運(yùn)用通過(guò)耦合偏微分方程建立的高效熱動(dòng)力學(xué)模型（ETK-model）評(píng)估剎車(chē)系統(tǒng)中壓力點(diǎn)的變化

袁博

（山西科騰環(huán)保新材料股份有限公司，山西 太原 030032）

1 簡(jiǎn)介

在火車(chē)剎車(chē)時(shí)，由于摩擦力作用于剎車(chē)片和剎車(chē)盤(pán)之間，剎車(chē)片將產(chǎn)生磨損，這種磨損是非對(duì)稱(chēng)的。在剎車(chē)過(guò)程中動(dòng)能將轉(zhuǎn)化為熱能，熱負(fù)荷會(huì)造成剎車(chē)盤(pán)的形變。非對(duì)稱(chēng)的磨損導(dǎo)致了摩擦力的變化以及摩擦面上壓力點(diǎn)的變化，由于磨損造成的剎車(chē)片形變以及熱負(fù)荷造成的剎車(chē)盤(pán)形變，等效壓力點(diǎn)的位置將一直變化。

1.1 理論背景

剎車(chē)片是剎車(chē)系統(tǒng)中最為主要的部分，一般是由高摩擦力材料制成。摩擦力分為兩部分：靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力。剎車(chē)片和剎車(chē)盤(pán)的材料特性影響著剎車(chē)系統(tǒng)中的磨損率。材料特性的變化會(huì)使磨損率產(chǎn)生很大的變化。材料磨損、工作性能以及壽命也都取決于材料特性。

剎車(chē)片由于其磨損問(wèn)題需要定期更換，有些剎車(chē)系統(tǒng)會(huì)通過(guò)機(jī)車(chē)界面交互系統(tǒng)提醒駕駛員及時(shí)更換剎車(chē)片。為了解釋非對(duì)稱(chēng)磨損，本論文將引入滑動(dòng)磨損模型[1]。

通過(guò)引入阿查德磨損定律：

式（1）中：S為滑動(dòng)距離；K為磨損系數(shù)；F為負(fù)載力；H為材料硬度。

磨損體積計(jì)算公式為：

剎車(chē)片內(nèi)外部的滑動(dòng)距離計(jì)算公式為：

當(dāng)剎車(chē)片與剎車(chē)盤(pán)摩擦?xí)r將會(huì)在摩擦盤(pán)的內(nèi)圈及外圈產(chǎn)生熱負(fù)荷差，熱力學(xué)模型將分為3 種情況討論：內(nèi)外圈熱負(fù)荷差為零，外圈熱負(fù)荷大于內(nèi)圈熱負(fù)荷，外圈熱負(fù)荷小于內(nèi)圈熱負(fù)荷。這3 種情況的分析將借助軟件ANSYS 來(lái)實(shí)現(xiàn)。

1.2 剎車(chē)盤(pán)和剎車(chē)片介紹

剎車(chē)盤(pán)、剎車(chē)片材料參數(shù)分別如表1 和表2 所示。

表1 剎車(chē)盤(pán)材料參數(shù)

表2 剎車(chē)片材料參數(shù)

2 高效熱動(dòng)力學(xué)方程數(shù)學(xué)模型的建立

高效熱動(dòng)力學(xué)模型（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“ETK 模型”）的建立是本文的重點(diǎn)部分，本部分將介紹2 種基礎(chǔ)ETK模型，在ETK 模型中有許多變量，需要通過(guò)定量研究法對(duì)這些變量進(jìn)行分類(lèi)。首先將懸掛現(xiàn)象分離，使用相對(duì)基礎(chǔ)的模型進(jìn)行模擬，然后剎車(chē)片兩側(cè)壓力以及磨損百分比的曲線(xiàn)圖要通過(guò)軟件MATLAB 進(jìn)行繪制，最后得出壓力中心點(diǎn)的變化曲線(xiàn)。

2.1 基礎(chǔ)ETK 模型構(gòu)建

基礎(chǔ)ETK 模型（剎車(chē)片側(cè)視圖）如圖1 所示，通過(guò)骨架的構(gòu)建，近似模擬剎車(chē)片在剎車(chē)時(shí)的磨損情況，F(xiàn)v作用于懸掛系統(tǒng)與剎車(chē)片的連接處，產(chǎn)生壓力，壓力傳導(dǎo)于剎車(chē)片的兩側(cè)。由于內(nèi)外側(cè)的半徑不同，所產(chǎn)生的角速度不同，固滑動(dòng)距離不同，產(chǎn)生不同程度的磨損[2-3]。

圖1 基礎(chǔ)ETK 模型（剎車(chē)片側(cè)視圖）

基礎(chǔ)模型中提到了2 個(gè)作用效果：磨損效果和懸掛效果。在磨損模型構(gòu)建中，角度α是最為重要的變量，角度α的變化率影響了磨損模型的所有應(yīng)變量。同時(shí)在剎車(chē)盤(pán)上產(chǎn)生了熱形變效果，在后面的內(nèi)容里會(huì)進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，熱形變產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度為β，求β角的過(guò)程同樣要用到偏微分方程。α角和β角同時(shí)發(fā)生變化，在剎車(chē)系統(tǒng)中被耦合，當(dāng)α角變化的時(shí)候β角同時(shí)產(chǎn)生變化，下面將詳細(xì)闡述這2 個(gè)角度發(fā)生變化時(shí)ETK 模型的變化。

2.2 不同情形下ETK 模型的構(gòu)建

根據(jù)實(shí)際情況，本部分列出了6 種真實(shí)情形對(duì)應(yīng)的ETK 模型。α角度的正負(fù)遵循以下規(guī)則：剎車(chē)片外側(cè)磨損大于內(nèi)側(cè)，角度為正；反之，角度為負(fù)。β角度的正負(fù)遵循以下規(guī)則：剎車(chē)盤(pán)內(nèi)側(cè)面形變大于外側(cè)形變時(shí)，角度為正；反之，角度為負(fù)。

根據(jù)之前定義的α角度以及β角度，真實(shí)情況下有以下6 種情況：

2.3 計(jì)算磨損體積

本部分將介紹如何計(jì)算剎車(chē)片上的磨損體積，α角通過(guò)內(nèi)外側(cè)磨損高度的差額來(lái)計(jì)算，通過(guò)剎車(chē)片上方的鋼結(jié)構(gòu)圓棒，壓力傳導(dǎo)于剎車(chē)片后，將剎車(chē)片分為內(nèi)外2 部分，F(xiàn)1作用于A1，而F2作用于A2。本部分將通過(guò)對(duì)2 種形態(tài)的剎車(chē)片進(jìn)行面積劃分，得出對(duì)于這2 種剎車(chē)片α角度的變化量[3]。兩種剎車(chē)片形態(tài)如圖2、圖3 所示，參數(shù)如表3 所示。

圖2 第一種剎車(chē)片形態(tài)

圖3 第二種剎車(chē)片形態(tài)

表3 兩種剎車(chē)片的參數(shù)

對(duì)于第一種剎車(chē)片形態(tài)，α角度的變化量為：

對(duì)于第二種剎車(chē)片形態(tài)，α角度的變化量為：

2.4 構(gòu)建磨損角度及力矩的關(guān)系

由于剎車(chē)片內(nèi)外側(cè)磨損的不對(duì)稱(chēng)性，將在上表面和XY面產(chǎn)生一個(gè)角度。懸掛系統(tǒng)將限制由于摩擦不均衡而產(chǎn)生的角度，目的在于控制剎車(chē)片內(nèi)外側(cè)的磨損差額不至于過(guò)大。懸架模型將導(dǎo)入到軟件ANSYS 中，通過(guò)分析數(shù)據(jù)得到磨損角度和力矩的關(guān)系[4]。

根據(jù)ANSYS 中的分析結(jié)果，設(shè)定力矩由0 Nm 逐步增加到5 600 Nm，每個(gè)步長(zhǎng)增加800 Nm。收集每個(gè)步長(zhǎng)下角度的變化值，從而得到磨損角度與力矩的關(guān)系。

通過(guò)MATLAB 中擬合函數(shù)工具對(duì)所得數(shù)據(jù)的分析，得到以下公式[4]：

2.5 熱形變角度的構(gòu)建

本部分將主要描述如何通過(guò)公式構(gòu)建出由熱形變導(dǎo)致的角度β。剎車(chē)盤(pán)外部平面與內(nèi)部平面產(chǎn)生熱負(fù)荷差額，通過(guò)內(nèi)外部熱負(fù)荷梯度可以計(jì)算得到角度β。當(dāng)內(nèi)外側(cè)熱負(fù)荷相等時(shí)，剎車(chē)盤(pán)同樣會(huì)產(chǎn)生熱形變。所以對(duì)角度β的計(jì)算包含2 個(gè)部分：第一部分是關(guān)于熱負(fù)荷梯度的，第二部分是當(dāng)熱負(fù)荷梯度為0 時(shí)，剎車(chē)盤(pán)的熱形變量。通過(guò)下面的公式[5]得出角度β：

式（2）—（7）中：Φ為機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能的轉(zhuǎn)化效率；η為剎車(chē)片上的熱分部；μ為摩擦系數(shù)。

這里仍然有2 個(gè)未知的系數(shù)a1和a2，這2 個(gè)系數(shù)將借助軟件ANSYS 以及MATLAB 中的擬合函數(shù)求得。

剎車(chē)盤(pán)內(nèi)外兩側(cè)有溫差時(shí)在ANSYS 軟件中的分析結(jié)果如圖4 所示。第一次模擬代表了等式中熱負(fù)荷梯度的部分。第二次模擬中熱負(fù)荷梯度為0。因?yàn)樵谀M中求得的是熱偏轉(zhuǎn)角度和溫度的關(guān)系，但在MATLAB 編程中熱偏轉(zhuǎn)角度是與2 個(gè)接觸面的摩擦力有關(guān)的，換言之是與熱能相關(guān)的，所以還需要得出熱能與溫度的關(guān)系。

圖4 剎車(chē)盤(pán)內(nèi)外兩側(cè)有溫差時(shí)的分析圖

外部盤(pán)的溫度變化由100 ℃升高到900 ℃，內(nèi)部盤(pán)溫度變化由900 ℃降低到100 ℃。兩邊相加和為1 000 ℃。每步長(zhǎng)為100 ℃。圖中圓孔的位置在模擬時(shí)將被固定。通過(guò)MATLAB 中擬合函數(shù)模塊得到[4]：

式（8）中：β為圓錐角角度；TGrad為溫度梯度。

公式中包含常數(shù)部分，當(dāng)剎車(chē)盤(pán)內(nèi)外兩側(cè)溫度均為500 ℃時(shí)，等式前半部分為0，偏轉(zhuǎn)角為0.038 4 rad（弧度制）。

剎車(chē)盤(pán)內(nèi)外兩側(cè)溫度相等時(shí)在ANSYS 中的分析結(jié)果如圖5 所示。通過(guò)此分析結(jié)果可以得出內(nèi)外側(cè)溫度相等時(shí)溫度和等式常數(shù)部分的關(guān)系。

圖5 剎車(chē)盤(pán)內(nèi)外兩側(cè)溫度相等時(shí)的分析圖

外側(cè)盤(pán)溫度由100 ℃升高到1 000 ℃，內(nèi)側(cè)盤(pán)的溫度變化同樣。固整體剎車(chē)盤(pán)溫度由200 ℃升高到2 000 ℃。通過(guò)MATLAB 中擬合函數(shù)模塊得到：

式（9）中：T為溫度。

本式中溫度為0 時(shí)仍有常數(shù)部分，此為環(huán)境中溫度影響的形變。

由于圓錐角角度，即文中提到的熱形變角度，在現(xiàn)實(shí)中會(huì)受到許多因素的影響，本文只是近似地考慮一些影響因素，并通過(guò)在ANSYS 軟件和MATLAB 軟件中的模擬得出現(xiàn)象的相似等式，如果需要得到更精確的變化，則要在真實(shí)剎車(chē)情況下對(duì)剎車(chē)盤(pán)進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)采集，最后通過(guò)熱能和溫度的公式Q=cmT進(jìn)行計(jì)算。

上面提到的剎車(chē)盤(pán)被分為外部圓環(huán)和內(nèi)部圓環(huán)2部分。外部圓環(huán)的質(zhì)量為m1，內(nèi)部圓環(huán)的質(zhì)量為m2；外部圓環(huán)上熱能為Q1，內(nèi)部圓環(huán)上熱能為Q2，比熱容c=450 J/（kg·K）。從而得出以下等式[5]：

通過(guò)在軟件ANSYS 中對(duì)剎車(chē)盤(pán)進(jìn)行取值得到剎車(chē)盤(pán)密度為7 850 kg/m3。外部圓環(huán)的體積V1=7.393 8×10-3m3，內(nèi)部圓環(huán)體積V2=2.482 1×10-3m3。通過(guò)對(duì)公式（8）—（12）的耦合，可以得出最終熱偏轉(zhuǎn)角度的表達(dá)式：

2.6 構(gòu)建壓力點(diǎn)位置

壓力點(diǎn)產(chǎn)生效果后，壓力被分解為剎車(chē)片內(nèi)外部的等效反作用力點(diǎn)。通過(guò)本論文所述部分得到的磨損量產(chǎn)生的角度α以及由于熱形變產(chǎn)生的角度β的等式關(guān)系，可以在MATLAB 中通過(guò)耦合偏微分方程迭代模擬整體剎車(chē)系統(tǒng)的變化趨勢(shì)，初始狀態(tài)需要在ANSYS中進(jìn)行模擬后得出。

3 剎車(chē)系統(tǒng)在MATLAB 軟件中的模擬結(jié)果

在壓力點(diǎn)的研究中，本文選取了2 種剎車(chē)片形態(tài)，即第一種形態(tài)和第二種形態(tài)。在MATLAB 軟件的模擬過(guò)程中，將時(shí)間作為自變量設(shè)定。時(shí)間設(shè)定從0 到60 s，步長(zhǎng)設(shè)定為0.000 5 s。行駛速度從200 km/h 降低到0。輪子直徑為1.2 m，角速度通過(guò)計(jì)算為93 rad/s。在磨損角度（α角）的模擬中，系數(shù)K設(shè)定為1.0×10-7，此數(shù)值由實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)所得。

剎車(chē)片一和剎車(chē)片二壓力點(diǎn)變化趨勢(shì)分別如圖6和圖7 所示。其中，點(diǎn)1 為剎車(chē)片外側(cè)的壓力中心，點(diǎn)2 為剎車(chē)片內(nèi)側(cè)的壓力中心，當(dāng)總壓力中心為正值時(shí)，代表總壓力點(diǎn)位于剎車(chē)片內(nèi)側(cè)，反之位于外側(cè)。

圖6 剎車(chē)片一壓力點(diǎn)（點(diǎn)1）變化趨勢(shì)

圖7 剎車(chē)片二壓力點(diǎn)（點(diǎn)2）變化趨勢(shì)

通過(guò)以上各圖可以得出，磨損以及熱形變?cè)? 種不同形態(tài)的剎車(chē)片上所表現(xiàn)出的差別。對(duì)于第一種形態(tài)的剎車(chē)片來(lái)說(shuō)，內(nèi)側(cè)的壓力百分比總是大于外側(cè)，并且差額越來(lái)越大。對(duì)于第二種形態(tài)的剎車(chē)片，在大約前3 s 的時(shí)間里，內(nèi)側(cè)的壓力百分比較大，但是在3 s 后外側(cè)的壓力百分比將超過(guò)內(nèi)側(cè)，并且差額越來(lái)越大。這種壓力分配的不同現(xiàn)象造成了總壓力中心在2種剎車(chē)片上的移動(dòng)方式也不同。在剎車(chē)片一的接觸面上，總壓力中心總是偏向于內(nèi)側(cè)并且一直向更內(nèi)側(cè)移動(dòng)，而對(duì)于剎車(chē)片二來(lái)說(shuō)，總壓力點(diǎn)首先位于內(nèi)側(cè)，隨著時(shí)間的變化卻逐步向外側(cè)移動(dòng)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了剎車(chē)系統(tǒng)的運(yùn)作過(guò)程。在剎車(chē)過(guò)程中產(chǎn)生了2 種現(xiàn)象，即非對(duì)稱(chēng)的剎車(chē)片磨損現(xiàn)象以及由摩擦產(chǎn)生的剎車(chē)盤(pán)熱負(fù)荷形變現(xiàn)象。通過(guò)近似的數(shù)學(xué)建模，研究了這2 種現(xiàn)象的變化過(guò)程以及對(duì)剎車(chē)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響。為了研究此類(lèi)現(xiàn)象，本文選擇了運(yùn)用耦合偏微分方程對(duì)高效熱動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行構(gòu)建。

在本文的第二部分，詳細(xì)描述了ETK 模型是如何構(gòu)建的過(guò)程。首先，建立了2 種基礎(chǔ)模型，并對(duì)這2種模型進(jìn)行受力分析以構(gòu)建出磨損角度α和壓力之間的關(guān)系，而后根據(jù)分析得到不同的6 種數(shù)學(xué)模型，并對(duì)每一種情況進(jìn)行等式建立。對(duì)磨損過(guò)程進(jìn)行分析后，開(kāi)始對(duì)剎車(chē)盤(pán)上的熱負(fù)荷形變進(jìn)行模型建立，在此過(guò)程中借助了軟件ANSYS 中的一些數(shù)據(jù)，以及通過(guò)MATLAB 擬合函數(shù)的運(yùn)用，得到熱偏轉(zhuǎn)角β的表達(dá)式。而后對(duì)2 種現(xiàn)象進(jìn)行耦合，設(shè)定初始值以及步長(zhǎng)后，在MATLAB 軟件中進(jìn)行模擬，得到剎車(chē)片一以及剎車(chē)片二接觸面上總壓力點(diǎn)的移動(dòng)圖。