一類新的廣義Gauss和及其四次均值

陳 麗

(西安財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710100)

令q是整數(shù),χ表示模q的任意Dirichlet特征,對于任意的整數(shù)a、b和c,介紹下面一種新的和式,即廣義Gauss和G(a,b,c,χ;q),定義如下。

G(a,b,c,χ;q)=

其中,e(y)=e2πiy,i2=1。

不難看出,如果a=c=0,b=1,那么,G(0,1,0,χ;q)=τ(χ);如果b=c=0,(a,q)=1,那么,G(a,0,0,χ;q)=χ(a)·τ(χ2)。顯而易見,它們都是經(jīng)典的Gauss和,因此,把G(a,b,c,χ;q)稱為新的廣義Gauss和。并且,完全可以證明G(a,b,c,χ;q)是一個廣義Kloosterman和(具體證明參閱第1節(jié)引理2)。為了尋找這些和式之間的潛在關(guān)系,研究G(a,b,c,χ;q)的各種數(shù)論性質(zhì)是極其必要且有意義的。

本文將研究廣義Gauss和G(a,b,c,χ;q)的均值計算問題,并給出在q=p且q為一個奇素數(shù)時,G(a,b,c,χ;q)的四次均值的一個精確計算公式,最終完成定理1的證明。

定理1令p是奇素數(shù),a和b是2個整數(shù)且(a,p)=1。則對模p的任意階非主特征χ,下面的恒等式可以被給出,即

注1本文只研究了G(a,b,c,χ;p)在最為簡單情形下的四次均值的計算問題。而對于任意整數(shù)k≥3,是否存在2k次均值的一個精確的計算公式?還是一個公開的問題。建議感興趣的讀者可以一起研究。

不難看到,如果χ是模p的主特征χ0,那么,G(a,b,c,χ0;p)就成為普通的三角和,這時其值的模長為常數(shù),因此結(jié)果是平凡的。針對這種情況沒有必要去考慮。

除此之外,如果條件是一般的整數(shù)q≥3,是否也存在與定理1類似的結(jié)果?這也是一個有趣的問題,需要做進一步的考察。

1 若干引理

為了證明本文中所給的定理1,在這一部分,需要給出3個簡單的引理。本節(jié)會多次用到很多初等數(shù)論和解析數(shù)論的相關(guān)知識,經(jīng)典Gauss和以及Dirichlet特征的主要性質(zhì),有關(guān)這些知識點的具體內(nèi)容在文獻[1-3]中均有詳細的介紹,這里不再羅列。

引理1令p是奇素數(shù),則對任意整數(shù)k、a、b,且(ka,p)=1,有下面的三角恒等式

證明由模p的簡化剩余系的性質(zhì)并經(jīng)過整理,有

(1)

其次,對任意整數(shù)c且(c,p)=1,由勒讓德符號的性質(zhì),有

(2)

結(jié)合式(1)和式(2),有

引理1證畢。

引理2令p是奇素數(shù),a和b是任意的2個整數(shù)且(a,p)=1。則對模p的任意階非主特征χ,有

證明根據(jù)經(jīng)典Gauss和的性質(zhì)及引理1,可得

(3)

引理2證畢。

引理3令p是奇素數(shù),χ是模p的任意階Dirichlet特征。則對任意的整數(shù)n且(n,p)=1,可以給出

證明證明過程可參閱文獻[4-5]。與廣義Kloosterman和有關(guān)的其它文章均可參閱文獻[6-14]。

2 定理1的證明

(4)

根據(jù)式(4)和引理3,有

1+2p3-3p2-3p-1=

2p3-3p2-3p

(5)

再從式(4)和引理3,可以推出

p2+2p3-7p2=

2p3-6p2

(6)

最后,將式(5)和式(6)結(jié)合,即可得到定理1的內(nèi)容。

3 結(jié)語

本文通過研究一類新的廣義高斯和的均值問題,計算得到了它的四次均值的一個新的公式。即在任意整數(shù)a和b,且(a,p)=1的條件下,得到了計算公式

通過研究可以看出,該結(jié)果是有意義且有必要的,它不僅擴充了解析數(shù)論中的兩大著名和式經(jīng)典Gauss和與Kloosterman和的研究內(nèi)容,同時也為該領(lǐng)域的進一步發(fā)展做出了新的貢獻。

另外,本文也提出了解析數(shù)論領(lǐng)域中需要進一步研究的幾個問題,這些都有助于該領(lǐng)域研究工作的進一步展開。