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    時序優(yōu)先級約束的時序模式圖強模擬匹配

    2023-06-15 09:27:10金浩宇
    計算機技術與發(fā)展 2023年6期
    關鍵詞:模式圖子圖時態(tài)

    金浩宇,霍 宏,方 濤

    (上海交通大學 電子信息與電氣工程學院,上海 200240)

    0 引 言

    圖模式匹配是指在圖數(shù)據(jù)中搜索與待查詢模式圖相同或相似的子圖的一類算法,是實現(xiàn)圖數(shù)據(jù)高效率查詢的重要手段,已經(jīng)應用于眾多的領域。例如社交網(wǎng)絡分析[1]、知識分析[2]等。現(xiàn)有的圖模式匹配方法大多僅適用于靜態(tài)圖,不適用于在現(xiàn)實世界中廣泛存在的時態(tài)圖[3-4],即圖數(shù)據(jù)中的兩個頂點之間的邊具有時間屬性,其記錄了兩個頂點之間關系的開始與結(jié)束時間。圖1(a)給出了一個任務合作時序圖,圖中每個頂點表示一個人,頂點標簽A,B,C,D,E表示不同的職業(yè),頂點之間的有向邊表示兩個人之間交接任務的方向,每條邊上都有一個時間區(qū)間(s,f)表示任務交接的開始時間s與結(jié)束時間f。

    圖1 任務合作時序圖

    假設有一個任務合作模式圖QT,如圖1(b)所示,QT中每條邊ei都具有一個時序優(yōu)先級,時序優(yōu)先級規(guī)定了低優(yōu)先級邊的開始時間一定要晚于高優(yōu)先級邊的結(jié)束時間,即模式圖QT隱含著一種時序約束,該文稱其為時序模式圖,其中A先與B交接任務,然后A在接收了B和E的交接信息后,再與C進行交接,最后C與D完成任務交接?,F(xiàn)要在如圖1(a)所示的任務合作時序圖上查詢與QT相同或相似的子圖。如果采用靜態(tài)的圖模擬匹配方法,可以得到的一個匹配結(jié)果的邊集合為{e1,e2,e3,e4,e6,e7},顯然,由于沒有考慮邊具有的時序?qū)傩?邊e7并不滿足模式圖QT中的時序約束,而正確的匹配結(jié)果如圖1(c)所示。除了時序約束外,觀察圖1(b),不難發(fā)現(xiàn)模式圖QT中還存在環(huán)路,如A→B→A等,而現(xiàn)有的時態(tài)圖模式匹配方法無法處理模式圖中的環(huán)路。因此,需要研究適合于時態(tài)圖并能處理環(huán)路的時序模式圖匹配方法。

    針對時序圖特有的時序?qū)傩约骖櫰渫負浣Y(jié)構(gòu),提出了時序優(yōu)先級約束的時序模式圖強模擬匹配算法,該算法在匹配過程中,不僅對拓撲結(jié)構(gòu)進行檢查,還將各條邊的時序優(yōu)先級作為局部約束,并設置了冗余頂點過濾規(guī)則來縮小搜索范圍,以及對時序檢查的隊列順序進行優(yōu)化使得算法能夠提前剪枝,減少了計算復雜度,所提出的方法兼具子圖同構(gòu)和圖模擬的優(yōu)勢,實現(xiàn)了既準確又高效的圖匹配。在三個時序數(shù)據(jù)集上的大量實驗表明,相比傳統(tǒng)的強模擬算法,所提算法能夠有效過濾錯誤結(jié)果,并且在不同規(guī)模的數(shù)據(jù)圖上均具有良好的性能表現(xiàn)。

    1 相關工作

    1.1 近似匹配

    近似匹配放松了圖匹配條件,成為廣泛采用的一種圖模式匹配方法,主要包括圖模擬[5]、雙向模擬[6]、強模擬[7]、受限模擬[8]、量化模擬[9-10]等。圖模擬要求匹配每個節(jié)點以及其子節(jié)點。雙向模擬在圖模擬的基礎上還要匹配父節(jié)點。強模擬在雙向模擬基礎上還需考慮匹配子圖的局部特性。受限模擬是指在模式圖上對跳躍次數(shù)進行了限制。量化模擬關注了圖上的具有計數(shù)量詞的表達模式。上述的近似匹配方法都只考慮了圖的拓撲結(jié)構(gòu),而忽略了圖上的時間信息,無法用來解決在時態(tài)圖上的匹配問題。

    1.2 時態(tài)圖及其圖模式匹配

    時態(tài)圖主要用于對實體及其之間涉及的時態(tài)關系進行建模,是在靜態(tài)圖的基礎上演變的一種新型圖數(shù)據(jù)[11]。目前,關于時態(tài)圖的研究主要包括可達性查詢[12]、最小生成樹[13]、最短時態(tài)路徑[14]等。

    時態(tài)圖上的圖模式匹配問題的研究才剛剛起步,Xu等[15]研究了時態(tài)圖同構(gòu)匹配,提出了時間約束的模式圖匹配算法(Time-Constrained Graph Pattern Matching,TCGPM),但同構(gòu)匹配要求匹配到與查詢模式圖完全相同的子圖,過于嚴格。Song等[16]研究了圖流上的事件模式匹配,將時間窗口概念引入了子圖匹配并提出了DDST(Degree-Preserving Dual Simulation with Timing Constraints)算法,且基于標簽過濾與度約束的思想提出了兩個優(yōu)化算法DDST-SIGNATURE和COLORING以提升算法的運行效率,但是這些算法將給定時間窗口的時態(tài)圖快照作為靜態(tài)圖處理,容易導致遺漏部分結(jié)果。Ma等[17]根據(jù)受限模擬和時態(tài)路徑定義了時態(tài)圖上的圖模式匹配并基于連接的方式枚舉匹配結(jié)果,但是這種方法的匹配條件過于寬松,并且不允許模式圖中出現(xiàn)環(huán)路。

    2 模式圖匹配與時序模式圖匹配的形式化描述

    雙向模擬和強模擬是經(jīng)典的模式圖匹配算法,兩者的形式化描述如下:

    定義1 雙向模擬。給定一個模式圖Q=(Vq,Eq,Lq)和一個數(shù)據(jù)圖G=(V,E,L),如果存在一個二元匹配關系S?Vq×V且滿足下列條件,則說G通過雙向模擬匹配Q:

    (1)每一對(u,v)∈S,u和v都有相同的標簽;

    (2)對每個v∈Vq,存在u∈V滿足(u,v)∈S且每一條邊e'(v,v1)∈Eq都存在一條邊e(u,u1)∈E使得(u1,v1)∈S;

    (3)對每個v∈Vq,存在u∈V滿足(u,v)∈S且每一條邊e'(v2,v)∈Eq都存在一條邊e(u2,u)∈E使得(u2,v2)∈S。

    定義2 強模擬。給定一個模式圖Q=(Vq,Eq,Lq)和一個數(shù)據(jù)圖G=(V,E,L),若在G中存在一個頂點v和一個連通子圖Gs(Vs,Es)滿足以下條件,則說G通過強模擬匹配Q:

    (1)Q對Gs滿足雙向模擬匹配,且有最大二元匹配關系S,即Q在G上的任意二元匹配關系SA都有SA?S。

    (2)Gs是S構(gòu)成的圖,即(a)有一個頂點w∈Vs當且僅當它存在于S。(b)有一條邊e(w,w')∈Es當且僅當在Q中存在一條邊e'(u,u')使得(u,w)∈S且(u',w')∈S。

    時態(tài)圖的邊具有時間屬性,其形式化描述為:

    定義3 時態(tài)圖。給定一個有向帶標簽的圖GT=(V,E,L),其中V是頂點的集合;E∈V×V是有向時態(tài)邊的集合;L是一個標簽函數(shù),可將每個頂點u∈V映射到其對應的標簽L(u)。假設圖中一條有向時態(tài)邊ei∈E連接了兩個頂點u,v∈V,可表示為一個四元組(u,v,si,fi),該四元組的含義為兩個頂點u和v的關系從時間點si開始到時間點fi結(jié)束。

    時態(tài)圖的模式圖及其強模擬匹配算法的形式化描述如下:

    定義4 時序模式圖。一個時序模式圖表示為QT=(Vq,Eq,Lq),其中Vq是頂點的集合,Lq是一個標簽函數(shù),Eq∈Vq×Vq是有向時序優(yōu)先級邊的集合。一條有向時序優(yōu)先級邊ei∈Eq可表示為一個三元組(u,v,pi),其中pi為ei的時序優(yōu)先級。時序模式圖不關心具體的時間范圍,而是通過時序優(yōu)先級規(guī)定每條邊代表的事件發(fā)生的先后順序,時序優(yōu)先級低的事件必須在時序優(yōu)先級高的事件結(jié)束之后發(fā)生。

    定義5 時序強模擬匹配。給定一個時序模式圖QT=(Vq,Eq,Lq)和一個時態(tài)數(shù)據(jù)圖GT=(V,E,L),如果滿足以下條件,則稱G通過時序強模擬匹配QT:

    3 文中算法

    該文提出的時序優(yōu)先級約束的時序模式圖強模擬匹配算法(Temporal Priority Constrained Graph Pattern Strong Simulation Matching,TPC-GPSSM)針對時序圖特有的時序特性,將各條邊的時序優(yōu)先級作為局部約束,在匹配過程中,能夠同時兼顧時序圖邊具有的時序優(yōu)先級及其拓撲結(jié)構(gòu),也適用于帶環(huán)路的時序模式圖的匹配。

    3.1 TPC-GPSSM算法

    TPC-GPSSM算法主要先在時態(tài)圖上構(gòu)建球,然后在球上進行時序優(yōu)先級約束的強模擬匹配。在時態(tài)圖上構(gòu)建球采用廣度優(yōu)先遍歷(Breath First Search,BFS)算法[18],以每個頂點為球心,構(gòu)造半徑為時序模式圖直徑的球,可將構(gòu)建好的每個球看作是時態(tài)圖的一個子圖。然后,將每個球與時序模式圖進行雙向模擬匹配,在匹配過程中,一方面要計算每個球其所包含的二元匹配關系,并檢查時序優(yōu)先級約束,找到最大的二元匹配關系。另一方面,在匹配的同時還進行拓撲結(jié)構(gòu)檢查,以保證匹配的子圖與時序模式圖匹配。

    算法1 TPC-GPSSM

    輸入:時序模式圖QT=(Vq,Eq,Lq)及其直徑dq,時態(tài)圖GT=(V,E,L)

    輸出:匹配結(jié)果集合S

    1.S:=?,B:=?

    2.for eachvinVdo

    6.sim(v),sim(e'):=TemporalFilter(QT,sim(v),sim(e'))

    7.Gs:=CheckTopology(QT,sim(v),sim(e'))

    8.ifGs≠? then

    9.S:=S∪Gs

    10.returnS

    算法2 DualSimMatch

    輸出:候選頂點集合sim(v),候選邊集合sim(e')

    1.for eachv∈Vqdo

    2.sim(v):={u|uis inG[v,dq] andLq(u)}

    3.for eache(v,v1)∈Eqdo

    4.sim(e'):={e|e(u,u1)is inG[v,dq],u∈sim(v),u1∈sim(v1)}

    5.while there are changes do

    6. for eachu∈sim(v) do

    7. for eache(v,v') inEqdo

    9.Removeuand edges containingufrom sim(v) and sim(e')

    10. for eache(v',v) inEqdo

    12.Removeuand edges containingufrom sim(v) and sim(e')

    13.return sim(v),sim(e')

    算法3 TemporalFilter

    輸入:時序模式圖QT,候選頂點集合sim(v),候選邊集合sim(e')

    輸出:候選頂點集合sim(v),候選邊集合sim(e')

    1.while there are changes do

    4. ifp1>p2ands1

    7. Removeu,u1and all edges containingu,u1from sim(v) and sim(e')

    8.return sim(v),sim(e')

    算法4給出了拓撲結(jié)構(gòu)檢查的偽代碼CheckTopology,主要功能是對球內(nèi)的子圖進行檢查,去除在時序優(yōu)先級約束下因刪除時態(tài)邊而產(chǎn)生的不符合QT拓撲結(jié)構(gòu)要求的頂點和邊。對頂點候選集sim(v)中的任意頂點u,首先檢查其后繼關系,后繼頂點集合為succ(u),后繼頂點候選集為sim(v'),若succ(u)∩sim(v')=?,則將該節(jié)點及其關聯(lián)的邊從候選集合中刪除;然后檢查其前驅(qū)關系,前驅(qū)頂點集合為pred(u),前驅(qū)頂點候選集為sim(v''),若pred(u)∩sim(v'')=?,則將相關頂點和邊刪除(見第1-5行)。若頂點和邊候選集均非空,則將其構(gòu)造成一個子圖Gs(見第6-8行)。

    算法4 CheckTopology

    輸入:時序模式圖QT,候選頂點集合sim(v),候選邊集合sim(e')

    輸出:匹配子圖Gs

    1.While there are changes do

    2. for eachu∈sim(v) do

    3. if succ(u)∩sim(v')=? or pred(u)∩sim(v'')=? then

    4.sim(v):=sim(v){u}

    5.remove all edges containingufrom sim(e')

    6.if sim(v),sim(e')≠? then

    7. constructGsfrom sim(v),sim(e')

    8.returnGs

    TPC-GPSSM在球的建立過程花費了很多時間,主要因為每個球包含了很多無用的拓撲結(jié)構(gòu)信息,并且在時序檢查過程中存在重復檢查的問題。如果能減少每個球的計算量, 避免時序的重復檢查,將大大提升算法的效率。

    3.2 TPC-GPSSM算法優(yōu)化方法

    針對上文提及的TPC-GPSSM算法存在很多重復計算的問題,進一步對球的建立過程、時態(tài)優(yōu)先級約束等方面進行優(yōu)化,算法5給出了優(yōu)化后的TPC-GPSSM算法的偽代碼,主要包括:

    第一,在球的建立過程中,TPC-GPSSM算法對數(shù)據(jù)圖中每個頂點,都作為中心建立了球,然而其中大量的球并沒有包含能夠匹配模式圖的子圖,對這些球的計算浪費了大量時間。在建球之前先進行雙向模擬匹配(見第2行),能夠過濾掉大量的節(jié)點與邊,這樣既能減少需要建立的球的數(shù)量,也能使每個球包含的子圖規(guī)模減小。

    第二,在對球心的選擇方面,只選擇與模式圖中距離最遠的兩個節(jié)點相匹配的節(jié)點(見第3-8行),如圖1(b)所示,E、D是模式圖中距離最遠的兩個點,以E對應的頂點E2為球心建球得到的結(jié)果與以A1為球心建立球得到的結(jié)果相同,因此計算以A1為球心的球是冗余的。

    第三,在時序優(yōu)先級約束過程中,先對模式圖中的邊根據(jù)時序優(yōu)先級進行排序,從高優(yōu)先級的邊開始依次檢查,每一條邊只檢查與其相鄰的時序優(yōu)先級更高的邊的之間的時序關系,可避免重復時序檢查。

    算法5 優(yōu)化后的TPC-GPSSM算法

    輸入:時序模式圖QT=(Vq,Eq,Lq)及其直徑dq,時態(tài)圖GT=(V,E,L)

    輸出:子圖集合S

    1.S:=?,B:=?

    3.vf1,vf2are the farthest two nodes inQ

    4.for eachv∈sim(vf1) or sim(vf2) do

    10. forpfrom the highest priority to the lowest priority do

    11.simb(v),simb(e'):= TemporalFilter(QT,simb(v),simb(e))

    12.Gs:=CheckTopology(QT,simb(v),simb(e))

    13. ifGs≠? then

    14.S:=S∪Gs

    15.ReturnS

    優(yōu)化后的TPC-GPSSM算法大幅減少了球的數(shù)量,同時避免了球之間因為交集而進行的重復計算,且保證了對每條時序邊只檢查一次,解決了重復檢查的問題。

    4 實驗與結(jié)果分析

    本章節(jié)對分別從算法有效性以及算法效率兩個維度來評估提出的算法,并對普通的強模擬匹配算法[19](General Strong Simulation,GSS)與TPC-GPSSM及優(yōu)化后的TPC-GPSSM算法進了比較。實驗采用三個時態(tài)數(shù)據(jù)集,分別是:(1)BMC[20],一個小學師生相互接觸時態(tài)網(wǎng);(2)Enron[21],一個電子郵件傳輸網(wǎng)絡;(3)Wikitalk-Russian[22],一個Russian Wikipedia上的交流網(wǎng)絡。表1列出了這些數(shù)據(jù)集的詳細參數(shù),其中|V|、|E|、|T|、#labels分別是數(shù)據(jù)集的頂點數(shù)量、邊的數(shù)量、邊的平均時間區(qū)間、標簽數(shù)量。

    表1 數(shù)據(jù)集

    模式圖由一個自行開發(fā)的模式圖生成器提供。給定模式圖的頂點數(shù)量和標簽集合,模式圖生成器隨機生成包含不同時序優(yōu)先級數(shù)量的模式圖。實驗對每個數(shù)據(jù)集分別生成了100個模式圖,對其平均結(jié)果進行評估。

    4.1 算法有效性實驗

    首先,對TPC-GPSSM算法的有效性進行了實驗驗證。TPC-GPSSM算法相比傳統(tǒng)強模擬匹配算法,能夠有效地過濾不符合時態(tài)要求的邊。為了定量地描述算法有效性,定義了一個評價指標——時態(tài)邊聚合度(Temporal Edge Closeness,TEC)。

    給定一個時序模式圖QT=(Vq,Eq,Lq),以及一組作為匹配結(jié)果返回的子圖{M1,M2,…,Mn},TEC定義如下式:

    其中,|EMj|是Mj中時態(tài)邊的數(shù)量,|Eq|是模式圖的邊數(shù)量,TEC的值越小說明對時態(tài)邊的過濾效果越明顯。對三個數(shù)據(jù)集的實驗結(jié)果如圖2所示,實驗改變時序模式圖頂點數(shù)量|Vq|從2到5,分別在三個數(shù)據(jù)集上進行測試。其中,GSS由于沒有考慮時態(tài)邊的順序,所以得到了最大的TEC值,而TPC-GPSSM及其改進算法對不合模式圖需求的時態(tài)邊進行了過濾,得到了更優(yōu)的TEC值。

    圖2 不同數(shù)據(jù)集上匹配質(zhì)量的評價

    4.2 算法效率實驗

    這里通過二個實驗,分別考察時序模式圖、不同時序優(yōu)先級數(shù)量對TPC-GPSSM算法效率和性能的影響。

    (1)時序模式圖頂點數(shù)量|Vq|對算法效率的影響。設置了2到10不同大小的|Vq|,在三個數(shù)據(jù)集上進行了實驗。實驗結(jié)果如圖3所示,可以觀察到,三種算法的匹配時間都隨著|Vq|的增大而增加,這是因為當|Vq|增大時,需要匹配的節(jié)點和邊的數(shù)量也同時增加,這將增加計算的時間花銷。優(yōu)化后的TPC-GPSSM算法采用了先進行雙向模擬匹配,再建立球進行局部性檢查,使得球的數(shù)量大幅減少,取得了更加良好的性能表現(xiàn)。

    圖3 時序模式圖大小對算法效率的影響

    (2)不同時序優(yōu)先級數(shù)量對匹配結(jié)果的影響。實驗中固定模式圖的|Vq|為10,改變其中的時序優(yōu)先級數(shù)量,實驗結(jié)果如圖4所示。當時序優(yōu)先級數(shù)量增加時,意味著匹配條件更加嚴格,符合條件的子圖數(shù)量也隨之減少,而GSS不考慮時序關系,時序優(yōu)先級數(shù)量不影響它的匹配結(jié)果。

    圖4 時序優(yōu)先級數(shù)量對匹配結(jié)果的影響

    5 結(jié)束語

    針對時態(tài)圖上的模式圖匹配,提出了一種時序優(yōu)先級約束的時序模式圖強模擬匹配算法(TPC-GPSSM),該算法將時序優(yōu)先級作為局部約束,在模式圖的匹配過程中考慮了時態(tài)圖中不同時態(tài)邊之間的時序優(yōu)先級,并兼顧圖的拓撲結(jié)構(gòu),通過設置冗余頂點過濾規(guī)則來縮小搜索范圍,優(yōu)化時序檢查的隊列順序,以達到提前剪枝、減少計算復雜度的目的。提出并利用時態(tài)邊聚合度作為評價指標,在三個時序數(shù)據(jù)集上的大量實驗表明,相比普通的強模擬算法,所提算法能夠有效過濾錯誤結(jié)果,并且在不同規(guī)模的數(shù)據(jù)圖上均具有良好的性能表現(xiàn)。該算法可應用于涉及前后時序關系的場景,如任務交接分析、交通網(wǎng)絡分析等,特別是在任務交接中存在環(huán)路的情況下該算法也能進行有效的處理。在下一步的工作中,一個方向是考慮不同時間窗口的約束,另一個方向是在分布式環(huán)境中開發(fā)更性能更高的算法。

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