基于平滑S形曲線的永磁球形電機軌跡規(guī)劃

駱成路,王群京,4,武思傲,李國麗

(1. 安徽大學電氣工程與自動化學院,安徽 合肥 230601;2. 高節(jié)能電機及控制技術國家地方聯(lián)合實驗室,安徽 合肥 230601;3. 工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點實驗室,安徽 合肥 230601;4. 工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級協(xié)同創(chuàng)新中心,安徽 合肥230601)

1 引言

永磁球形電機是一種能夠?qū)崿F(xiàn)三自由度運動的電磁執(zhí)行裝置,它因具有體積小、精度高、結構新穎的優(yōu)點而備受諸多領域所關注[1-3]。

在球形電機軌跡規(guī)劃領域,天津理工大學的吳鳳英等人利用不同算法針對轉(zhuǎn)子在給定軌跡下的最短運行時間和加速度沖擊做了運動學上的優(yōu)化[4,5],但是其提出的算法并未考慮電機轉(zhuǎn)子體動力學因素對其運行軌跡造成的影響。安徽大學的李紳采用三次樣條插值的方法實現(xiàn)了球形電機的連續(xù)軌跡規(guī)劃,并利用基于正弦加速度的點對點規(guī)劃算法推導出對應的通電控制策略[6],但該策略并未考慮轉(zhuǎn)子運行時的速度特性。Cheon H, Wang L等人研究了多自由度機器人與機械臂在三維空間中的軌跡規(guī)劃算法[7,8],為球形電機的軌跡規(guī)劃提供了一定理論基礎。

S形曲線的軌跡規(guī)劃算法最早應用在數(shù)控機床的控制中,該算法最顯著的特點是對應的加減速曲線形如字母S形的走勢,平滑的速度規(guī)劃方式使得系統(tǒng)在運行時更加具有柔性,但其階躍變化的加加速度仍然會對系統(tǒng)造成一定的沖擊,從而引起機床的振動影響控制精度[9]。在S形曲線的應用領域,Chen Qizhi,Zhe Liu等人推導了S形曲線的加減速原理,利用S形曲線平滑連續(xù)的特性實現(xiàn)了其在數(shù)控系統(tǒng)領域中的高精度控制[10,11]。Fang, Yi和Fang, SX利用分段連續(xù)的加加速度算法改進了S形加減速曲線,進而提高了工業(yè)機器人在運行過程中的柔性[12,13],為改進S形曲線在球形電機中的應用提供了理論依據(jù)。

本文提出了的軌跡規(guī)劃方法創(chuàng)新點在于,將S形曲線與球形電機轉(zhuǎn)子動力學模型結合,相比與文獻[4,5],實現(xiàn)了其在球形電機動力學層面上的應用;利用正弦函數(shù)無限可導的特點擬合改進S形曲線,相比與文獻[9],使球形電機輸出速度呈現(xiàn)S形的平滑加減速趨勢,提高了球形電機在運行時的穩(wěn)定性。

2 永磁球形電機的結構與控制轉(zhuǎn)矩描述

2.1 永磁球形電機的結構

本文所研究的球形電機具體結構如圖1所示[14],該電機本體主要由定子和球狀轉(zhuǎn)子組成,其中定子線圈結構分布為2/24方式,即上下兩層定子外殼各內(nèi)嵌12個線圈,由12塊驅(qū)動電路板單獨供電;轉(zhuǎn)子體上永磁體分布為4/40方式,且永磁體由釹鐵硼材料加工而成,二者交替排列于轉(zhuǎn)子體上。當不同序列線圈通電后,線圈產(chǎn)生的磁場與永磁體的磁場相互作用產(chǎn)生不同方向的控制轉(zhuǎn)矩,驅(qū)動轉(zhuǎn)子實現(xiàn)三自由度運動。

圖1 永磁球形電機本體結構圖

2.2 永磁球形電機的動力學模型

(1)

由剛體坐標變換原理與拉格朗日第二方程可得球形電機的動力學方程為

(2)

(3)

其中Jx,Jy,Jz是轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的轉(zhuǎn)動慣量,將轉(zhuǎn)子模型導入ADAMS軟件中經(jīng)計算其三軸轉(zhuǎn)動慣量滿足

(4)

于是離心和哥氏力項可表示為

(5)

2.3 基于坐標分解的永磁球形電機控制轉(zhuǎn)矩描述

根據(jù)剛體在空間中的坐標變換原理,本文采用XYZ的坐標旋轉(zhuǎn)次序描述球形電機末端位置的姿態(tài)角,即在三維坐標空間中轉(zhuǎn)子輸出軸末端A點在運動約束范圍內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)φ角到B點都可以視為其先繞X軸旋轉(zhuǎn)α角度到A1(YOZ平面內(nèi)),再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角度到A2(XOZ平面內(nèi)),最后再繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ角度到B點(XOY平面內(nèi))。具體旋轉(zhuǎn)角φ的分解如圖2所示。且令A的坐標為(xA,yA,zA),B的坐標為(xB,yB,zB),R為球心到輸出軸末端的距離(本電機中R=105mm)。

圖2 旋轉(zhuǎn)角φ的坐標分解

經(jīng)過三次坐標旋轉(zhuǎn)變換,并通過轉(zhuǎn)子末端姿態(tài)的逆運動學求解,即可得到輸出軸末端空間直角坐標與對應歐拉旋轉(zhuǎn)角之間的關系為

(6)

此坐標分解方法有利于求解球形電機的控制轉(zhuǎn)矩,具體分析如下。當轉(zhuǎn)子繞X軸由A點旋轉(zhuǎn)至A1點時,此時旋轉(zhuǎn)角β與γ及其角速度、角加速度均為零,則有

(7)

將其帶入式(2),可得X軸方向上的控制轉(zhuǎn)矩為

(8)

同理可求出輸出軸末端由A1旋轉(zhuǎn)至A2,由A2旋轉(zhuǎn)至B時的控制轉(zhuǎn)矩分別為

Ty=TA1-A2=[0,J*,0]T

(9)

(10)

因此由式(8)、(9)、(10)可知,對球形電機軌跡規(guī)劃的問題可視為對已知運行路徑的加速度進行規(guī)劃。

3 平滑S形曲線的永磁球形電機軌跡規(guī)劃

3.1 S形曲線的運動學特性及規(guī)劃策略設計

S形加減速曲線的由來是因為電機在加減速階段的速度曲線呈現(xiàn)為S形,典型S形曲線在運行過程中分為7段:加加速段(I)、均加速段(II)、減加速段(III)、勻速段(IV)、加減速段(V)、勻減速段(VI)和減減速段(VII)?，F(xiàn)給出7段S形曲線的加速度方程

(11)

(12)

再次積分得到完整S形曲線對應的角位移:

(13)

針對球形電機的控制轉(zhuǎn)矩描述,設計適用于其動力學方程的速度規(guī)劃策略為:

1) 轉(zhuǎn)子啟停時刻速度均為零,即加速階段速度由0加速到最大值曲線呈現(xiàn)為S形,減速階段由最大值減速到0亦為S形;

2) 為最大程度減小控制轉(zhuǎn)矩的不對稱性對系統(tǒng)造成的影響,令每個階段的加減速持續(xù)時長相等;

3) 由式(10)可知,加速度為0時控制轉(zhuǎn)矩也為零,因此對球形電機的動力學規(guī)劃不考慮勻速階段。

考慮上述約束,設一個規(guī)劃周期的時長為T,總角位移為ω,則在該規(guī)劃策略約束下的S形曲線對應的加速度方程為

(14)

將式(14)帶入轉(zhuǎn)子動力學方程,即可得到角位移ω與規(guī)劃周期T約束下的三軸控制轉(zhuǎn)矩。

3.2 正弦函數(shù)擬合改進S形速度曲線

對式(11)求導可得S形曲線的加加速度方程,經(jīng)分析該規(guī)劃方式下加加速度的值一直在Jmax,0,-Jmax之間呈階躍形變化,當系統(tǒng)加減速形式發(fā)生轉(zhuǎn)變時,此形狀的加加速度會對系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊,使得系統(tǒng)不具有柔性,這在高精度控制系統(tǒng)中是不被允許的[15]。正弦函數(shù)本身具有無限可導的特點,若將其用于擬合改進原S形曲線的速度參數(shù),則不僅使得轉(zhuǎn)子輸出角速度仍然為S形,且經(jīng)過二次求導后的加加速度仍然可導,即不僅消除了加加速度的階躍現(xiàn)象,而且使得系統(tǒng)能夠更加穩(wěn)定的運行。設擬合S形速度曲線的多階正弦函數(shù)為

(15)

其中ai,bi,ci為待求擬合參數(shù),為防止過擬合現(xiàn)象,設擬合階數(shù)為j(j=1,2,3)。

現(xiàn)根據(jù)式(14)設計輸出軸末端由原始點在5秒內(nèi)沿X軸逆時針旋轉(zhuǎn)20度的動力學方案,以確定適用于改進S形曲線的擬合階數(shù),進而規(guī)劃更為復雜的軌跡。將運動過程中的角速度與時間的信息提取并進行擬合得到各階擬合曲線及擬合誤差曲線如圖3、圖4所示。其中圖4中的Errorj2與Errorj3分別為j=2與j=3時的擬合數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)的差值。

圖3 多階正弦函數(shù)擬合曲線圖

圖4 擬合誤差曲線圖

由圖3可知,j為1時對應的擬合速度曲線不滿足S形的加減速趨勢,j為2,3時雖已經(jīng)達到S形的加減速效果,然而對比圖4可知,j為3時的最大擬合誤差較j為2時的大,且總體趨勢不如j=2時的誤差波動范圍小。于是選擇j為2時的擬合階數(shù),作為改進后的速度規(guī)劃方式,結合式(15),改進后的角速度輸入信號為

(16)

對式(16)求導可得對應的加速度方程

(17)

將式(17)帶入球形電機動力學方程即可求出改進后各旋轉(zhuǎn)角所對應的控制轉(zhuǎn)矩。

4 動力學仿真驗證

本文仿真驗證平臺選用ADAMS動力學仿真軟件,首先將轉(zhuǎn)子體模型以一定格式導入ADAMS/VIEW模塊進行可視化仿真,觀察規(guī)劃路徑;其次在Post-processing 后處理模塊導出轉(zhuǎn)子輸出角速度、角加加速度數(shù)據(jù)并進行分析?，F(xiàn)給定球形電機末端關鍵點位置信息如表1所示,旋轉(zhuǎn)次序為A-B-C-D。

表1 關鍵點空間直角坐標信息

將上述關鍵點之間的歐拉旋轉(zhuǎn)角求解出后,設每兩點之間運行時間為2s,總時長為6s。經(jīng)式(14)、(17)可求出改進前后軌跡規(guī)劃策略所對應的加速度方程,進而得到兩種方式的控制轉(zhuǎn)矩如圖5所示。其中S-TX、S-TY、S-TZ與SinS-TX、SinS-TY、SinS-TZ分別表示改進前與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的控制轉(zhuǎn)矩。

圖5 兩種方式的控制轉(zhuǎn)矩圖

由上圖可以看出,原S形曲線對應的控制轉(zhuǎn)矩為梯形,因此在轉(zhuǎn)子加減速切換時刻會有轉(zhuǎn)矩拐點的出現(xiàn),不利于系統(tǒng)的流暢運行。然而經(jīng)過改進后的轉(zhuǎn)矩曲線可以看出,二階正弦函數(shù)的改進方式平滑了原曲線的拐點,有利于轉(zhuǎn)子加減速方式的平滑切換。將上圖中的控制轉(zhuǎn)矩輸入至ADAMS軟件建立的永磁球形電機轉(zhuǎn)子動力學虛擬樣機中,得到表1對應的仿真軌跡曲線如圖6所示。

圖6 動力學仿真軌跡

為進一步分析改進前后轉(zhuǎn)子末端的速度特性,經(jīng)ADAMS后處理模塊導出該軌跡的速度曲線如圖7所示,圖中S-VX、S-VY、S-VZ與SinS-VX、SinS-VY、SinS-VZ分別表示改進前與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角速度。

圖7 輸出軸末端角速度曲線

可以看出在每2s的規(guī)劃周期內(nèi),無論是改進前還是改進后,輸出軸末端速度在加速和減速階段均呈現(xiàn)為S形的趨勢,且運行過程符合本文所設計的速度規(guī)劃策略。再者由于本文采用二階正弦擬合的方式改進原S形曲線,由圖7知,改進后速度曲線與原S形曲線幾近重合,說明擬合改進的結果是正確的。為進一步體現(xiàn)改進后的方式對轉(zhuǎn)子運行過程中沖擊的優(yōu)化,現(xiàn)導出轉(zhuǎn)子末端加加速度曲線如圖8所示,其中S-JX、S-JY、S-JZ與SinS-JX、SinS-JY、SinS-JZ分別表示原S形曲線與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角加加速度。

圖8 輸出軸末端角加加速度曲線

角加加速度反映了系統(tǒng)的沖擊特性,在圖7的每個規(guī)劃周期內(nèi),原S形曲線對應的階躍形狀的加加速度被改進后的速度規(guī)劃策略所優(yōu)化,使得轉(zhuǎn)子體在運行過程中更加具有柔性,保證了球形電機的平穩(wěn)運行。此外考慮到剛體的建模誤差與改進算法的擬合誤差,設ErrorX、ErrorY、ErrorZ分別為轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的角位移仿真數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的差值,記為角位移誤差(Error),經(jīng)計算分析其誤差曲線如圖9所示。

圖9 輸出軸末端角位移誤差曲線

由圖9可知即使存在建模誤差與擬合誤差,然而在整個規(guī)劃周期內(nèi),第5秒時達到的最大誤差也不足0.01rad,說明了本文提出改進算法的可行性。

5 結論

本文提出了一種基于平滑S形速度曲線的永磁球形電機軌跡規(guī)劃方法,在控制轉(zhuǎn)矩、角速度、角加加速度和角位移誤差四個方面進行改進前后軌跡規(guī)劃的仿真分析,可以得到以下結論:

1) 利用二階正弦函數(shù)改進后軌跡規(guī)劃算法獲得了較為平滑的控制轉(zhuǎn)矩和加減速度曲線。實現(xiàn)了速度的平滑輸出。

2) 解決了原S形速度曲線存在的加加速度階躍現(xiàn)象的問題,減小了對系統(tǒng)造成的沖擊。

3) 通過誤差分析得到誤差控制在0.01rad以下,證明了此算法的可行性。

通過對特定軌跡的仿真分析,驗證了本文所提出軌跡規(guī)劃方案的有效性與優(yōu)越性,為球形電機的高精度控制奠定了基礎。