磁電彈性復合材料熱接觸特性研究

李玉堂, 周青華, 楊萬友, 楊榮松

(1.四川大學 機械工程學院, 四川 成都 610065;2.四川大學 空天科學與工程學院, 四川 成都 610207)

作為智能材料的典型代表，磁電彈性(Magnetoelectro-elastic, MEE)復合材料由于其特有的壓電和壓磁效應(yīng)可以實現(xiàn)電能、磁能和機械能之間的相互轉(zhuǎn)化，可用于制造如壓電/磁馬達以及制動器等新型電機產(chǎn)品，在醫(yī)療器械等領(lǐng)域中應(yīng)用潛力巨大[1-2].其中作為摩擦副的MEE材料由于摩擦力作用，在相對接觸過程中將產(chǎn)生摩擦熱.摩擦熱載荷將導致MEE材料經(jīng)歷復雜熱應(yīng)力、熱電和熱磁響應(yīng)[3-4]，進而影響電機產(chǎn)品服役性能及壽命.因此，對MEE復合材料進行摩擦熱接觸建模，分析熱載荷作用下材料多物理場響應(yīng)和分布規(guī)律，將為有效掌握多重載荷作用下MEE復合材料接觸性能演化規(guī)律奠定一定理論基礎(chǔ).

為了揭示這類復合材料的多物理場耦合效應(yīng)，Wang等[5]推導了橫觀各向同性磁電彈性介質(zhì)中三維通解，并給出了半空間磁電彈性介質(zhì)多物理場求解Green函數(shù).Ding等[6-7]推導了不同特征根下磁電彈性介質(zhì)半空間基本解，給出了半空間表面單位點力、電和磁載荷作用下磁電彈性場的顯式表達式.另一方面，Zhang等[8-9]在Ding給出的磁電彈性介質(zhì)基本解[7-8]基礎(chǔ)上引入快速傅里葉變換(Fast Fourier transform, FFT)和共軛梯度法(Conjugate gradient method, CGM)，提出了一種求解磁電彈性材料三維接觸問題的方法，并研究了多鐵性薄膜與剛性絕緣球在表面磁彈性效應(yīng)作用下的摩擦接觸行為.此外，Chen等[10]推導了三種壓頭(平、錐及球形壓頭)壓力與壓痕深度的顯式表達式，發(fā)展了磁電彈性復合材料的壓痕理論.受摩擦熱載荷或環(huán)境熱載荷作用時，MEE材料會表現(xiàn)出熱電性和熱磁性，即材料受熱膨脹產(chǎn)生的變形和溫度變化會影響壓電、壓磁效應(yīng)及其耦合機制[11-12].基于此，Chen等[13]推導了考慮熱效應(yīng)的磁電彈性復合材料三維多物理場通解，利用其求解了全空間磁電彈性材料在均布載荷作用下圓盤型裂紋應(yīng)力、位移和磁感應(yīng)強度因子.其后，不少學者針對MEE復合材料的層板和圓柱等基本結(jié)構(gòu)體在外部力、電、磁和熱載荷下的多場耦合現(xiàn)象進行了研究[14-16].然而，上述研究針對考慮熱效應(yīng)的MEE復合材料給出了多物理場通解，但并未詳細推導熱接觸半空間條件下磁電熱彈場的頻率響應(yīng)函數(shù)表達式，無法直接應(yīng)用于考慮熱效應(yīng)的MEE復合材料接觸建模.

本文中推導半空間表面單位集中法向力、切向力、電荷、磁荷和溫升載荷作用下考慮熱效應(yīng)的MEE復合材料磁電彈熱耦合場的頻率響應(yīng)函數(shù)，建立彈性球與MEE材料的滑動熱接觸半解析方法(Semi-analytical method, SAM)模型.模型充分考慮磁電彈性材料接觸過程中摩擦熱生成與分配及由其所致熱電和熱磁效應(yīng)，并將模型計算結(jié)果與有限元方法(Finite element method, FEM)計算結(jié)果進行對比驗證模型的有效性.最后，利用此模型研究不同滑動速度、摩擦系數(shù)和表面粗糙接觸條件下，摩擦熱效應(yīng)對MEE復合材料應(yīng)力、電勢和磁勢分布的影響規(guī)律.

1 問題描述和理論公式

1.1 考慮摩擦熱效應(yīng)的MEE復合材料接觸模型

圖1所示為笛卡爾坐標系中，法向載荷P作用下半徑為R的MEE圓球在同質(zhì)材料半空間表面以水平速度v沿x軸正方向滑動.其中，x-y平面與半空間表面重合，z軸垂直半空間表面并指向基體材料內(nèi)部.球與表面滑動接觸時，接觸區(qū)會受到法向力pz和摩擦力px的作用，且px的大小由px=μpz確定(μ為摩擦系數(shù)).同時，接觸區(qū)由于摩擦作用會產(chǎn)生熱量(論文中假定熱傳導穩(wěn)定時間比加載時間短得多，僅考慮穩(wěn)態(tài)摩擦熱作用)，并假設(shè)穩(wěn)態(tài)情況下摩擦損耗的能量完全轉(zhuǎn)化為摩擦熱并經(jīng)接觸區(qū)流入兩個接觸體，總摩擦熱載荷為q=q1+q2= vμpz[17]，q1和q2分別是滑動球和半空間的分得的熱載荷.此外，假設(shè)半空間表面受分布電荷qb和磁荷gb作用.此時，在機械載荷(法向力pz和摩擦力px)、電荷qb、磁荷gb和熱載荷q2四種載荷作用下，MEE復合材料半空間內(nèi)部將發(fā)生復雜的磁電熱彈性響應(yīng).

Fig.1 The thermal contact model of MEE composites圖1 MEE復合材料熱接觸模型

MEE復合材料熱接觸分析流程如圖2所示.初始化兩接觸體的表面形貌后，采用CGM[18]對下列載荷-位移平衡方程進行迭代求解，得到接觸體表面的初始Hertz壓力分布pz.

Fig.2 Flowchart of thermal contact solution method of MEE composites圖2 MEE復合材料熱接觸求解流程圖

其中，Ac為接觸區(qū)面積，P為滑動球法向總載荷，hc為接觸體之間的間隙，h0和δc分別是接觸體之間的初始間隙和剛性位移，Qb和Gb分別為表面分布的電荷和磁荷總量，qb和gb分別是表面分布的電荷和磁荷，uz是表面力載荷、電/磁荷及熱流作用下的法向變形.求得接觸區(qū)分布壓力后，進而計算摩擦熱并對其進行熱分配.熱分配基于接觸界面等溫假設(shè)，其控制方程[19]可以寫為

其中，?T1和?T2、q1和q2分別是球和半空間的表面溫升和熱載荷，|D1|和|D2|是兩個接觸體溫升影響系數(shù)矩陣，{ }表示網(wǎng)格節(jié)點處熱載荷或溫升值的向量.式(2c)為線性方程組，只有q1是未知量，可利用共軛梯度法(Conjugate gradient method, CGM)求解得到q1和q2.此外，接觸迭代求解過程中，在半空間表面逐次施加表面電荷?qb和磁荷量?gb[8]，此處表面磁載荷gb和電載荷qb作為設(shè)定的輸入條件，并假設(shè)其不會受熱載荷改變的影響.根據(jù)界面載荷分布及大小計算表面位移及次表層變形和應(yīng)力分布，然后將得到表面位移重新代入接觸程序，重復上述過程至表面位移/應(yīng)力收斂，表面電荷/磁荷累加至預設(shè)值，結(jié)束迭代并輸出結(jié)果.計算流程如圖2所示.

1.2 多重載荷作用下MEE材料物理場響應(yīng)

1.2.1 基本方程與邊界條件

在笛卡爾坐標系下，考慮熱效應(yīng)的橫觀各向同性(材料在與x-y平面平行方向為各向同性[13, 20])磁電彈性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為

其中，ux、uy和uz分別為x、y和z方向的位移；?、φ和θ是電勢、磁勢和溫升(θ= 0為參考溫度)；Dx、Dy、Dz和Bx、By、Bz表示電位移和磁感應(yīng)；σx、σy、σz和τxy、τyz、τxz分別為正應(yīng)力和剪切應(yīng)力，cij、eij、qij、εij、dij、μij、p3和λ3(i,j=1, 2,···, 6)是彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、壓磁常數(shù)、介電常數(shù)、電磁常數(shù)、磁導率、熱電常數(shù)和熱磁常數(shù)，并且2c66=c11?c12；β1、β2和β3是熱應(yīng)力系數(shù).值得注意的是，橫觀各向同性材料中其與熱膨脹系數(shù)α1、α2和α3有如下關(guān)系[21]：

沒有外力和自由電荷的情況下，載荷平衡方程、麥克斯韋方程以及傅里葉穩(wěn)態(tài)熱傳導方程為

其中，∧=?2/?x2+?2/?y2是二維Laplace算子，kij是熱傳導系數(shù)，Pe為佩克萊特常數(shù)，Pe=vl/γ，l為特征長度，γ為熱擴散系數(shù).

摩擦系數(shù)為μf的MEE復合材料半空間表面分布的載荷有法向力pz、摩擦力px、電荷qb、磁荷gb以及表面溫升T，邊界條件可以寫作

1.2.2 頻率響應(yīng)函數(shù)

將本構(gòu)方程(3)~(5)代入載荷平衡方程(7)、麥克斯韋方程(8)和傅里葉穩(wěn)態(tài)傳熱方程(9)，并引入位移函數(shù)ψ，通過算子理論可以從上述系列方程中得到如下通解[13]：

其中Ψ和F是兩個中間函數(shù)，滿足如下關(guān)系：

其中，zi= zsi(i=0,1,···,5)、al、bl、fl、gl(l= 1, 2,···, 4)和n0、n1、···、n4的表達式詳見文獻[16]，si(i=1,2,…,4)是下列以s表示未知數(shù)的一元八次代數(shù)方程的4個實部為正的根.

按照文獻[22]的方法求解方程(12)和(13)并代入式(11)，可得一系列耦合場的頻率響應(yīng)函數(shù).

將式(15)~(17)代入傅里葉變換后的邊界條件(10)，可得下列線性方程組：

求解線性方程組(18)，可得待定系數(shù)A0、A1、···、A5，將其代入頻域表達式(15)~(17)便得到位移、電勢、磁勢、應(yīng)力、電位移和磁感應(yīng)等物理量的頻率響應(yīng)函數(shù).值得注意的是，由于通解(11)~(12)是在特征根si不同情況下成立的，所以若有特征根相同，需要按文獻[13]所述方法重新設(shè)定位移函數(shù)進行推導.

為求解半空間接觸體表面和次表面溫升，還需引入熱流-溫升頻率響應(yīng)函數(shù).對于穩(wěn)態(tài)情況，Shi等[23]給出了橫觀各向同性材料半空間在熱流作用下溫升的頻率響應(yīng)函數(shù)

最后，將一系列頻率響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)化為影響系數(shù)[8]，以預設(shè)的表面電荷/磁荷(qb/gb)及表面力載荷(pz/px)、熱流q2作為輸入，可求解半空間表面/次表面的應(yīng)力、溫升、電勢、磁勢、電位移和磁感應(yīng)等物理量.

1.2.3 影響系數(shù)

1.3 模型驗證

為驗證本文中提出模型的有效性，借助Abaqus商業(yè)軟件，將模型計算結(jié)果與FEM結(jié)果進行比較.由于Abaqus軟件中僅具有獨立的壓電和溫度位移求解單元，所以將本文中所提模型退化至電-彈耦合解和熱-彈耦合解.對于兩種計算方法，在電彈耦合情況下，半空間接觸體表面施加球形載荷其中r為接觸半徑，為最大壓力值；在熱彈耦合情況下，表面則施加球形熱流q2=為最大熱通量.對于本文中所提模型，總計算域設(shè)定為4r×4r×2r并離散成128×128×64個立方體單元.相應(yīng)地，用Abaqus有限元軟件軸對稱建模方式，在同樣載荷條件下建模計算，離散化的壓電和溫度位移單元網(wǎng)格數(shù)目為31 324.驗證算例所選取材料的屬性參數(shù)列于表1中.

表1 模型驗證中相關(guān)材料參數(shù)[24-25]Table 1 Material parameters in validation [24-25]

圖3是電彈耦合情況下，利用本文中所提模型和FEM計算的接觸體次表面von Mises應(yīng)力和電勢結(jié)果(電勢量綱為最大壓力值，e33為壓電常數(shù))，由兩種模型計算的應(yīng)力及電勢分布基本一致.進一步比較了接觸體z軸方向上von Mises應(yīng)力和電勢分布，結(jié)果同樣呈現(xiàn)出較好一致性.熱彈耦合情況下兩種模型計算的相應(yīng)結(jié)果如圖4所示(圖中σvm、?和r表示von Mises應(yīng)力、電勢和接觸半徑)，結(jié)果顯示兩種模型計算結(jié)果同樣較為接近.因此，通過上述算例結(jié)果驗證了本文中所提模型的有效性.

Fig.3 Subsurface stress and electric potential computed by the SAM and FEM圖3 由所提SAM及FEM計算得到的次表面von Mises應(yīng)力和電勢分布

Fig.4 Subsurface stress and temperature rise computed by the SAM and FEM圖4 由所提SAM及FEM計算得到的次表面von Mises應(yīng)力和溫升分布

2 摩擦熱載荷對MEE材料接觸行為影響分析

設(shè)半空間表面分布有均勻電荷qb= 0.001 C/m2、磁荷gb= 0.001 N/(A·m)，MEE球在法向載荷P=P0和滑動速度v=v0作用下與MEE半空間接觸.模型算例網(wǎng)格設(shè)置與上節(jié)相同，并選取典型MEE材料BaTiO3-CoFe2O4為研究對象，其材料參數(shù)列于表2中.

表2 BaTiO3-CoFe2O4材料參數(shù)[23-24]Table 2 Material parameters of BaTiO-CoFeO[23-24]324

2.1 滑動速度

滑動速度v是決定摩擦熱載荷(q=pzμv)的重要因素.設(shè)滑動速度v以v0為增量，從0到4v0之間變化，摩擦系數(shù)μ設(shè)定為0.1，利用MEE復合材料摩擦熱接觸模型研究不同速度對其次表面磁電熱彈性場的影響.圖5所示為不同滑動速度時MEE復合材料溫升及應(yīng)力分布(圖中T0為v = v0時材料表面最大溫升).隨著滑動速度增大，MEE復合材料次表面的溫升逐漸增大，越靠近接觸區(qū)表面溫升越高[圖5(a)].結(jié)合圖5(b)可知，在球滑動方向后端的摩擦熱溫升較高，而滑動方向前端的溫升較低，且溫升最值向著球滑動的反方向偏移，與文獻[19]所得規(guī)律一樣.在滑動方向后端的這類溫升較高區(qū)域中，在滑動速度v<2.5v0時，總應(yīng)力逐漸減小，而后隨著v增大，總應(yīng)力有較小增大趨勢，von Mises應(yīng)力分布集中的區(qū)域也向著滑動方向前端移動，如圖5(c)所示.圖5(d)進一步示出了滑動速度變化時，MEE復合材料內(nèi)最大von Mises應(yīng)力σvm, max及其對應(yīng)x軸坐標的統(tǒng)計結(jié)果.結(jié)果顯示，滑動速度越大，σvm, max逐漸減小且位置向球滑動方向偏移，印證了圖5(c)所得結(jié)論.

Fig.5 Temperature rise and stress distribution of the MEE contact body applied with different sliding speeds圖5 不同滑動速度時MEE材料次表面/表面溫升和von Mises應(yīng)力分布

圖6(a)所示為不同滑動速度時，熱接觸載荷下MEE次表面電勢分布(圖中?0為v=v0時材料表面最大電勢).結(jié)果表明，熱效應(yīng)對MEE復合材料電勢分布影響與應(yīng)力類似，即隨著滑動速度增大，靠近接觸區(qū)表面溫升較高的區(qū)域電勢逐漸減小.圖6(b)中展示的表面電勢分布同樣可以看出，滑動速度越大，即溫升越大，電勢反而越小，說明溫升與電勢成負相關(guān)關(guān)系.不同滑動速度下MEE復合材料次表面和表面磁勢分布如圖6(c)和(d)所示(圖中φ0為v=v0時材料表面最大磁勢)，在當前滑動速度范圍內(nèi)，由于滑動速度變化導致的熱效應(yīng)差對材料磁勢影響較小，僅在接觸區(qū)及附近區(qū)域磁勢有較小幅度的增加.

Fig.6 Electric and magnetic potentials of the MEE contact body applied with different sliding speeds圖6 不同滑動速度時MEE復合材料次表面/表面電勢和磁勢分布

2.2 摩擦系數(shù)

保持滑動速度v=v0不變，摩擦系數(shù)從0到0.4變化時MEE復合材料次表面/表面溫升和von Mises應(yīng)力分布情況如圖7所示.摩擦系數(shù)增大將產(chǎn)生較高的表面熱流，進而使MEE復合材料次表面和表面溫升增大.與改變滑動速度算例[圖5(a)和(b)]不同的是，單純摩擦系數(shù)增大只引起了溫升數(shù)值的變化而并未改變溫升分布規(guī)律.圖7(c)和(d)結(jié)果表明，摩擦系數(shù)增大，主要應(yīng)力集中區(qū)域逐漸沿球滑動方向移動并靠近表面，該結(jié)論與文獻[26]中純彈性材料以及文獻[27]圓柱與半空間接觸結(jié)論一致，并且當摩擦系數(shù)增大到一定數(shù)值(約為0.2)，最大von Mises應(yīng)力σvms, max在水平方向的偏移達到極限.σvms, max隨著摩擦系數(shù)增加先減小后增大，該結(jié)論與文獻[26]中純彈性材料σvms, max隨摩擦系數(shù)一直增大不同，這表明考慮接觸熱影響的情況下，摩擦系數(shù)較小時產(chǎn)生的熱膨脹應(yīng)變在應(yīng)力分布中起主導作用，而不是機械載荷產(chǎn)生的壓應(yīng)變.

Fig.7 Temperature rise and stress of the MEE contact body applied with different friction coefficients圖7 不同摩擦系數(shù)時MEE材料次表面/表面溫升和von Mises應(yīng)力分布

不同摩擦系數(shù)作用下MEE復合材料電勢和磁勢分布如圖8所示.當摩擦系數(shù)增大時，由于溫升增大，MEE復合材料次表面電勢數(shù)值逐漸減小[圖8(a)].與改變滑動速度時不同，摩擦系數(shù)的改變還引起了表面摩擦力的變化，使得電勢沿滑動反方向的偏移更加明顯，如圖8(b)所示.磁勢分布計算結(jié)果顯示[圖8(c)和(d)]與電勢分析結(jié)論不同，摩擦系數(shù)越大，靠近接觸區(qū)表面的磁勢緩慢增大.然而受摩擦力變化影響，表面磁勢沿滑移方向偏移并不明顯，與上節(jié)中滑動速度分析結(jié)果較為一致.

Fig.8 Electric and magnetic potentials of the MEE contact body applied with different friction coefficients圖8 不同摩擦系數(shù)時MEE材料次表面/表面電勢和磁勢分布

2.3 粗糙表面接觸

為模擬粗糙表面接觸，在光滑半空間表面施加正弦波粗糙輪廓.設(shè)正弦波粗糙表面的輪廓為z=cos(2.5πx)cos(2.5πx)×0.001r，保持摩擦系數(shù)μ= 0.1和滑動速度v= 4v0不變，探究MEE復合材料在粗糙表面接觸時，摩擦熱對應(yīng)力、電勢和磁勢的影響.圖9(a)所示為考慮摩擦熱影響時，MEE復合材料溫升和表面壓力分布，粗糙表面接觸改變了接觸區(qū)的形狀和面積，接觸點處集中的表面壓力產(chǎn)生了更大的表面熱流，使得接觸點處溫度明顯升高，該現(xiàn)象與文獻[28]的瞬態(tài)熱力耦合分析結(jié)果一致.圖9(b)中對比了平整和粗糙表面接觸的次表面溫升分布，結(jié)合圖9(a)可以看出粗糙表面接觸時，表面壓力集中的接觸點附近溫升較高.圖9(c)中結(jié)果顯示，von Mises應(yīng)力受集中分布表面壓力的影響，也集中于接觸點區(qū)域.在考慮摩擦熱影響后，次表面的von Mises應(yīng)力減小，并且滑動速度后端接觸點處溫升更高，von Mises減小明顯.

Fig.9 Temperature rise, surface pressure and stress of the MEE contact body of rough-surface considering frictional heat or not圖9 考慮/不考慮摩擦熱情況下粗糙表面MEE復合材料溫升、應(yīng)力和表面壓力分布

圖10所示為忽視及考慮摩擦熱情況下，MEE復合材料粗糙表面接觸電勢和磁勢分布.由于接觸壓力趨于集中，電勢和磁勢同樣集中分布于接觸點附近.考慮摩擦熱影響后，電勢減小，特別是位于滑動方向后端的接觸點，由于其臨近區(qū)域溫升較高，電勢減小更為顯著[圖10(a)].結(jié)合圖10(b)可知，受摩擦熱影響后表面電勢減小，并且球滑動方向的接觸點電勢高于后方.與此同時，圖10(c)和10(b)的結(jié)果表明磁勢受摩擦熱影響分布變化不大，表面磁勢略有增加，滑動方向后端溫升較高的接觸點磁勢高于前端.

2.4 各物理場的溫度敏感性

為探究彈性場、電場和磁場的溫度敏感性，以法向載荷P=P0，滑動速度v=v0，摩擦系數(shù)μ=0.1條件下產(chǎn)生的表面溫升T0為參考值，定義步長為0.1T0時各物理場溫度敏感性函數(shù)S(T)為[8]

其中，V為接觸中心彈性場、電場和磁場的接觸行為，包括法向位移uz、電勢?和磁勢φ.各物理場對表面溫升的敏感性如圖11所示，可以看出，各物理場受表面溫升影響的敏感程度由高到底排序依次是彈性場、電場和磁場.

Fig.11 Sensitivities of each physical field to surface temperature rise圖11 各物理場對表面溫升的敏感性

3 結(jié)論

a.本文中推導了考慮熱效應(yīng)磁電彈性復合材料的頻率響應(yīng)函數(shù)，引入熱流-溫升影響系數(shù)計算摩擦熱產(chǎn)生的溫升，建立了MEE材料摩擦熱接觸半解析模型，采用離散卷積快速傅里葉變換和共軛梯度法加速計算，并與有限元分析結(jié)果對比，驗證了模型的有效性.

b.隨著滑動速度增大，MEE復合材料接觸區(qū)和滑動方向后端溫升增加，von Mises應(yīng)力先逐漸減小后有緩慢增加的趨勢，且應(yīng)力集中區(qū)向著球滑動方向移動；靠近接觸區(qū)電勢減小，且其分布向球滑動方向出現(xiàn)偏移.滑動速度改變對磁勢影響不大，接觸區(qū)附近磁勢略微增加.

c.隨著摩擦系數(shù)增大，MEE材料接觸溫升增大.最大von Mises應(yīng)力先減小后增大，并且向表面和球滑動方向移動.電勢減小，偏移現(xiàn)象更加明顯.接觸區(qū)附近磁勢小幅增加，同時在球滑動反方向上出現(xiàn)偏移.

d.考慮表面粗糙屬性時，MEE材料的溫升、電勢和磁勢傾向于向表面接觸點附近集中.考慮摩擦熱影響后，球滑動反方向區(qū)域的接觸點溫升較高，von Mises應(yīng)力和電勢減小，而磁勢有小幅增加.

f.在摩擦接觸中，各物理場受溫升影響的敏感程度由高到低為彈性場、電場和磁場.

附錄：

第1.2.2小節(jié)式(15)~(17)中的系數(shù)表達式如下：