指向深度學習的高中數(shù)學探究活動教學

楊昆華

2017年版2020年修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學探究活動是“綜合提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)的載體”之一，有助于學生經(jīng)歷數(shù)學研究的過程，體驗發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的激情.近年來，深度學習理念被廣泛運用于中學數(shù)學教學，尤其是探究性課堂教學.深度學習以問題為中心，教師通過深度挖掘數(shù)學知識的內(nèi)涵與價值，為學生搭建主動探究、深度參與的平臺；而學生則在教師的引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的問題，積極開展自主探究，從而獲得對數(shù)學必備知識、思想方法、高階思維方式的深度理解，抓住數(shù)學問題的本質(zhì)，提高數(shù)學關(guān)鍵能力，形成積極的內(nèi)在學習動機，進一步自主構(gòu)建數(shù)學知識體系和思維網(wǎng)絡，進而提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).那么如何在高中數(shù)學探究活動教學中滲透深度學習理念？如何從探究內(nèi)容出發(fā)，結(jié)合學生已有認知水平，立足最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設真實的問題情境，提出具有挑戰(zhàn)性的問題呢？筆者以高中數(shù)學新教材必修第二冊（人教A版）第八章第三節(jié)的“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容“祖暅原理與柱體、錐體的體積”為例，談談指向深度學習的高中數(shù)學探究活動教學.

一、創(chuàng)設情境提出問題

【問題與活動】

某社區(qū)開展優(yōu)化便民服務，向距離社區(qū)100 m的健康活動中心鋪設寬為1 m的人行道.某公司給出如圖1的四種方案，請問哪種方案最省材料？

首先，教師讓學生直觀感知哪種方案最省材料.結(jié)果大家都感覺方案①的面積是最小的，方案③的面積是最大的，如圖2所示.為了判斷感覺是否正確，教師讓學生動手操作體驗，用粉筆拼接，如圖3.學生通過感知體驗得到結(jié)論：四種方案的面積是相同的.此時，教師適時提問：“如何證明我們的結(jié)論呢？”

接著教師引導學生通過計算面積來驗證.方案①②可以根據(jù)平行四邊形的面積公式求解，而方案③可以采用分割法或割補法計算面積，方案④則用割補法求得面積.最后，學生發(fā)現(xiàn)四種方案的面積均為100 m2，因此可以證明四種方案的面積是相同的，如圖4所示.

從事實出發(fā)，教師引導學生歸納總結(jié)得到結(jié)論：夾在兩條平行線之間的兩個平面圖形，被一條平行線所截，當?shù)雀咛幍慕鼐€段都相等時，兩個平面圖形的面積相等；當截線段不等時，它們的面積不等.

然后教師用“幾何畫板”對結(jié)論進行演示、驗證，如圖5所示.

通過實際操作和信息技術(shù)演示兩種方式，教師讓學生經(jīng)歷直觀感知、操作確認的研究過程，利用信息技術(shù)動態(tài)展示問題的變化過程，直觀觀察得到變化中的不變關(guān)系，有利于學生體驗和感悟數(shù)學知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題的能力.

【設計意圖】以鋪設人行道哪種方案最省原料為背景，以生活中容易碰到的問題情境引入課程，看似簡單，卻容易使人從經(jīng)驗出發(fā)產(chǎn)生錯覺，從而激發(fā)學生的學習欲望，使學生的注意力迅速集中到探究活動中.教師讓學生從平面（二維）的角度直觀感知“祖暅原理”，使學生體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學生探究數(shù)學問題的熱情，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界.學生通過直觀感知、操作確認的探究過程，初步體會“祖暅原理”的含義.借助信息技術(shù)展現(xiàn)數(shù)學問題的直觀性，可以培養(yǎng)學生的動手操作能力和勇于探究的科學精神，激發(fā)學生對“祖暅原理”的學習興趣.

二、類比推理挖掘本質(zhì)

【問題與活動】

教師通過類比，將面積問題推廣到體積問題，追問：“在空間中有類似的結(jié)論嗎？”

如圖6，教師讓學生用一摞書動手操作，觀察擺放這摞書的不同形式，引導學生思考什么是形狀變化中的不變量.教師追問：“每一本書的面積變了嗎？”學生自然回答：“沒變！”教師再追問：“這摞書的體積變了嗎？”學生也自然得出：“沒變！”這時，教師再進一步追問：“觀察每一本書與桌面的位置關(guān)系如何？”學生馬上回答：“平行！”此時，教師順勢提出問題：“通過剛才的操作與觀察，類比平行線與平面面積問題，你能歸納面積與幾何體體積的關(guān)系嗎？”

教師首先讓學生獨立思考，再通過小組合作、交流研討的形式，引導他們探究其中的幾個關(guān)鍵點：平行于桌面的位置關(guān)系、面積不變、幾何體形狀變化與體積的關(guān)系.再由小組代表總結(jié)歸納，小組成員交流完善，最終得出結(jié)論：高度相等的兩個幾何體，如果等高處的截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.

接著，教師就可以引出主題：早在南北朝時期，祖沖之的兒子祖暅便發(fā)現(xiàn)了這個原理，因此我們將其稱為“祖暅原理”.在《綴術(shù)》中，“祖暅原理”是這樣描述的：冪勢既同，則積不容異.冪：等高處的截面積；勢：幾何體的高；積：體積.也就是說兩個等高的幾何體，在等高處的截面積都相等，則其體積相等，如圖7所示.“祖暅原理”在國外又被稱為“卡瓦列利原理”.但是卡瓦列利的發(fā)現(xiàn)遠比我國的祖暅晚了1100多年.

【設計意圖】教師通過類比平面中的面積結(jié)論，得出空間中也同樣具有此類規(guī)律，引出“祖暅原理”，讓學生體會中國古代卓越的數(shù)學成就，激發(fā)學生的民族自豪感和自信心，提高學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生用數(shù)學的思維思考世界.

三、遷移應用開闊思維

【問題與活動】

由于“祖暅原理”的本質(zhì)是兩個幾何體在等高處的截面積相等，則其體積相等，因此我們可以構(gòu)造“已知幾何體”來解決“未知幾何體”的體積問題.

我們知道長方體的體積為長、寬、高的乘積，即底面積與高的乘積.利用這個基本結(jié)論，學生很自然就可以得出柱體的體積為底面積與高的乘積.

接著，教師追問：“椎體的體積呢？”

學生提出：“在小學進行過操作驗證，先準備底面相同且等高的圓錐和圓柱，用圓錐裝滿沙子，然后倒入圓柱，三次即可裝滿圓柱，說明圓錐的體積是圓柱體積的■，所以圓錐的體積是■的底面積與高的乘積.”

教師適時引導：“現(xiàn)在我們已得到柱體的體積公式，能利用柱體與椎體的聯(lián)系，嚴格論證錐體的體積嗎？”

學生思考后提出把柱體三等分，教師問：“如何分？”接著，教師讓學生觀察直三棱柱模型，具體操作實踐，將其分解為三個體積相等的三棱錐.

通過小組合作探究的學習方式，利用“等體積法”，教師引導學生觀察、操作、驗證，將直三棱柱切割為三個體積相等的三棱錐（如圖8）.

利用小組合作學習、探究，類比推導一般柱體、椎體體積的方法，學生提出利用“祖暅原理”，構(gòu)造一個與半球在等高處截面面積總相等的幾何體，從而推導論證球體的體積公式.

教師及時肯定學生的思路，接著追問：“如何找一個與半球在等高處截面面積總相等的幾何體，且這個幾何體的體積可求？”

由此，教師引導學生觀察：如圖9，平行于底面的半球的截面是小圓，該小圓的面積與球半徑和球心到小圓面距離的關(guān)系為r2=R2-l2（R為球半徑，l為球心到小圓面的距離），所以截面小圓的面積為S=πr2=πR2-πl(wèi)2.而平行于底面的圓錐、圓柱的截面也是圓，所以能用圓錐和圓柱構(gòu)造與半球在等高處截面面積總相等的幾何體嗎？

教師引導學生研究小圓的面積：πr2=πR2-πl(wèi)2，從數(shù)形結(jié)合的角度來看，可以聯(lián)系到兩個圓的面積之差（如圖10）.

這樣，學生自然提出了用一個圓柱套在圓錐外面的想法.

如圖11，根據(jù)半球的截面面積公式，隨著高度的不斷升高，根據(jù)“祖暅原理”要找一個等高處截面積與半球截面面積相等的幾何體，似乎是可以的，利用信息技術(shù)動態(tài)演示，并結(jié)合計算，圓柱套在正放圓錐的幾何體，放在一起發(fā)現(xiàn)等高處的截面積，隨著高度h的升高，內(nèi)圓面積逐漸趨于0，而外圓面積為定值，半球的截面積在減小，而我們構(gòu)造的幾何體的截面積反而在增大.這時，教師追問：“怎么辦？”

學生通過觀察發(fā)現(xiàn)，截面面積的始末大小剛好相反，因此，需要將圓錐顛倒，如圖12.

借助動畫演示，教師引導學生構(gòu)造得到一個滿足條件，并能夠求出體積的幾何體，讓學生經(jīng)歷應用“祖暅原理”探究半球體積的推理過程，培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

【設計意圖】教師引導學生深刻理解“祖暅原理”的實質(zhì)，通過數(shù)學建模探究活動，研究球的體積，拓寬學生的數(shù)學思維與視野，讓學生學會用數(shù)學的語言表達世界.

深度學習理念指導下的數(shù)學探究活動的開展，在新教材內(nèi)容的基礎上，進一步深度挖掘知識內(nèi)涵，拓展數(shù)學思維空間，能有效培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的數(shù)學能力，有助于推進學生的批判性思維和創(chuàng)新思維的養(yǎng)成.在數(shù)學探究活動實踐中不難發(fā)現(xiàn)，學生的思維參與度、自我反思、批判質(zhì)疑、嚴謹求實的意識還有待進一步加強.結(jié)合探究內(nèi)容，教師還應該進一步拓展問題，并在新的起點上提出新的需要解決的問題，把課堂內(nèi)容延伸到課外.這有利于建立課內(nèi)外一體化的學習與研究機制，最終突破課堂時空對數(shù)學探究活動的限制.

◇責任編輯 邱 艷◇