gè)新穎的非線性滑模面,既保證系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面時(shí)是固定時(shí)間穩(wěn)定的,又保證系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)違反斜坡約束;

3) 通過(guò)設(shè)計(jì)反饋制導(dǎo)律,保證了滑模面能夠在固定時(shí)間內(nèi)收斂到0,并保持在滑模面上。在滑模面的收斂過(guò)程中,系統(tǒng)狀態(tài)同樣不會(huì)違反斜坡約束。

1 動(dòng)力學(xué)模型與問(wèn)題描述

1.1 動(dòng)力下降段動(dòng)力學(xué)模型

在動(dòng)力下降過(guò)程中,探測(cè)器距離行星表面的高度較小(對(duì)于火星著陸而言,這個(gè)高度往往小于5 km),因此,在動(dòng)力下降段中,可以忽略行星自轉(zhuǎn)的影響,且可認(rèn)為重力加速度是不變的。選取參考坐標(biāo)系為與期望著陸點(diǎn)固連的非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系,oz軸垂直行星表面向上,ox軸和oy軸位于行星水平面,構(gòu)成右手坐標(biāo)系。動(dòng)力下降段的動(dòng)力學(xué)模型為

(1)

1.2 斜坡約束

為了避免探測(cè)器在著陸過(guò)程中與行星表面凸起的障礙發(fā)生碰撞,可以采用斜坡約束對(duì)著陸軌跡進(jìn)行約束。如果能保證著陸軌跡位于斜坡約束內(nèi),即可實(shí)現(xiàn)避障。在著陸任務(wù)中,可以先讓探測(cè)器著陸到在期望著陸點(diǎn)的上方,然后再進(jìn)行垂直著陸,例如火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室。因此,本文也是研究探測(cè)器著陸到期望著陸點(diǎn)的上方的虛擬著陸點(diǎn),并采用如圖1所示的斜坡約束對(duì)著陸軌跡進(jìn)行約束,θ是斜坡角,zu是沿oz軸方向的單位矢量,h1為虛擬的著陸點(diǎn)高度,即虛擬著陸點(diǎn)的高度。

圖1 斜坡約束Fig.1 Glide-slope constraint

根據(jù)圖1可得斜坡約束的數(shù)學(xué)描述如下:

(2)

1.3 問(wèn)題描述

在未來(lái)的行星探測(cè)任務(wù)中,為了獲得更豐富的科學(xué)數(shù)據(jù),可能會(huì)要求探測(cè)器能夠精確著陸到較為復(fù)雜的地形,比如峽谷。為了保證探測(cè)器的安全,實(shí)現(xiàn)自主避障的精確軟著陸成為需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。因此,本文研究采用斜坡約束來(lái)約束著陸軌跡的行星探測(cè)器動(dòng)力下降段精確軟著陸反饋制導(dǎo)問(wèn)題以實(shí)現(xiàn)自主避障。

2 考慮斜坡約束的反饋制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了便于后續(xù)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì),本節(jié)首先給出本文用到的數(shù)學(xué)定義及基本引理。然后,再進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與分析。

2.1 定義與引理

引理 1[28].考慮如下非線性系統(tǒng)

(3)

式中:f:U→Rn是連續(xù)函數(shù)。如果存在Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

(4)

(5)

2.2 反饋制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

為了避免探測(cè)器違反斜坡約束,根據(jù)式(2)定義的斜坡約束,設(shè)計(jì)著陸軌跡的約束邊界函數(shù)為

(6)

求式(6)對(duì)r的梯度,可得

(7)

(8)

設(shè)計(jì)非奇異滑模面如下

s=μarctan(λe2+α1sigκ1(e1)+

(9)

式中:κ1>1,α1=diag(α1x,α1y,α1z)>0,β1=diag(β1x,β1y,β1z)>0,μ>0,k1>0。為了避免奇異,sc(e1)=[sc(e11),sc(e12),sc(e12)]T設(shè)計(jì)如下:

(10)

式中:0<γ1=p1/q1<1,η>0。為了保證滑模面的光滑性和連續(xù)性,參數(shù)l1和l2應(yīng)該滿足:l1=(2-γ1)ηγ1-1和l2=(γ1-1)ηγ1-2。

對(duì)式(9)求導(dǎo)可得

(11)

式中:ζ1,ζ2=diag(ζ21,ζ22,ζ23)的定義如下:

ζ1=κ1diag(|e11|κ1-1, |e12|κ1-1, |e13|κ1-1)

(12)

(13)

定理1.考慮式(1)所示的動(dòng)力下降段動(dòng)力學(xué)模型,和式(2)的斜坡約束,如果將滑模面設(shè)計(jì)為式(9),并將制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為

(14)

證.1) 首先證明系統(tǒng)狀態(tài)能夠達(dá)到滑模面s并且滑模面s收斂的過(guò)程系統(tǒng)狀態(tài)不違背斜坡約束

當(dāng)s≠0時(shí),由滑模面的定義(9)可知

β1sc(e1))-s

(15)

即

β1sc(e1))||+||s||

(16)

經(jīng)上分析,只要能夠證明滑模面在收斂過(guò)程是有界的,即可說(shuō)明在滑模面收斂的過(guò)程中探測(cè)器的系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)違反斜坡約束。

選取Lyapunov函數(shù)如下

(17)

求導(dǎo),可得

-sTα2sigκ2(s)-sTβ2sigγ2(s)≤

-λmin(α2)||s||1+κ2+λmin(β2)||s||1+γ2=

(18)

式中:λmin(·)表示最小特征值。根據(jù)引理1可知,s滿足固定時(shí)間穩(wěn)定,而且收斂過(guò)程是有界的,即s收斂過(guò)程中不會(huì)違反斜坡約束。

2) 證明系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的收斂性并且系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面收斂的過(guò)程不會(huì)違反斜坡約束

如果系統(tǒng)狀態(tài)位于滑模面上,即s=0,此時(shí)由式(9)有

(19)

左乘(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))可得

-μ(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))T×

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))

(20)

整理可得

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))-

(21)

選取Lyapunov函數(shù)為

(22)

求導(dǎo)可得

arctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))-

(23)

① 若|e1i|≥η,式(23)可寫(xiě)為

(24)

根據(jù)引理1可知,e1是固定時(shí)間穩(wěn)定的。

② 若|e1i|<η,式(23)可寫(xiě)為

(25)

根據(jù)式(25)可知,此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)也是穩(wěn)定的。

進(jìn)一步分析系統(tǒng)狀態(tài)不會(huì)違反約束。當(dāng)s=0且e1≠0時(shí),由于

(26)

根據(jù)式(14)可知

(27)

進(jìn)一步可知1/f2<∞,因此探測(cè)器的狀態(tài)不會(huì)違反斜坡約束。

當(dāng)s=0且e1=0時(shí),由滑模面的定義可知,探測(cè)器的速度e2=0,說(shuō)明探測(cè)器沿著滑模面滑動(dòng)收斂到期望著陸點(diǎn)時(shí),速度為0,即實(shí)現(xiàn)了精確著陸。

綜上所述,采用所設(shè)計(jì)的滑模面和反饋制導(dǎo)律能夠保證探測(cè)器在固定時(shí)間內(nèi)精確著陸至期望著陸點(diǎn),并且整個(gè)著陸過(guò)程中探測(cè)器不會(huì)違反斜坡約束,最終實(shí)現(xiàn)了自主避障。

注2.本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律要求探測(cè)器的初始狀態(tài)是位于斜坡約束內(nèi)的。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)以火星探測(cè)器的動(dòng)力下降段為例,分別在3.1節(jié)和3.2節(jié)給出仿真實(shí)例來(lái)校驗(yàn)所提算法的有效性。

仿真實(shí)例中,按照文獻(xiàn)[11]選取探測(cè)器的參數(shù),探測(cè)器的初始質(zhì)量設(shè)置為m(0)=1 905 kg,火星表面的重力加速度為g=[0, 0, -3.711 4]Tm/s2,地球水平面的重力加速度為ge=9.807 m/s2,比沖為Isp=225 s。斜坡角為θ=60°,虛擬的期望著陸點(diǎn)高度為h1=5 m。

仿真中,制導(dǎo)律參數(shù)如表1和表2所示。

表1 制導(dǎo)律參數(shù)(一)Table 1 Parameters of the guidance law (Part 1)

表2 制導(dǎo)律參數(shù)(二)Table 2 Parameters of the guidance law (Part 2)

3.1 有效性校驗(yàn)

為了校驗(yàn)所提算法的有效性與正確性,本小節(jié)將考慮斜坡約束的制導(dǎo)律與去掉滑模面(9)中斜坡約束項(xiàng)推導(dǎo)得到的未考慮斜坡約束的制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比。未考慮斜坡約束的滑模面為

s=μarctan(λe2+α1sigκ1(e1)+β1sc(e1))

(28)

對(duì)應(yīng)的未考慮斜坡約束的制導(dǎo)律為

(-(α2sigκ2(s)+β2sigγ2(s)))-

(29)

仿真結(jié)果如圖2～圖12所示。

圖2 rx隨時(shí)間變化曲線Fig.2 Time evolution of rx

圖3 ry隨時(shí)間變化曲線Fig.3 Time evolution of ry

圖4 rz隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Time evolution of rz

圖5 vx隨時(shí)間變化曲線Fig.5 Time evolution of vx

圖6 vy隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Time evolution of vy

圖7 vz隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Time evolution of vz

圖8 ax隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Time evolution of ax

圖9 ay隨時(shí)間變化曲線Fig.9 Time evolution of ay

圖10 az隨時(shí)間變化曲線Fig.10 Time evolution of az

圖11 三維空間著陸軌跡Fig.11 3D landing trajectory

圖12 斜坡角θ隨時(shí)間變化曲線Fig.12 Time evolution of glide-slope angle θ

從圖2～圖7可以看出,采用所提的制導(dǎo)方法,探測(cè)器能夠?qū)崿F(xiàn)精確著陸。在斜坡約束項(xiàng)的作用下,考慮斜坡約束的制導(dǎo)算法使得探測(cè)器的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)以更快的速度向期望著陸點(diǎn)收斂,進(jìn)而避免了探測(cè)器違反斜坡約束。

從控制加速度曲線圖8～圖10可以看出,考慮斜坡約束的制導(dǎo)律的控制加速度在大約45 s時(shí)開(kāi)始增大,這是因?yàn)榇藭r(shí)探測(cè)器距離斜坡約束較近,為了避免探測(cè)器違反斜坡約束,需要產(chǎn)生更大的控制加速度來(lái)控制探測(cè)器盡快遠(yuǎn)離斜坡約束。而未考慮斜坡約束的制導(dǎo)律的控制加速度在接近斜坡約束時(shí)沒(méi)有施加額外的控制加速度來(lái)驅(qū)使探測(cè)器遠(yuǎn)離斜坡約束,進(jìn)而違反了斜坡約束。從控制加速度曲線圖8和圖9可以看出,探測(cè)器橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的終端控制加速度為0,這意味著探測(cè)器在到達(dá)期望的虛擬著陸點(diǎn)時(shí)期望的俯仰角和橫滾角為0。

從圖11的三維著陸軌跡可以明顯的看出,考慮斜坡約束的制導(dǎo)方法能夠滿足斜坡約束,實(shí)現(xiàn)自主避障,最終到達(dá)在期望的虛擬著陸點(diǎn),而未考慮斜坡約束的制導(dǎo)方法會(huì)違反斜坡約束。同樣,從圖12所示的斜坡角θ的變化曲線也能明顯看出,考慮斜坡約束的制導(dǎo)律能夠的斜坡角始終滿足斜坡約束的斜坡角,而未考慮斜坡約束的制導(dǎo)律在大約19 s時(shí)就已經(jīng)違反了斜坡約束。

從仿真結(jié)果可以總結(jié)得到,在增加了斜坡約束項(xiàng)后,所提制導(dǎo)算法不僅能夠保證探測(cè)器精確著陸到期望的著陸點(diǎn),還能保證探測(cè)器在著陸的過(guò)程始終滿足斜坡約束。

3.2 蒙特卡洛仿真

為了校驗(yàn)所提制導(dǎo)算法對(duì)初始狀態(tài)偏差的魯棒性,本小節(jié)進(jìn)行500組蒙特卡洛仿真。探測(cè)器的初始狀態(tài)如表3所示。仿真結(jié)果如圖13～圖16所示。

表3 蒙特卡洛仿真初值Table 3 Initial values of Monte Carlo simulations

圖13 xoy平面的著陸誤差Fig.13 Landing position errors on xoy plane

圖14 著陸速度Fig.14 Landing velocities

圖15 xoz平面著陸軌跡Fig.15 Landing trajectories on xoz plane

圖16 yoz平面著陸軌跡Fig.16 Landing trajectories on yoz plane

根據(jù)圖13和圖14可以看出,在500組的蒙特卡洛仿真中,即使探測(cè)器的初始狀態(tài)存在偏差,在所提出的制導(dǎo)算法作用下,探測(cè)器仍然能夠以很小的速度精確著陸到期望的著陸點(diǎn),且具有較高的著陸精度。

從圖15和圖16可以看出,在500組的蒙特卡洛仿真中,當(dāng)存在初始狀態(tài)偏差時(shí),所提制導(dǎo)算法仍能保證探測(cè)器在著陸的過(guò)程不違反斜坡約束。從蒙特卡洛的仿真結(jié)果容易總結(jié)得到所提制導(dǎo)算法對(duì)初始狀態(tài)偏差具有很強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié) 論

本文研究了考慮斜坡約束的行星探測(cè)器動(dòng)力下降段精確軟著陸的固定時(shí)間滑模反饋制導(dǎo)律。通過(guò)在滑模面中引入斜坡約束,不僅能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面是固定時(shí)間穩(wěn)定的,還能保證系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動(dòng)收斂的過(guò)程不會(huì)違反斜坡約束。在上述滑模面的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了精確軟著陸反饋制導(dǎo)方法,保證滑模面的收斂過(guò)程是固定時(shí)間穩(wěn)定的,而且在滑模面的收斂過(guò)程中探測(cè)器也不會(huì)違反斜坡約束。由于滑模面的趨近段和滑動(dòng)段探測(cè)器均不會(huì)違反斜坡約束,保證了探測(cè)器始終滿足斜坡約束,實(shí)現(xiàn)自主避障。通過(guò)數(shù)值仿真,校驗(yàn)了所提制導(dǎo)算法的有效性以及制導(dǎo)律對(duì)初值不確定性的魯棒性。