基于變換理論的消波結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

◎ 任超 黃毓，2

1.大連海洋大學(xué)海洋與土木工程學(xué)院；2.設(shè)施漁業(yè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室

1.引言

海洋一直都是人類經(jīng)濟(jì)活動的重要場所，包括深水網(wǎng)箱養(yǎng)殖、海洋波浪能發(fā)電、海洋鉆井平臺等。這些設(shè)施都可能受到惡劣海洋環(huán)境的影響，削弱水波能量和控制水波傳播等成為保障海洋設(shè)施的關(guān)鍵。傳統(tǒng)防波堤已經(jīng)被證明可以用來消散和衰減波浪，其中潛堤對海水循環(huán)和生態(tài)環(huán)境影響小，海岸景觀逐漸受到重視，現(xiàn)有的單列式潛堤和系列潛堤大都結(jié)構(gòu)形式簡單，對于系列潛堤的研究主要集中于為針對簡單結(jié)構(gòu)構(gòu)型的反射系數(shù)及波浪傳播變形的數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究[1,2]。Hsu[3]等通過理論研究、實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值分析研究了波浪傳播通過周期性三角形、矩形和余弦型潛堤的布拉格反射現(xiàn)象，得到相同數(shù)目的潛堤矩形反射系數(shù)最優(yōu)，三角形最差。蔡力宏等[4]對波浪通過系列斜坡底床潛堤的布拉格反射現(xiàn)象進(jìn)行了研究。Wen等[5]研究了系列潛堤的堤數(shù)、堤高、間距等結(jié)構(gòu)參數(shù)對布拉格反射帶寬與最大反射系數(shù)的影響，并得到潛堤反射系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式。將周期性的布拉格反射現(xiàn)象與由布拉格散射機(jī)理形成的帶隙聯(lián)系起來，對于海岸防護(hù)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有重大意義。

帶隙的概念來自于電磁波和聲波，當(dāng)電磁波和聲波傳播通過人工設(shè)計(jì)的周期性結(jié)構(gòu)時(shí)對應(yīng)帶隙頻段的光波或聲波可以有效衰減。類比電磁波、聲波和水波控制方程的相似性，Zhang[6]將周期性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)用于水波調(diào)控中，設(shè)計(jì)了側(cè)壁周期性起伏結(jié)構(gòu)，對在0.74-0.84Hz頻段范圍內(nèi)的波浪產(chǎn)生了布拉格散射，有效抑制了水波的傳播。Hsu[7]給出2k/kb=1處產(chǎn)生初級共振，其中k和kb分別為自由表面波數(shù)和底部結(jié)構(gòu)物波數(shù)。近年來，超材料發(fā)展迅速，打破了原有周期性帶隙結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)的限制，提出了新的調(diào)控波傳播的機(jī)制。超材料是由亞波長結(jié)構(gòu)組成的人造材料，基于超材料的概念許多新穎的現(xiàn)象和器件被提出，例如負(fù)折射率、隱身衣等，其中隱身衣是基于變換光學(xué)提出來的重要成果，它能夠使光線繞過任意形狀或大小的障礙物進(jìn)行傳播，而且不產(chǎn)生散射，實(shí)現(xiàn)隱身效果。光學(xué)超材料通過設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不同位置特定的參數(shù)改變折射率，實(shí)現(xiàn)特定的折射率參數(shù)往往所需設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以直接應(yīng)用于水波。2015年浙江大學(xué)Wang[8]等人基于淺水方程與二維光子晶體中TE模主方程的相似性，類比得到了線性水波的折射率與水深的1/2次方程反比的結(jié)論，即可通過底部結(jié)構(gòu)漸變的水深來實(shí)現(xiàn)特定的折射率。平面梯度超材料[9]的提出，為設(shè)計(jì)簡單的結(jié)構(gòu)提供了可能，2019年Zou[10]將梯度折射率材料（Gradient Index Metamaterials，簡寫GIM）集成到波導(dǎo)系統(tǒng)中，根據(jù)變換理論有效地定制波導(dǎo)的傳播特征，從理論上設(shè)計(jì)并實(shí)驗(yàn)證明了一種使用GIM的水波波導(dǎo)斗篷，且所需GIM僅通過控制不同位置的水深便可以獲得。

本文旨在利用梯度折射率材料對水波的折射和反射作用，通過數(shù)值仿真設(shè)計(jì)新型潛堤結(jié)構(gòu)的寬度、航道寬度、潛堤平臺長度等參數(shù)，在保有良好的水流交換能力和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的同時(shí)達(dá)到優(yōu)良的消波效果。

2.數(shù)值波浪水槽和GIM模型的建立

本文假設(shè)所研究的液體為無粘、無旋、不可壓縮，只受重力作用，波幅遠(yuǎn)小于波長的線性液體表面波，可用緩坡方程[11]來描述波浪的折射-繞射聯(lián)合變形，控制方程可表示為如下形式：

其中，c為相速度；cg為群速度；k為波矢。

針對變化底面深度液體表面波中的布拉格散射問題，Ye于2003[12]年給出了一個(gè)處理方程，在近似程度上與MSE一樣都是一階近似，方程為：

其中u為液體的有效深度，ω為液體表面波的角頻率，η為液體表面的豎直位移，h為液體的實(shí)際深度。當(dāng)kh＜＜1時(shí)，式（2）可化為：

式（3）即為淺水方程，適用于液體深度較淺或者頻率較低的微振幅波。淺水方程對應(yīng)的色散關(guān)系為：

模型左端為流入邊界，右端為流出邊界，流入和流出邊界條件為：

入射平面波位移u0，K 為波矢量，X為位置矢量，n為指向外邊界法向矢量，波矢量k≡∣K∣。對于圖1的GIM模型[10]，水槽通道寬為M，在模型中R1區(qū)域位水槽內(nèi)部深度無變化區(qū)域，水深為h；R2區(qū)域有兩平行結(jié)構(gòu)，寬度為t，長度為α1，對稱放置在邊界上，對稱間距為w，以潛堤開始處為坐標(biāo)原點(diǎn)，其高度隨x軸呈曲線變化，由0逐漸變?yōu)閎1，使得水波傳播通過具有梯度變化的剖面，該區(qū)域水深最大值h變?yōu)閔-b1，水深的變化產(chǎn)生了變化的水波折射率[13-15]。

圖1 波浪水槽GIM結(jié)構(gòu)

則對應(yīng)圖1中R1，R2，區(qū)域水波色散關(guān)系為：

對應(yīng)R1區(qū)域任意點(diǎn)處的折射率為常量1。R2區(qū)域水深h2沿x方向變化，則R2區(qū)域任意點(diǎn)處的折射率為：

其中，n2為R2區(qū)域的折射率，h1為初始深水，假設(shè)水深最小處折射率為N1。從式（9）中可看出，R2區(qū)域的折射率n2為隨x方向變化的函數(shù)，則R2區(qū)域的折射率函數(shù)n2(x)可以表示為，

其中，α、b為待定系數(shù)。利用邊界條件水深最大時(shí)，折射率為n2(x2)=1；當(dāng)R2區(qū)域水深最小時(shí)，折射率為n2(x1)=N1，求得：

則R2區(qū)域水深h2為：

3.規(guī)則波在GIM上的傳播數(shù)值模擬與分析

本文采用COMSOL Multiphysics PDE 接口通過求解方程來模擬水波通過GIM的傳播對波浪透射比的影響。

3.1 數(shù)值分析模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文數(shù)值模型設(shè)置的準(zhǔn)確性，對比寬帶波導(dǎo)模型，GIM模型長度α1=1.78m，高度b1=0.133m，拉伸長度t=0.15m，距離w=0.9m，模擬了工作頻率為f=0.7Hz時(shí)的穩(wěn)態(tài)水波場，并與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，見圖2，本文計(jì)算得到的水波場與文獻(xiàn)中得到的結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文采用COMSOL軟件進(jìn)行波浪對GIM結(jié)構(gòu)水波傳播進(jìn)行數(shù)值仿真的正確性。

圖2 波導(dǎo)數(shù)值模擬與文獻(xiàn)[10]對比

3.2 不同結(jié)構(gòu)透射率比較

為了比較GIM模型與R2區(qū)域梯度無變化的結(jié)構(gòu)對于消波能力的影響，本文對兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模仿真和分析，結(jié)構(gòu)見圖3（a）。無梯度變化的模型，長度為α1，高度由0逐漸變?yōu)閎1，但高度變化幅度為定值，即各點(diǎn)斜率相同。

圖3 （a）無梯度變化的結(jié)構(gòu)和（b）GIM結(jié)構(gòu)幾何模型

水波由左側(cè)入射，入射頻率為0.7Hz，模型兩端設(shè)置為吸波邊界條件，數(shù)值模擬結(jié)果如圖4所示。

圖4 （a）無梯度變化結(jié)構(gòu)和（b）GIM結(jié)構(gòu)對水波調(diào)控

由圖4對比發(fā)現(xiàn)，水波通過無梯度變化結(jié)構(gòu)與經(jīng)過GIM結(jié)構(gòu)相比，水波經(jīng)過GIM結(jié)構(gòu)即被反射，并在GIM坡前形成了較強(qiáng)的匯聚，因而取得了良好的消波效果。為了進(jìn)一步比較消波效果，將入射波幅度記為Ai，透射的波幅記為A0，入射波振幅Ai為定值，A0數(shù)值采用水波經(jīng)過結(jié)構(gòu)物后的穩(wěn)定段λ2波幅取平均值求得。所有對透射率的計(jì)算為水波經(jīng)過結(jié)構(gòu)物后的穩(wěn)定期間取值。無梯度變化結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬計(jì)算透射比T==0.627。

采用相同的邊界條件，GIM的計(jì)算透射率T=0.076。通過比較模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，通過引入了梯度變化結(jié)構(gòu)，消波效果是無梯度變化結(jié)構(gòu)T=0.627的8.25倍，因此GIM結(jié)構(gòu)作為水下潛堤結(jié)構(gòu)在削弱波浪能量方面具有更優(yōu)的表現(xiàn)。

4.GIM結(jié)構(gòu)透射率的影響分析

4.1 水深對于GIM結(jié)構(gòu)透射率的分析和選優(yōu)

將入射波的入射頻率均設(shè)置為f=0.70Hz，通過改變模型初始水深，計(jì)算模型的透射率如表1所示，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，找到最優(yōu)的模型初始水深的數(shù)值。

表1 水深對于GIM結(jié)構(gòu)透射率的影響

根據(jù)數(shù)據(jù)分析，初始水深為0.16m時(shí)，透射率最低，消波效果最優(yōu)，圖5是不同水深的水波模態(tài)。從圖中可以得到水深是影響水波透射率的重要因素，當(dāng)水深在0.158-0.163m時(shí)均有消波效果，當(dāng)水深為0.160m時(shí)水波透射率最低，達(dá)到最優(yōu)消波效果。

圖5 不同水深的水波模態(tài)

4.2 頻率對于GIM結(jié)構(gòu)透射率的分析和選優(yōu)

進(jìn)一步探討不同頻率對模型消波能力的影響，設(shè)置初始水深為定值，改變頻率f，計(jì)算模型的透射率如表2所示，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，找到最優(yōu)的模型初始水深的數(shù)值。

表2 水深對于GIM結(jié)構(gòu)透射率的影響

根據(jù)數(shù)據(jù)分析，入射頻率為f=0.70Hz時(shí)，透射比最低，消波效果最優(yōu)，圖6 是不同頻率的水波模態(tài)。從圖中可以得到頻率也是影響水波透射率的重要因素，當(dāng)頻率在0.66Hz-0.72Hz時(shí)均有消波效果，當(dāng)入射頻率為0.70Hz時(shí)水波透射率最低，達(dá)到最優(yōu)消波效果。

圖6 不同頻率的水波模態(tài)

5.GIM結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對透射率的影響分析

5.1 GIM模型寬度t和航道寬度M的分析和選優(yōu)

將入射波的入射頻率均設(shè)置為f=0.70Hz，通過改變GIM模型寬度t與航道寬度M，計(jì)算模型的透射率，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，找到最優(yōu)的模型寬度與航道寬度的數(shù)值及比例。

航道寬度M為1.2時(shí)，改變GIM模型寬度t，得到透射率如表3所示。

表3 GIM模型寬度t的影響態(tài)

GIM模型寬度t為0.15時(shí)，改變航道寬度M，得到透射比如表4所示。

表4 GIM模型航道寬度M的影響

分別繪制了f=0.68、0.7、0.72Hz三個(gè)頻率下，不同GIM模型寬度t、不同GIM模型航道寬度M對透射率的影響，如圖7、圖8所示。

圖7 f=0.68、0.7、0.72Hz三個(gè)頻率下，不同GIM模型寬度t對透射率的影響

圖8 f=0.68、0.7、0.72Hz三個(gè)頻率下，GIM模型航道寬度M對透射率的影響

根據(jù)數(shù)據(jù)分析，入射頻率為0.68 Hz 時(shí)，GIM 模型寬度t 為0.158m，航道寬度M為1.2m時(shí)透射比最低，消波效果最優(yōu)；入射頻率為0.70Hz時(shí)，GIM模型寬度t為0.15m，航道寬度M為1.2m 時(shí)透射比最低，消波效果最優(yōu)；入射頻率為0.72Hz時(shí)，GIM模型寬度t為0.17m，航道寬度M為1.0465m時(shí)透射比最低，消波效果最優(yōu)。

5.2 GIM結(jié)構(gòu)平臺長度分析和選優(yōu)

為優(yōu)化結(jié)構(gòu)消波能力，在GIM模型后后端，加裝一平臺模型，如圖9所示平臺的長度為，為盡可能縮短整個(gè)模型長度，的取值范圍在0.1倍GIM模型長度至0.3倍GIM模型長度之間。

圖9 帶有平臺的GIM模型

將入射波的入射頻率分別設(shè)置為f=0.68、0.7、0.72Hz，通過改變GIM模型平臺延伸長度，計(jì)算模型的透射率，優(yōu)化結(jié)構(gòu)，找到最優(yōu)的模型平臺延伸長度的數(shù)值。

入射頻率f=0.68、0.7、0.72Hz時(shí)，改變GIM模型平臺延伸長度，得到透射比如圖10所示。

圖10 f=0.68、0.7、0.72Hz三個(gè)頻率下，GIM模型平臺延伸長度對透射率的影響

根據(jù)數(shù)據(jù)分析，入射頻率為0.68Hz時(shí)，GIM模型平臺延伸長度為0.25 倍時(shí)，時(shí)透射比最低，消波效果最優(yōu)；入射頻率為0.70Hz時(shí)，GIM模型平臺延伸長度為0.22倍時(shí)，時(shí)透射比最低，消波效果最優(yōu)；入射頻率為0.72Hz時(shí)，GIM模型平臺延伸長度為0.25倍時(shí)，透射比最低，消波效果最優(yōu)。

6.結(jié)論

本文設(shè)計(jì)并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了一種具有梯度變化的GIM模型，得到了不同頻率下該模型對波浪的消波作用，并對GIM寬度，航道寬度和平臺長度等參數(shù)進(jìn)行了分析和選優(yōu)，設(shè)計(jì)得到了具有最有參數(shù)的GIM消波潛堤結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)構(gòu)型簡單，與梯形潛堤結(jié)構(gòu)相比具有更好的消波作用，且可以應(yīng)用于海岸防護(hù)和水產(chǎn)養(yǎng)殖。