十邊形化學(xué)圖的Gutman指數(shù)問(wèn)題研究

朱皖琳 耿顯亞

摘 ?要：假定[Gn]表示由隨機(jī) n個(gè)十邊形構(gòu)成的線性結(jié)構(gòu)分子圖，借助圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，計(jì)算[Gn]的 Gutman指數(shù)的數(shù)學(xué)期望，并獲得了隨機(jī)十邊形鏈Gutman指數(shù)的極值.

關(guān)鍵詞：Gutman指數(shù)；隨機(jī)十邊形鏈；數(shù)學(xué)期望；極值

[ ? 中圖分類號(hào) ? ?]O157．6 [ ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 ? ] ?A

Research on Gutman Index of Decagon Chemical Graphs

ZHU Wanlin，GENG Xianya

（School of Mathematics and Big Data，Anhui University of Science and Technology，Huainan

232001，China）

Abstract：It is assumed that Gn respresents a linear molecular graph of random decagons，and derived from the structural characteristics of the graph we calculate the expected value of Gutman index in a random decagon chain. And the Gutman index of random decagonal chains with extremal value are also obtained.

Key words：Gutman index； random decagon chain； expected value； extremal value

化學(xué)圖論中一個(gè)最重要的方法是拓?fù)渲笖?shù)，許多十邊形的化合物，其衍生物一直是有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域的重要研究課題.正十邊形的結(jié)構(gòu)十分特殊，它是唯一符合黃金分割比的正多邊形，因此，越來(lái)越多的人研究其結(jié)構(gòu)和性質(zhì).本文只考慮有限的簡(jiǎn)單連通圖，研究具有[n]個(gè)十邊形的化合物鏈的Gutman指數(shù)，符號(hào)與專業(yè)術(shù)語(yǔ)參考文獻(xiàn)[1-8].

1 隨機(jī)十邊形鏈的Gutman指數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)[G=（VG，EG）]是頂點(diǎn)集為[VG]、邊集為[EG]的非平凡簡(jiǎn)單連通圖.圖[G]中頂點(diǎn)[u]和[v]之間的最短距離[dG（u，v）]（簡(jiǎn)稱[d（u，v）]）稱為最短路.維納指數(shù)[W（G）]就是基于距離的圖不變量，計(jì)算圖[G]中所有頂點(diǎn)對(duì)之間的距離和.[9]Gutman指數(shù)的提出擴(kuò)展了與頂點(diǎn)距離和度相關(guān)圖參數(shù)的研究領(lǐng)域，是一個(gè)重要的圖參數(shù)，與很多分子的結(jié)構(gòu)特征有著密切關(guān)系.[10]

具有[n]個(gè)十邊形的隨機(jī)化合物鏈[Gn]是由[n-1]個(gè)十邊形鏈[Gn-1]連接一個(gè)新的末端十邊形[Hn]得到的，見圖1.當(dāng)[n≥3]，末端十邊形[Hn]有5種連接方式，將其表示為[G1n，G2n，G3n，G4n，G5n]，見圖2. 具有[n]個(gè)十邊形的隨機(jī)化合物鏈[Gn（p1，p2，p3，p4）]是通過(guò)逐步添加末端十邊形得到的.在每一步[k=（3，4，5，……，n）]添加中，可隨機(jī)選擇5種連接方式中的一種.[11-13][Gn→G1n+1]的概率為[p1]，[Gn→G2n+1]的概率為[p2]，[Gn→G3n+1]的概率為[p3]， [Gn→G4n+1]的概率為[p4]， [Gn→G5n+1]的概率為[1-p1-p2-p3-p4].

其中，[p1，p2，p3]和[p4]為常數(shù)，與參數(shù)[k]無(wú)關(guān).

計(jì)算隨機(jī)十邊形鏈的Gutman指數(shù)的數(shù)學(xué)期望.隨機(jī)十邊形化合物鏈[Gn+1]是由[Gn]連接一個(gè)新的末端十邊形[Hn+1]得到的，其中，[Hn+1]是由頂點(diǎn)[x1，x2，x3，……，x10]構(gòu)成，新的邊為[unx1]，見圖1.一方面，對(duì)于所有的[v∈VGn]，有

[d（x1）=d（un，v）+1， ? ?d（x2）=d（un，v）+2，…， ? ?d（x6）=d（un，v）+6，d（x7）=d（un，v）+5， ? ?d（x8）=d（un，v）+4， …， ? ?d（x10）=d（un，v）+2.]

[v∈VGndGn+1（v）=22n-1].

另一方面，

[i=12kd（xi）d（x1，xi）=50， ? ?i=12kd（xi）d（x2，xi）=51， ? …， ? ?i=12kd（xi）d（x6，xi）=55，]

[i=12kd（xi）d（x7，xi）=54， ? ?i=12kd（xi）d（x8，xi）=53， ? …， ? ?i=12kd（xi）d（x10，xi）=51].

定理1 當(dāng)[n≥1]，無(wú)規(guī)十邊形鏈[Gn]的Gutman指數(shù)的期望為

[E（Gut（Gn））=（1 ?452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 ?936p1-1 ?452p2-968p3-484p4）n3-1.]

證明 無(wú)規(guī)十邊形鏈[Gn+1]是通過(guò)將[Gn]連接一個(gè)新的末端十邊形[Hn+1]而獲得的，這里的[Hn+1]由頂點(diǎn)[x1，x2，x3…x10]構(gòu)成，新邊為[unx1]，如圖2，那么有

[Gut（Gn+1）={u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）+v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）+{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）]

其中，

[{u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}dGn+1（un）d（v）d（un，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}（dGn（un）+1）d（v）d（un，v）=Gut（Gn）+v∈VGnd（v）d（un，v）.]

當(dāng)[d（xi）=3]，對(duì)于[i∈2，3，4…10]，有

[v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）=v∈VGnd（v）[3（d（un，v）+1）+…+2（d（un，v）+5）+2（d（un，v）+ ? ?4）+…+2（d（un，v）+2）]][=v∈VGnd（v）（21d（un，v）+71）=21v∈VGnd（v）d（un，v）+71v∈VGnd（v） ]

[ ? ?=21v∈VGnd（v）d（un，v）+71（22n-1）.]

[{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）=12i=110d（xi）（j=110d（xj）d（xi，xj）= 12[3×50+2×51+…+2×55+2×54+…+2×51]=550.]

綜上，得到

[Gut（Gn+1）=Gut（Gn）+22v∈VGnd（v）d（un，v）+1 ?562n+479].

對(duì)于無(wú)規(guī)十邊形鏈[Gn]，[v∈VGnd（v）d（un，v）]的數(shù)值是一個(gè)隨機(jī)變量，可以把它的期望表示為

[An：=E（v∈VGnd（v）d（un，v））].通過(guò)直接計(jì)算，可以得到無(wú)規(guī)十邊形鏈[Gn]的Gutman指數(shù)期望值的遞推關(guān)系.

[E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 ?562n+479].

考慮以下5種可能的情況：

情況1：[Gn→G1n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點(diǎn)[x2]或[x10]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u2，v）]或[v∈VGnd（v）d（u10，v）]兩種結(jié)果，概率為[p1].

情況2：[Gn→G2n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點(diǎn)[x3]或[x9]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u3，v）]或[v∈VGnd（v）d（u9，v）]兩種結(jié)果，概率為[p2].

情況3：[Gn→G3n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點(diǎn)[x4]或[x8]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u4，v）]或[v∈VGnd（v）d（u8，v）]兩種結(jié)果，概率為[p3].

情況4：[Gn→G4n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點(diǎn)[x5]或[x7]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u5，v）]或[v∈VGnd（v）d（u7，v）]兩種結(jié)果，概率為[p4].

情況5：[Gn→G5n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點(diǎn)[x6]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u6，v）]這種結(jié)果，概率為[1-p1-p2-p3-p4].根據(jù)以上5種情況，可以得出期望值[An]為：

[An=p1v∈VGnd（v）d（x2，v）+…+p4v∈VGnd（v）d（x5，v）+（1-p1-p2-p3-p4）v∈VGnd（v）d（x6，v） ? ? ?=p1[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+2v∈VGn-1d（v）+51]+…+p4[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+ ? ? ? ? ? 5v∈VGn-1d（v）+54]+（1-p1-p2-p3-p4）[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+6v∈VGn-1d（v）+55].]

通過(guò)將期望運(yùn)算符應(yīng)用于上述等式，可以獲得期望值：

[E（An）=An].

[An=p1（An-1+44n+5）+p2（An-1+66n-17）+p3（An-1+88n-39）+p4（An-1+110n-61） +（1-p1-p2-p3-p4）（An-1+132n-83） =An-1+（132-88p1-66p2-44p3-22p4）n+88p1+66p2+44p3+22p4-83.]

邊界條件為：[A1=E（v∈VG1d（v）d（u1，v）=50].

根據(jù)上述遞推關(guān)系和邊界條件，得到

[An=（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2+（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1.]

[因此，E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 ?562n+479=E（Gut（Gn））+][22[（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2 +（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1]+1 562n+479.]

邊界條件為：[E（Gut（G1））=500].

根據(jù)上述遞推關(guān)系和邊界條件，得到期望值[E（Gut（Gn））]為 ：

[E（Gut（Gn））=（1 ?452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 ?936p1-1 ?452p2-968p3-484p4）n3-1.]

特別地，如果[p1=1]，此時(shí)[p2=p3=p4=p5=0]，則[Gn?Mn].如果[p2=1]（相應(yīng)的[p3=1]，[p4=1]），此時(shí)[p1=p3=p4=p5=0]（相應(yīng)的[p1=p2=p4=p5=0]，[p1=p2=p3=p5=0]），則[Gn?O1n]（相應(yīng)的[Gn?O2n]，[Gn?O3n]）.特別地，如果[p5=1]，此時(shí)[p1=p2=p3=p4=0]，則[Gn?Ln].

2 隨機(jī)十邊形鏈的Gtuman指數(shù)的極值

定理2 對(duì)于無(wú)規(guī)十邊形化合物鏈[Gn（n≥3）]，對(duì)鏈[Ln]實(shí)現(xiàn)[E（Gut（Gn））]的最大值，間鏈[Mn]實(shí)現(xiàn)[E（Gut（Gn））]的最小值.

證明 根據(jù)定理1，有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 484n2-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）p4+1452n33-132n2+447n3-1.]

當(dāng)[n≥1]時(shí)，通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)，有

[?E（Gut（Gn））?p1=-968n33+968n2-1 936n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p2=-726n33+726n2-1 452n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-484n33+484n2-968n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p4=-242n33+242n2-484n3<0.]

如果[p1=p2=p3=p4=0]，（[i.e.p5=1]），對(duì)鏈[Ln] 實(shí)現(xiàn)[E（Gut（Gn））]的最大值，[Gn?Ln] .如果

[p1+p2+p3+p4=1]，令[p4=1-p1-p2-p3]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]，[0≤p3≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+484n2]

[-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）（1-p1-p2-p3）+1 ?452n33-132n2+447n3-1.]因此，

[?E（Gut（Gn））?p1=-726n33+726n2-1 ?452n3<0， ? ?E（Gut（Gn））?p2=-484n33+484n2-968n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-242n33+242n2-484n3<0. ]

如果[p1=p2=p3=0]，（[i.e.p4=1]），得不到最小值.如果[p1+p2+p3=1]，此時(shí)令[p3=1-p1-p2]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+484n2-968n3） （1-p1-p2）+1 ?452n33-132n2+447n3-1.]

因此，

[?E（Gut（Gn））?p1=-484n33+484n2-968n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p2=-242n33+242n2-484n3<0. ]

如果[p1=p2=0]，（[i.e.p3=1]），也得不到最小值.如果[p1+p2=1]，令[p1=1-p2]（[0≤p1≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）（1-p2）+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+1 ?452n33-132n2+447n3-1]

此時(shí)，[?E（Gut（Gn））?p1=242n33+242n2-484n3>0. ]

當(dāng)[p2=0]，（[i.e.p1=1]），[E（Gut（Gn））]取得最小值，此時(shí)[Gn?Mn].

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編輯：琳莉