雙邊定時截尾下廣義Pareto 分布的可靠性分析*

張峰源，蔡 靜，羅君念

（貴州民族大學(xué)，貴陽 550025）

0 引言

在產(chǎn)品的壽命試驗中，受時間、經(jīng)費的限制，通常會采用截尾的方式進行壽命試驗。由于廣義Pareto 分布在工程科學(xué)、處理醫(yī)學(xué)等方向的壽命實驗中起著極其重要的作用，已有很多研究者對廣義Pareto 分布的性質(zhì)進行深入研究。CHENG 等研究了在循序-I 型刪失數(shù)據(jù)下廣義Pareto 分布參數(shù)的極大似然估計和EM 算法估計［1］；邢務(wù)強等研究了I型混合截尾下指數(shù)- 威布爾分布參數(shù)的極大似然估計和經(jīng)驗Bayes 估計［2］；侯華蕾等研究了Pareto分布可靠性參數(shù)的Bayes 估計［3］；龍兵等研究了定時區(qū)間刪失樣本下指數(shù)分布的競爭失效問題［4］；HANICH 等討論了逐步首次失效截尾下廣義Pareto分布的參數(shù)估計［5］；葛露娟等研究了在不同刪失情況下廣義Pareto 分布形狀參數(shù)的Bayes 估計［7］；OKASHA 等研究了逐步II 型截尾數(shù)據(jù)下的廣義Pareto 分布的E-Bayesian 估計問題［8］；趙旭等研究了三參數(shù)廣義Pareto 分布的最小二乘估計［9］；龍沁怡等對廣義Pareto 分布在I 型刪失數(shù)據(jù)下的形狀參數(shù)進行極大似然估計［10］。

雙邊定時截尾試驗是在事先規(guī)定的時間開始試驗和停止試驗，為了不使失效數(shù)過少或過多，恰當(dāng)?shù)匾?guī)定試驗停止時間是實施定時截尾壽命試驗的關(guān)鍵。但是在雙邊定時截尾下運用不同方法對廣義Pareto 分布的可靠性估計文獻較少，本文基于極大似然估計、EM 算法、Bayes 估計研究了雙邊定時截尾數(shù)據(jù)下廣義Pareto 分布的參數(shù)估計和可靠性指標(biāo)估計問題，并比較各方法在不同樣本數(shù)據(jù)下的估計精度。

設(shè)隨機變量X 服從廣義Pareto 分布，分布函數(shù)為：

1 模型描述與極大似然估計

將式（2）、式（3）代入式（4）則似然函數(shù)表達式為：

2 EM 算法

下面用EM 算法求解。

3 近似置信區(qū)間

LOUIS 在應(yīng)用EM 算法時提出了一種提取觀測信息的方法，觀測的Fisher 信息可以用來構(gòu)造漸近置信區(qū)間［11］。

4 Bayes 估計

取參數(shù)α 的先驗分布為無信息先驗分布：

5 數(shù)值模擬

為了研究樣本量和截尾時間對估計精度的影響，給定樣本量n，截尾時間T1、T2，參數(shù)=0.5、α=2.05。生成雙邊定時截尾廣義Pareto 分布數(shù)據(jù)步驟如下：

區(qū)間估計的上、下限與漸近方差模擬結(jié)果見表3 所示。

由表1～表3 看出：1）在小樣本情況下，EM 估計與Bayes 估計的效果較好，隨著樣本量的提升，Bayes 估計的效果有明顯提升，優(yōu)于極大似然估計；2）EM 算法在任意樣本條件情況下，估計效果都較為穩(wěn)定，且在小樣本情況下優(yōu)于極大似然估計和Bayes 估計；3）隨著左截尾的時間越短，極大似然估計與Bayes 估計的準(zhǔn)確度越高；4）對可靠度進行估計時，極大似然估計比EM 算法和Bayes 方法更精準(zhǔn)。

表1 參數(shù)的估計值與平均相對偏差Table 1 The estimated value of the parameter deviates from the average relative deviation

表2 可靠度R 的估計與平均相對偏差R（10）Table 2 The estimation of reliability R is relative to the mean deviationR（10）

表3 EM 算法區(qū)間估計Table 3 EM algorithm interval estimation

6 結(jié)論

在雙邊定時截尾樣本下，估計廣義Pareto 分布的形狀參數(shù)時，應(yīng)根據(jù)樣本量的大小選取不同的估計方法。在樣本量較小時，采用Bayes 方法和EM 算法比極大似然法給出的估計有較小的平均相對偏差；在樣本量較大時，采用極大似然估計法和Bayes方法比EM 算法給出的估計有較小的平均相對偏差。當(dāng)選用極大似然估計法和EM 算法時，可靠度R的估計可達到很高的精度。