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    推算作圖法在方格作圖中的應(yīng)用

    2023-06-20 18:14:21殷素文

    殷素文

    【摘 要】小學(xué)階段的方格作圖是指在已有的方格圖中,按照長(zhǎng)度、面積或平移旋轉(zhuǎn)等要求作出圖形。本文源于一次課堂上的教學(xué)意外,思考并提煉出推算作圖法,可以在原有常規(guī)思維方法的基礎(chǔ)上,用探索、逆向思維的實(shí)踐方式,挖掘方格圖中隱藏的點(diǎn)和線,解決了一些常規(guī)作圖無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊作圖問(wèn)題,拓展了作圖方法。

    【關(guān)鍵詞】方格作圖 推算作圖法 隱藏

    一、案例引入,“催生”推算作圖法

    課堂上討論一題:

    圖1中的小方格是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形。以CD為一條邊,畫(huà)出一個(gè)三角形CDF,使三角形CDF為等腰三角形,且面積為1平方厘米。則符合條件的點(diǎn)F共有( )個(gè)。

    課堂上先獨(dú)立完成,再小組討論,最后交流討論得出4種作圖方法:以CD為腰,底在橫線上有兩種畫(huà)法(見(jiàn)圖2①);以CD為腰,底在豎線上有兩種畫(huà)法(見(jiàn)圖2②)。并用三角形面積公式進(jìn)行檢驗(yàn)。

    少頃,學(xué)生1舉手說(shuō)還有一種方法,教師邀請(qǐng)其上講臺(tái)。學(xué)生1畫(huà)出點(diǎn)F并連線(見(jiàn)圖3①)并說(shuō)明:以CD為底,另兩條為腰,這樣三角形面積也是1平方厘米。

    許多學(xué)生投來(lái)了詫異的目光,教師追問(wèn):“是1平方厘米嗎?”經(jīng)討論得出三角形CDF的面積是1.5平方厘米,顯然點(diǎn)F的位置不符合題目要求。(用包含三角形CDF的邊長(zhǎng)為2厘米的大正方形面積,減去里面的其他3個(gè)小三角形面積。這里意外地復(fù)習(xí)鞏固了不規(guī)則圖形的另一種求面積方法)這時(shí)學(xué)生2說(shuō):“可以的!”便快速跑到講臺(tái)上,修改了點(diǎn)F的位置(見(jiàn)圖3②)并說(shuō)明:以CD為底,只要把高變矮些,面積就可以是1平方厘米。很多學(xué)生表示認(rèn)同,教師問(wèn):“點(diǎn)F的位置在哪兒呢?隨手一畫(huà)肯定不行。”教室里出現(xiàn)了支支吾吾的聲音,但又沒(méi)有人舉手,討論仿佛又回到了原點(diǎn):答案只有4種!?“老師,我能找出點(diǎn)F?!睂W(xué)生3隨即沖上講臺(tái),再次修改點(diǎn)F的位置(見(jiàn)圖3③)并說(shuō)明:點(diǎn)F是1小格的中心,三角形CDF的高是圖3①中高的2/3,面積也就是1平方厘米。其他學(xué)生向?qū)W生3投來(lái)驚奇的目光,教室里安靜了下來(lái),教師表?yè)P(yáng)3個(gè)學(xué)生,并給予獎(jiǎng)勵(lì)。顯然,圖3③的三角形CDF的底和高同為厘米,雖然此三角形面積在小學(xué)階段無(wú)法計(jì)算,但沿著上述思路,可以很容易推算出三角形CDF的面積。這樣點(diǎn)F的位置比原先又多了2種(另一點(diǎn)在以CD為對(duì)稱(chēng)軸,已知點(diǎn)F的對(duì)稱(chēng)位置,即CD的左下方)。這里把后兩種尋找點(diǎn)F位置的方法且稱(chēng)為“推算作圖法”。

    二、靈活運(yùn)用,“演繹”另一種精彩

    上面例子中用推算作圖法找點(diǎn)F位置與前4種有著明顯的不同。前4種是緊扣三角形的面積公式,腦海中思考的是:(底)×(高)÷2=1(平方厘米),要用合適的底和高進(jìn)行計(jì)算,底和高的大小被限定在整數(shù)范圍之內(nèi);推算作圖法先假設(shè)CD是三角形的底,以點(diǎn)F的合理位置為思維起點(diǎn),思維更加傾向于有效推理,三角形CDF底和高不計(jì)入,在尋找點(diǎn)F的過(guò)程中先出錯(cuò),再融錯(cuò)。可見(jiàn),推算作圖法包含的先假設(shè),再融錯(cuò)的理念與解決“雞兔同籠”的問(wèn)題時(shí)用的方法(可以先假設(shè)全是雞,發(fā)現(xiàn)腿的數(shù)量變少了,查找原因是“兔子惹的禍”,兔子的數(shù)量“暴露”了,雞的數(shù)量也就出來(lái)了)有異曲同工之妙。推算作圖法有其特有的優(yōu)點(diǎn),在實(shí)際操作中可充分加以利用。下面舉幾個(gè)例子說(shuō)明推算作圖的“拿手絕活”。

    例1:在方格圖中畫(huà)出面積分別為2平方厘米、5平方厘米的正方形。(小方格是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形,下同)

    如圖4①,左下角實(shí)線表示的正方形面積是2平方厘米,向右上方拓展,可以得到面積為4平方厘米、6平方厘米的新長(zhǎng)方形。

    如圖4②,正方形的面積為5平方厘米(思考及作圖方法可參考后文舉例),同樣也可以畫(huà)出面積為8平方厘米、10平方厘米的正方形。

    例2:在方格圖中畫(huà)出面積為7平方厘米的平行四邊形(高和底都大于1厘米)。

    由于高和底的條件限制,使得乘法口訣里得數(shù)是7 的口訣派不上用場(chǎng)了。但通過(guò)推算作圖法的思維,可以嘗試尋找6.□×1.□=7的可能性,或者是2.□×3.□=7的可能性。通過(guò)嘗試與推算,就可以得出圖5中的兩種面積同為7平方厘米的平行四邊形。從上面的例子可以看出,推算作圖法不局限于整數(shù)類(lèi)型的計(jì)算作圖,從可能性的角度出發(fā),嘗試并推算猜測(cè)的作圖方法是否存在,思維更靈活,更具挑戰(zhàn)性,得出的結(jié)果也更加“出人意料”。

    三、有容乃大,“升級(jí)”方格圖的認(rèn)識(shí)

    對(duì)圖3,大家也許會(huì)覺(jué)得似乎哪里不太對(duì)勁,下面筆者就來(lái)談一談對(duì)方格圖的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

    如圖6①,圖中的點(diǎn)和線其實(shí)只是對(duì)已有方格的部分描摹,使之更加清晰,這些直觀存在的點(diǎn)和線,也是我們平時(shí)直接利用的。

    圖6②中的線段是將方格中任意兩點(diǎn)連接產(chǎn)生的,這種隱藏的線,雖然它們的長(zhǎng)度不是整厘米數(shù),但是結(jié)合直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系,學(xué)生很容易判斷出它們的大小范圍,這將有助于學(xué)生選取合適的長(zhǎng)度用于下一步猜想。比如要畫(huà)一個(gè)面積為5平方厘米的正方形,它的邊長(zhǎng)應(yīng)取2厘米到3厘米之間,這樣的邊在哪兒呢?在一步步地引導(dǎo)、推算中,學(xué)生體會(huì)到成功的快樂(lè)。用這種隱藏的“暗線”解決問(wèn)題,有時(shí)含金量更高,說(shuō)明“暗線”也可加以利用。

    圖6③是通過(guò)簡(jiǎn)單的連線產(chǎn)生的“暗點(diǎn)”,這種“暗點(diǎn)”精確地表示某一固定位置,也是方格圖自身特點(diǎn)所賦予的特征。如果學(xué)生用簡(jiǎn)單、快捷的方法找出這些隱藏的點(diǎn)(保留作圖痕跡),并且這些點(diǎn)在運(yùn)用中具有準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)含義,能解決實(shí)際的問(wèn)題,就說(shuō)明它有利用價(jià)值,也有其存在的理由。這樣看來(lái)方格圖只是我們作圖的一個(gè)參照系,在這個(gè)參照系中快速建立起來(lái)的“暗線”和“暗點(diǎn)”同樣也是這個(gè)參照系的一部分,可以作為參照物來(lái)使用,等待我們?nèi)グl(fā)掘、利用。悅納這樣的“暗線”與“暗點(diǎn)”將使作圖的世界更加精彩。

    四、包容會(huì)通,不“拘泥”效率第一

    過(guò)去,我們的課堂教學(xué)都緊緊圍繞著課前設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)來(lái)開(kāi)展,把能否完成教學(xué)目標(biāo)作為一節(jié)課是否成功的重要標(biāo)志。而這一預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)又大多以教師對(duì)教育教學(xué)的認(rèn)知為基礎(chǔ),把既定的線性課堂教學(xué)過(guò)程作為參考路線,對(duì)學(xué)生“節(jié)外生枝”的想法包容度不夠,課堂教學(xué)變成了教師“引”、學(xué)生“跟”,學(xué)生很難跳出教師預(yù)設(shè)的思維框框。課堂上的意外在一定程度上還原了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的真實(shí)想法,它脫離了教學(xué)的預(yù)設(shè)目標(biāo),但它體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)中可能性的另一種探索。教師不能因?yàn)檎n堂時(shí)間的限制等因素,把教學(xué)時(shí)效放在首位,而忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中探索精神的培養(yǎng)。正是由于課堂上學(xué)生敢闖、敢試、敢辯,才打開(kāi)了方格作圖的另一扇窗,發(fā)掘出了方格圖中的隱藏條件,用推算的方法實(shí)現(xiàn)了作圖“自由”。推算作圖法擴(kuò)展了方格作圖的外延,引領(lǐng)我們進(jìn)入了一個(gè)“不規(guī)則”的世界?;蛟S推算作圖法的“能效比”并不占優(yōu)勢(shì),但它拓寬了學(xué)生的視野,培養(yǎng)了學(xué)生敢于估測(cè)、嘗試的精神,學(xué)生思維的質(zhì)量高,過(guò)程曲徑通幽,結(jié)果回味無(wú)窮。也許推算作圖法與一般計(jì)算作圖法的結(jié)合才是方格作圖的完美呈現(xiàn)。

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