次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)

王竟莘，郭志東

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

期權(quán)在金融市場(chǎng)中扮演著重要的角色，擁有獨(dú)特的非線性損益結(jié)構(gòu)，相較于其他工具，能夠構(gòu)造出不同的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)組合，從而更好地達(dá)到避險(xiǎn)保值的目的。期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型是Black-Scholes模型，自1974年被Black和Scholes[1]提出后，學(xué)者們由此取得了豐富的研究成果。2004年，Bojdecki[2]等提出次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，除卻分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)擁有的特點(diǎn)以外，次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有協(xié)方差隨時(shí)間增加而迅速衰減、增量在非重疊區(qū)間內(nèi)相關(guān)性較弱的特點(diǎn)，因此更適用于期權(quán)定價(jià)研究。Bian[3]在次分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)上引入模糊集理論并建立基于長(zhǎng)期記憶特性的歐式期權(quán)定價(jià)模型，分析了不同Hurst 參數(shù)期權(quán)定價(jià)的不同。Kuang[4]研究了次分?jǐn)?shù)下重正化加權(quán)立方變化的收斂性，數(shù)值模擬得到不同Hurst 參數(shù)下的樣本路徑。Li[5]等研究了次分?jǐn)?shù)驅(qū)動(dòng)下Vasicek模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，對(duì)μ,θ兩個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行相合性和漸近分布估計(jì)，發(fā)現(xiàn)其具有一定的適用性。Araneda[6]等研究了混合次分?jǐn)?shù)機(jī)制下具有CEV模型的歐式看漲價(jià)格，發(fā)現(xiàn)所提出的模型能夠捕捉不同期限期權(quán)價(jià)格的時(shí)間結(jié)構(gòu)。

復(fù)合期權(quán)是一種變異期權(quán)，能夠有效規(guī)避外匯風(fēng)險(xiǎn)。Geske[7]首次提出復(fù)合期權(quán)定價(jià)理論，該期權(quán)創(chuàng)新性地將杠桿效應(yīng)運(yùn)用進(jìn)期權(quán)定價(jià)，考慮股票收益率方差為股票價(jià)格水平的函數(shù)，使復(fù)合期權(quán)能夠有效地估計(jì)公司負(fù)債、定價(jià)公司資本結(jié)構(gòu)。Hodges[8]發(fā)現(xiàn)復(fù)合期權(quán)估值公式是一系列多項(xiàng)式分布函數(shù)總和，給出了任一維數(shù)的多正態(tài)分布和的恒等式，簡(jiǎn)化了恒等式積分?jǐn)?shù)量并使復(fù)合期權(quán)估值效率得到提高。Li[9]等引入擴(kuò)展方差伽馬過(guò)程來(lái)控制對(duì)數(shù)資產(chǎn)價(jià)格的偏度和峰度，得到解析式并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。Liu[10]等引入跳-擴(kuò)散過(guò)程，得到定價(jià)公式，且數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)若跳躍振幅對(duì)數(shù)為雙指數(shù)分布能更好地捕捉非對(duì)稱leptokurtic特征和波動(dòng)率微笑的現(xiàn)象。Wang[11]基于模糊集理論，對(duì)復(fù)合期權(quán)模型下利率和波動(dòng)率兩個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行模糊，得到復(fù)合期權(quán)的模糊價(jià)格和模糊概率均值。劉明月[12]等建立多階段因果復(fù)合期權(quán)，利用動(dòng)態(tài)無(wú)套利均衡分析法得到了該模型下n階段看漲因果復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式。宮文秀[13]將三叉樹(shù)模型引入復(fù)合期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，利用向后倒退法對(duì)該模型進(jìn)行定價(jià)，且由數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)不同變量的變化與復(fù)合期權(quán)價(jià)格呈不同的正負(fù)相關(guān)性。王向榮[14]考慮同時(shí)將Hull-White利率模型和Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程引入復(fù)合期權(quán)，得到了該模型下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)公式。溫小梅[15]研究復(fù)合冪期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，考慮雙隨機(jī)波動(dòng)率跳-擴(kuò)散模型并得到了其解析表達(dá)式，且數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)變量對(duì)期權(quán)價(jià)格有較大影響。然而，上述研究并未探討次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散機(jī)制下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，基于此，本文將對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行相關(guān)研究。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

1.2 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型

在該模型下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St滿足隨機(jī)微分方程

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，可用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)替換μ(t)，根據(jù)It?公式，可求得方程（1）的解為

2 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下的Black-Scholes公式

定理1設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格St符合公式（2）給出的模型，則歐式看漲期權(quán)價(jià)格C(St,t)滿足偏微分方程

證明考慮一個(gè)投資組合Π包含一份期權(quán)C(St,t)和Δ份股票，其在t時(shí)刻這個(gè)投資組合的價(jià)格為∏=C-ΔS。假設(shè)Δ在時(shí)間區(qū)間(t,t+Δt)內(nèi)沒(méi)有變化，則選擇合適的Δ，使Π在時(shí)間區(qū)間(t,t+dt)內(nèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。

聯(lián)立公式（4）和公式（5），則定理1得證。

引理1若該期權(quán)到期時(shí)間為T，敲定價(jià)格為K，且遵循公式（2）和公式（3）給出的模型，則其價(jià)格可表示為

且跳-擴(kuò)散歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為[16]

即認(rèn)為該期權(quán)價(jià)格為時(shí)段內(nèi)B-S 模型價(jià)格的加權(quán)平均，權(quán)重服從特征參數(shù)為λ′(T-T0)的泊松分布。公式（8）的為St服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的Black-Scholes公式，現(xiàn)假設(shè)其服從次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)公式（8）進(jìn)行相應(yīng)代換并聯(lián)立公式（7），引理1得證，且有

3 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式

定理2考慮一個(gè)看漲期權(quán)，到期日為T2，中途有到期時(shí)刻T1，其行權(quán)價(jià)格為K1，當(dāng)T1

其中Φ2(a,b,ρ)為二維累計(jì)概率分布函數(shù)，且有

證明設(shè)CC[C(K,T2),K1,T1]為該復(fù)合期權(quán)，當(dāng)C(S1,K,T1,T2)>K1時(shí)，認(rèn)為應(yīng)在T1時(shí)刻執(zhí)行該復(fù)合期權(quán)。當(dāng)C(S1,K,T1,T2)

或當(dāng)ST>K時(shí)，該復(fù)合期權(quán)可在T2時(shí)刻執(zhí)行。由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，此時(shí)復(fù)合期權(quán)價(jià)格可表示為

由此將目標(biāo)求解問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)期望的求解。并基于泊松過(guò)程，根據(jù)[T0,T1]和[T1,T2]區(qū)間上的跳躍數(shù)對(duì)期望進(jìn)行調(diào)節(jié)，分別用n1和n2表示兩時(shí)段內(nèi)的跳躍次數(shù)，且m=n1+n2為[T0,T2]區(qū)間內(nèi)跳躍的總數(shù)。

可將公式（11）第一個(gè)期望表示為

則公式（12）第二項(xiàng)的解為

同理，可得公式（12）第一項(xiàng)的解為

綜合公式（14）和公式（15），可得公式（11）第一個(gè)期望的值為

同理，可得公式（11）第二個(gè)期望的值為

此處a2定義同上公式（17），聯(lián)立公式（13）、公式（16）和公式（18），則定理2得證。

4 數(shù)值模擬

用Matlab編程計(jì)算給出了一些本文模型的數(shù)值模擬結(jié)果，并與常用模型進(jìn)行了比較，模擬采用的參數(shù)（當(dāng)對(duì)某一變量進(jìn)行分析時(shí)，其余變量取值不變）：r=0.5,σ=0.4,σJ=0.05,H=0.8,n1=1,n2=1,k=0.4,T0=0,T1=1,T2=2,K1=10,S0=40,K=[30,31,32,33,34,35]。若以σ為變量，令其分別為0.4、0.5、0.6，數(shù)值模擬結(jié)果如圖1；若以H為變量，令其分別為0.7、0.8、0.9，數(shù)值模擬結(jié)果如圖2；若以r為變量，令其分別為0.4、0.5、0.6，數(shù)值模擬結(jié)果如圖3；若以n1、n2為變量，令其分別同時(shí)跳躍1、2、3次，數(shù)值模擬結(jié)果如圖4。

圖1 σ為變量時(shí)數(shù)值模擬結(jié)果

圖2 H為變量時(shí)數(shù)值模擬結(jié)果

圖3 r為變量時(shí)數(shù)值模擬結(jié)果

圖4 n1、n2為變量時(shí)數(shù)值模擬結(jié)果

由圖1-4可得結(jié)論一：次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散機(jī)制下復(fù)合期權(quán)的價(jià)格隨著σ,H,r的增大而增大，隨著n1、n2的增大而減小。從增減幅度來(lái)說(shuō)，隨著相應(yīng)變量的增大，圖2復(fù)合期權(quán)價(jià)格的增幅最大，說(shuō)明復(fù)合期權(quán)價(jià)格對(duì)H的變化比對(duì)其他三個(gè)變量更加敏感；另一方面，同等條件下，隨著K的增大，復(fù)合期權(quán)價(jià)格逐漸減小。

若以T1為變量，令其分別為0.5和1，本模型數(shù)值模擬結(jié)果如表1所示，可得結(jié)論二：同一T1下，該復(fù)合期權(quán)的價(jià)格隨K的增加而逐漸減小。同K下，該復(fù)合期權(quán)的價(jià)格隨T1的增大而減小明顯。

表1 復(fù)合期權(quán)的數(shù)值模擬結(jié)果

綜上，基于模型對(duì)六個(gè)變量的數(shù)值模擬結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，σ、H、r增大復(fù)合期權(quán)價(jià)格增大，n1、n2、T1、K增大復(fù)合期權(quán)價(jià)格減小。

此外，本文分別對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散的復(fù)合期權(quán)進(jìn)行相應(yīng)數(shù)值模擬，結(jié)果與本模型的對(duì)比分別如圖5、圖6 所示。可知，三個(gè)模型的數(shù)值結(jié)果也都符合結(jié)論二的相關(guān)規(guī)律。此外，由圖1-2可看出，相同條件下幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的數(shù)值結(jié)果始終最?。环?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型的數(shù)值與本文模型較為接近；分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型模擬數(shù)值始終最大。

圖5 T1=0.5時(shí)四種模型對(duì)比結(jié)果

圖6 T1=1時(shí)四種模型對(duì)比結(jié)果

數(shù)值模擬結(jié)果的總體趨勢(shì)與文獻(xiàn)[13]的結(jié)果相一致，符合復(fù)合期權(quán)價(jià)格的基本特征。由于跳躍的存在，會(huì)使得期權(quán)的實(shí)際價(jià)格相比于經(jīng)典B-S 模型偏高[15,17]，本文的數(shù)值結(jié)果也與此相符。此外，由于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有協(xié)方差隨時(shí)間的增加而迅速衰減、增量在非重疊區(qū)間內(nèi)相關(guān)性較弱的特點(diǎn)，從數(shù)值結(jié)果可以看出相比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，復(fù)合期權(quán)的價(jià)格會(huì)偏低，這也與實(shí)際相符。因此可認(rèn)為本文模擬結(jié)果較為可靠，次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型應(yīng)能更準(zhǔn)確地刻畫(huà)標(biāo)的資產(chǎn)特征，并具有一定的實(shí)踐性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文探究了次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下復(fù)合期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題?；陲L(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度假設(shè)，運(yùn)用伊藤公式和Δ對(duì)沖方法，得到了看漲的歐式看漲期權(quán)滿足的偏微分方程。運(yùn)用泊松過(guò)程給出了該模型下復(fù)合期權(quán)價(jià)格的顯式表達(dá)公式。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，探究了多個(gè)變量對(duì)復(fù)合期權(quán)價(jià)格的影響，并將本文模型與三個(gè)常用模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)值規(guī)律具有一些共性。