兒童數(shù)字線估計(jì)：不同范圍和長度情境的影響

曹碧華?曾婷?廖虹?李富洪

摘 要 選取127名兒童完成數(shù)字線估計(jì)任務(wù)，探討其在不同類型的復(fù)雜情境中對熟悉數(shù)字的估計(jì)策略。兩個實(shí)驗(yàn)分別要求兒童對10cm長度下的不同范圍（0～50和0～100），以及不同長度（10cm和18cm）對0～100范圍的數(shù)字進(jìn)行估計(jì)。結(jié)果顯示兒童對0～50估計(jì)時絕對誤差百分比曲線呈直線上升型，而對0～100范圍的數(shù)字估計(jì)呈“M”型。針對范圍和長度的變化，兒童分別采取心理長度和比例判斷等估計(jì)策略，但受不同范圍的影響更大。這表明兒童會根據(jù)具體情境靈活選擇不同的估計(jì)策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

關(guān)鍵詞 兒童；數(shù)字估計(jì)；情境；心理長度；比例判斷

分類號 B842.3

DOI：10.16842/j. cnki. issn2095-5588.2023.05.001

1 引言

估計(jì)在兒童的學(xué)習(xí)中無處不在，例如估計(jì)作業(yè)和考試成績、文具價格等。估計(jì)能力是早期數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵基礎(chǔ)，對兒童數(shù)學(xué)的成就和認(rèn)知能力的發(fā)展非常重要（Siegler & Booth， 2004）。其中，數(shù)字估計(jì)指數(shù)量表征轉(zhuǎn)換過程中涉及的對數(shù)字的估計(jì)（莫雷等， 2010; Slusser & Barth， 2017）。研究兒童數(shù)字估計(jì)最典型的是數(shù)字線估計(jì)任務(wù)，它要求兒童在標(biāo)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的數(shù)字線上給某數(shù)字標(biāo)出位置。兒童在數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中主要存在線性表征和對數(shù)表征兩種形式（Dehaene， 1997; Siegler & Booth， 2004）。線性表征是對數(shù)字的精確表征，指個體對數(shù)字進(jìn)行表征的心理距離相等，相鄰數(shù)字間的心理距離不會隨著數(shù)字的增加而改變（Case & Okamoto， 1996）。對數(shù)表征則是不精確的，指隨著需表征的數(shù)字的增加，個體相應(yīng)的心理距離表現(xiàn)出前疏后密的特點(diǎn)（Dehaene， 1997）。

重疊波理論認(rèn)為任何年齡階段的兒童都知道并會使用多種相互競爭的方法（例如策略和規(guī)則）及表征模式，具體運(yùn)用哪種策略和規(guī)則主要取決于問題和情境（莫雷等， 2010; Siegler， 1996）。以往研究主要考察兒童在簡單情境中對數(shù)字估計(jì)的表征模式和估計(jì)策略，不同年齡的兒童僅需對相同范圍或相同長度的數(shù)字進(jìn)行估計(jì)（周廣東等， 2009; Opfer et al.， 2016; Slusser & Barth， 2017）。近年來，研究者更關(guān)注兒童在復(fù)雜情境中數(shù)字線估計(jì)的發(fā)展趨勢及策略。此時，兒童須估計(jì)兩種不同范圍或不同長度下的數(shù)字。結(jié)果發(fā)現(xiàn)情境會影響兒童對數(shù)字的表征模式和估計(jì)策略的選擇（曹碧華等， 2021; 莫雷等，2010; 臧蓓蕾， 張俊， 2017; Zang et al.， 2019）。莫雷等（2010）發(fā)現(xiàn)一年級兒童的表征模式受到不同范圍和長度的影響。當(dāng)長度為15cm時，一年級兒童在0～100范圍采用線性表征，而在0～1000范圍采用對數(shù)表征。當(dāng)長度為10cm和20cm時，在0～1000范圍內(nèi)隨著長度的增加，線性表征占優(yōu)勢。臧蓓蕾等（2017， 2019）發(fā)現(xiàn)3～5歲學(xué)齡前幼兒在1～5、1～10和1～20三種小范圍內(nèi)的不同數(shù)距條件下會使用不同的表征模式。

探究表征模式只是為了解釋兒童對不同數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確性的問題，研究者應(yīng)該更關(guān)注其背后的心理加工方式或策略的使用規(guī)律（劉國芳， 辛自強(qiáng)， 2012）。兒童估計(jì)數(shù)字時常使用參照點(diǎn)策略，它是指將線段的起點(diǎn)、中點(diǎn)、四分位點(diǎn)和終點(diǎn)作為參照點(diǎn)或根據(jù)自身產(chǎn)生的錨定點(diǎn)完成估計(jì)（邢強(qiáng)等， 2015; Barth & Paladino， 2011; Peeters et al.， 2016; Rouder& Geary， 2014）。在數(shù)字線估計(jì)中，兒童將需估計(jì)的數(shù)字與參照點(diǎn)進(jìn)行比較，把數(shù)字之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換成空間表征，即根據(jù)參照點(diǎn)的位置確定估計(jì)數(shù)字的位置（Sullivan & Barner， 2014）。即使采用了參照點(diǎn)策略，兒童在數(shù)字線任務(wù)中也可能會采取更高級的估計(jì)策略（劉國芳， 辛自強(qiáng)， 2012; 臧蓓蕾等， 2019）。數(shù)包括名稱、等級、等距和等比四大屬性。當(dāng)以起點(diǎn)為參照點(diǎn)時，一年級兒童會將低端數(shù)字與固定的長度相對應(yīng)，這就是心理長度。無論需要估計(jì)的數(shù)字的范圍和長度如何改變，估計(jì)低端數(shù)字1～10時都存在心理長度。這表明兒童給數(shù)字“1”賦予了心理長度，并通過疊加數(shù)數(shù)策略對其他數(shù)字進(jìn)行估計(jì)，體現(xiàn)了兒童對等距屬性的認(rèn)識（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010; 張帆等， 2015）；當(dāng)以中點(diǎn)為參照點(diǎn)時，在標(biāo)有“0”和“100”的數(shù)字線上估計(jì)“50”時，兒童會把部分（50）置于整體（100）中，即基于范圍的比例來估計(jì)數(shù)字（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017），體現(xiàn)了兒童對等比屬性的認(rèn)識；當(dāng)以終點(diǎn)為參照點(diǎn)時，如選擇密度相同的后十個末端數(shù)字要求兒童估計(jì)，有些末端數(shù)字也符合心理長度的預(yù)期，故不能完全排除兒童也采用倒數(shù)心理長度策略（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010）。莫雷等（2010）認(rèn)為一年級兒童在估計(jì)0～100和0～1000的低端數(shù)字時存在心理長度，但估計(jì)0～1000時傾向?qū)?shù)表征，說明其對數(shù)的認(rèn)識尚未達(dá)到等比水平。我們認(rèn)為這與一年級兒童不熟悉0～1000范圍的數(shù)字和不知道1000是100的10倍有關(guān)。那么如果呈現(xiàn)兒童熟悉的小范圍數(shù)字，且他們知道數(shù)字及長度之間的倍數(shù)關(guān)系時，兒童估計(jì)數(shù)字時是否能達(dá)到等比屬性水平？

本研究的目的是考察兒童在不同類型的復(fù)雜情境中估計(jì)熟悉范圍數(shù)字時采用的策略。實(shí)驗(yàn)一要求被試估計(jì)0～50和0～100兩種熟悉范圍的數(shù)字。如果一年級兒童估計(jì)所有低端數(shù)字時穩(wěn)定地存在心理長度，那么本研究中兒童估計(jì)低端數(shù)字也存在心理長度，并且隨著年齡的增長，二年級兒童心理長度的范圍會減少（曹碧華等，2021;莫雷等， 2010）。值得注意的是，以往研究并未考察估計(jì)順序是否對策略產(chǎn)生影響。盡管大班和一年級兒童尚未學(xué)習(xí)乘法，但已經(jīng)知道50是100的一半，可能憑直覺進(jìn)行比例判斷（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。本研究中一、二年級兒童均需估計(jì)0～50和0～100兩種范圍的數(shù)字，對中端和末端數(shù)字的估計(jì)可能會受到估計(jì)順序的影響，即兒童先錨定估計(jì)范圍數(shù)字的實(shí)際長度，繼而以一定的方式影響后估計(jì)的數(shù)字范圍。然而，是先完成0～100會影響0～50的估計(jì)，還是先完成0～50會影響0～100的估計(jì)尚不明確。因此，本研究將首次探討估計(jì)順序?qū)和煜し秶鷶?shù)字估計(jì)的影響。

實(shí)驗(yàn)二要求被試在10cm和18cm兩種長度（1∶1.8）下對0～100進(jìn)行數(shù)字估計(jì)（曹碧華等， 2021）。相對于不同范圍的感知，兒童對線段長度、高度和面積等知覺線索的判斷可能更為敏感和直觀（Hollands & Dyre， 2000; Sella et al.， 2015; Siegler & Opfer， 2003）。因此，我們推測在0～100熟悉的范圍內(nèi)，兩個年級兒童會根據(jù)不同的線段長度調(diào)整估計(jì)策略，對低端和末端數(shù)字的心理長度范圍更小，而對中端數(shù)字的估計(jì)更可能采用比例判斷策略。

更重要的是，本研究在兩個實(shí)驗(yàn)中均設(shè)置了相同的實(shí)驗(yàn)條件，即10cm長度下對0～100范圍的數(shù)字估計(jì)。我們將對比分析0～100（10cm）范圍兒童在兩個實(shí)驗(yàn)不同情境的估計(jì)策略，進(jìn)一步探討其是否因受到0～50（10cm）和0～100（18cm）兩種不同情境的影響而使用靈活的估計(jì)策略。

2 實(shí)驗(yàn)一

2.1 方法

2.1.1 被試

采用G*power 3.1.9軟件進(jìn)行計(jì)算（Faul et al.， 2007）。對于本實(shí)驗(yàn)適用的重復(fù)測量方差分析，中等效應(yīng)量f=0.25且顯著性水平α=0.05時，預(yù)測達(dá)到95%的統(tǒng)計(jì)力水平的總樣本量至少為54。我們共選取了63位兒童參與本實(shí)驗(yàn)，其中一年級兒童33 名，男生20名，女生13名（M=7.38歲，SD=0.68）；二年級兒童30名，男生17名，女生13名（M=8.41歲，SD=0.61）。由于一名一年級兒童沒有理解指導(dǎo)語，對所有數(shù)字估計(jì)的實(shí)際長度均在中點(diǎn)附近；三名二年級兒童對較多數(shù)字未劃線估計(jì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)缺失，故這四名兒童的數(shù)據(jù)不予分析。

2.1.2 材料

實(shí)驗(yàn)材料為兩個31頁紙的小冊子，第一頁登記被試基本資料（包括性別、年齡及班級），其余30 頁為正式的實(shí)驗(yàn)材料，每一頁紙中間印有一條長10cm的數(shù)字線， 兩端分別標(biāo)為0和50（100），中間無任何標(biāo)記。數(shù)字線中間上方2cm 處的圓圈里隨機(jī)呈現(xiàn)一個讓被試估計(jì)的數(shù)字。實(shí)驗(yàn)一在0～50和0～100范圍的數(shù)字如下：

0～50：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、40、41、42、43、44、45、46、47、48和49。

0～100：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、46、47、48、49、50、51、52、53、54、55、90、91、92、93、94、95、96、97、98和99。

2.1.3 實(shí)驗(yàn)程序

采用紙筆測驗(yàn)法集體施測，禁止被試之間交流。被試在小冊子的第一頁填完基本信息后，被告知將做一個關(guān)于數(shù)字估計(jì)的測試。從第二頁開始是測試的題目，結(jié)果不計(jì)入學(xué)業(yè)成績。每一頁的正中間有一條數(shù)字線，左端標(biāo)有“0”，右端標(biāo)有“50”（或“100”）。如果左邊表示“0”，右邊表示“50”（或“100”），那么圓圈里的數(shù)字應(yīng)該在哪一個位置？請想好后用筆在線段上劃一條豎線來表示數(shù)字的位置。實(shí)驗(yàn)過程中不能用直尺，也無任何反饋。每名被試都做兩種范圍的估計(jì)。為平衡和探討順序效應(yīng)，一半被試先做0～50的估計(jì)，再做0～100的數(shù)字估計(jì)，另一半被試則相反。主試用直尺測量被試的估計(jì)結(jié)果（精確到毫米），再將實(shí)際長度轉(zhuǎn)化估計(jì)值（實(shí)際長度除以線段長度乘以范圍）進(jìn)行分析。

2.2 結(jié)果

2.2.1 不同范圍下實(shí)際長度估計(jì)的比較

首先，為考察當(dāng)范圍由0～50變化至0～100時兒童對數(shù)字估計(jì)是否存在心理長度，分別測量兒童估計(jì)的低端數(shù)字（1～10）、中端數(shù)字（21～30）和（46～55）的實(shí)際長度，即從起點(diǎn)0到數(shù)字線上標(biāo)記位置之間的距離；以及末端數(shù)字（40～49和90～99）的實(shí)際長度，即分別從終點(diǎn)50和100到數(shù)字線上標(biāo)記位置之間的距離。然后，對兩種范圍下的實(shí)際長度做配對t檢驗(yàn)。如果兩者的長度無顯著差異，則表明存在心理長度。

結(jié)果顯示一年級兒童對所有低端數(shù)字（1～10）估計(jì)的實(shí)際長度并不隨著范圍的增大而發(fā)生變化。這表明即使范圍增大了2倍，一年級兒童仍將低端數(shù)字與某一固定的線段長度相對應(yīng)，即存在心理長度。二年級兒童估計(jì)1～8范圍內(nèi)的數(shù)字時其實(shí)際長度未隨范圍改變而發(fā)生相應(yīng)的變化（表1）。估計(jì)中端數(shù)字時，一、二年級兒童僅分別有四個和三個數(shù)字對差異不顯著，無法說明兒童對此存在心理長度。估計(jì)末端數(shù)字時，兩個年級兒童對所有數(shù)字對估計(jì)的實(shí)際長度差異顯著（ps< 0.001），不存在心理長度。

其次，兒童在估計(jì)中端和末端數(shù)字時不存在心理長度，故進(jìn)一步考察是否進(jìn)行了比例判斷。由于100是50的2倍，將0～100中端和末端數(shù)字的實(shí)際長度均乘以2，與0～50對應(yīng)數(shù)字的實(shí)際長度進(jìn)行配對t檢驗(yàn)，如果兩者的長度無顯著差異，則表明存在比例判斷。結(jié)果表明對末端數(shù)字估計(jì)時，一年級除49-99外，40-90、41-91、42-92、43-93、44-94、45-95、46-96、47-97和48-98這9個數(shù)字對沒有顯著差異；二年級除40-90和49-99外，41-91、42-92、43-93、44-94、45-95、46-96、47-97和48-98這八個數(shù)字對無顯著差異。這說明一、二年級兒童對末端數(shù)字估計(jì)時基本上進(jìn)行了比例判斷，達(dá)到等比水平（圖1）。

2.2.2 表征模式

以隨機(jī)呈現(xiàn)的數(shù)值（實(shí)際值）為自變量，被試估計(jì)值的中位數(shù)為因變量（選中位數(shù)是為了排除極值的影響），選取線性和對數(shù)兩種表征模式進(jìn)行曲線擬合。結(jié)果表明兩個年級兒童均更好地?cái)M合了線性模型，一年級在0～50范圍，R2lin=0.97>R2log=0.85；0～100：R2lin=0.99>R2log=0.86。對兩模型預(yù)測值殘差的配對t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示對數(shù)和線性模型擬合度差異顯著，0～50：t（29）=-8.62，p< 0.001；0～100：t（29）=-8.00，p< 0.001。二年級在0～50范圍：R2lin=0.96> R2log=0.80；0～100：R2lin=0.98> R2log=0.84。兩模型預(yù)測值殘差的配對t檢驗(yàn)結(jié)果顯示，對數(shù)和線性模型擬合度差異顯著，0～50：t（29）=-8.71，p< 0.001；0～100：t（29）=-7.45，p<0.001。

為檢驗(yàn)個體中位數(shù)與總體估計(jì)的擬合結(jié)果是否一致，先對每個被試的估計(jì)進(jìn)行曲線擬合。然后，計(jì)算兒童對0～50和0～100的數(shù)字估計(jì)所進(jìn)行線性表征、對數(shù)表征以及在兩種表征之間搖擺不定（即對數(shù)擬合和線性的預(yù)測力無顯著差異）的人數(shù)百分比。結(jié)果顯示在0～50范圍，一、二年級采用線性表征的兒童分別占50%和48%，對數(shù)表征分別占9%和0%，在兩者間搖擺的分別占41%和52%。在0～100范圍，一、二年級符合線性表征的兒童分別為69%和92%，對數(shù)表征分別占6%和0%，兩者間搖擺的分別占25%和8%。最后，分別對兩個年級兒童線性表征的人數(shù)百分比進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示在0～100范圍，兩個年級兒童的線性表征人數(shù)百分比差異顯著，t（57）=-2.33，p=0.023。這表明隨著年齡的增長，使用線性表征的兒童越來越多。

2.2.3 估計(jì)的準(zhǔn)確性

采用絕對誤差百分比（Percent Absolute Error，簡稱PAE）作為評價兒童數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確性的指標(biāo)，計(jì)算公式為：PAE=|估計(jì)值-實(shí)際值|/范圍，求出兒童在各段的平均PAE。由于兒童對中端和末端數(shù)字實(shí)際長度估計(jì)時可能采用了比例判斷的策略，為了考察其原因，對個體平均PAE進(jìn)行2（估計(jì)順序：先做0～50，后做0～50）× 2（年級：一年級， 二年級）×2（范圍：0～50，0～100）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）的重復(fù)測量方差分析。其中，估計(jì)順序和年級為被試間變量，范圍和數(shù)字位置為被試內(nèi)變量。結(jié)果表明估計(jì)順序、范圍和數(shù)字位置的主效應(yīng)均顯著，估計(jì)順序：F（1， 28）=38.25，p< 0.001， η2=0.59；范圍：F（1， 56）=125.98，p< 0.001， η2=0.82；數(shù)字位置：F（2， 86）=59.22，p< 0.001， η2=0.69。估計(jì)順序與范圍的交互作用顯著，F(xiàn)（1， 28）=78.81，p< 0.001， η2=0.75。簡單效應(yīng)分析表明，在0～50范圍，先做的PAE值（9.07%）顯著低于后做的（18.02%），p< 0.001，說明先做的估計(jì)準(zhǔn)確性更高（圖2）。估計(jì)順序與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2， 86）=15.82，p<0.001， η2=0.37，表現(xiàn)為對中端數(shù)字估計(jì)時，先做0～50的PAE值（9.50%）顯著低于后做（12.86%），p< 0.001。范圍與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2， 86）=90.56，p< 0.001， η2=0.77。簡單效應(yīng)分析表明，兒童對0～50范圍內(nèi)低端（5.74%）、中端（13.67%）和末端（21.22%）數(shù)字的PAE兩兩之間均存在顯著差異，ps< 0.001。另外，0～50中端和末端數(shù)字的PAE均顯著高于0～100的中端（8.48%）和末端（8.68%）數(shù)字，ps< 0.001，表明兩個年級兒童對0～100中端和末端數(shù)字的估計(jì)準(zhǔn)確性更高。

為進(jìn)一步分析兒童數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確性是否受不同參照點(diǎn)的影響，分別在不同范圍的低端、中端和末端共取十個估計(jì)數(shù)字的PAE進(jìn)行平均（Ashcraft & Moore， 2012）。結(jié)果表明在兩種范圍內(nèi)，兩個年級兒童PAE均值變化模式相同。0～50范圍內(nèi)，均呈直線上升型，PAE均值隨著估計(jì)數(shù)值的增大而增大，即兒童在數(shù)字線估計(jì)時將起點(diǎn)作為參照點(diǎn)。在0～100范圍估計(jì)的PAE均值呈“M”型，在靠近兩端點(diǎn)和中點(diǎn)位置PAE均值更低，即兒童在數(shù)字線估計(jì)時，能將兩端點(diǎn)和中點(diǎn)作為參照點(diǎn)。與方差分析結(jié)果一致，發(fā)現(xiàn)0～100的PAE均值更低，說明估計(jì)準(zhǔn)確性更高（圖4A）。

實(shí)驗(yàn)一表明兒童估計(jì)低端數(shù)字時存在心理長度，估計(jì)末端數(shù)字時則可能使用了比例判斷策略。這表明兒童對熟悉范圍低端數(shù)字的變化不敏感，但對末端數(shù)字的變化更為敏感。然而，尚不清楚兒童對長度的變化是否敏感。因此，實(shí)驗(yàn)二考察當(dāng)固定范圍為0～100時，改變長度后兒童在數(shù)字線估計(jì)中是否仍存在心理長度或比例判斷。

3 實(shí)驗(yàn)二

3.1 方法

3.1.1 被試

G*power計(jì)算結(jié)果同實(shí)驗(yàn)一。共選取64名兒童參與本實(shí)驗(yàn)，其中一年級兒童31名， 男生18名， 女生13名（M=7.25歲，SD=0.46）；二年級兒童33名，男生18名，女生15名（M=8.25歲，SD=0.31）。

3.1.2 材料

實(shí)驗(yàn)材料與實(shí)驗(yàn)一基本相同。在每一頁紙中間印有一條長10cm或18cm的數(shù)字線，其兩端分別標(biāo)為“0”和“100”。數(shù)字線中間上方2cm處的圓圈里隨機(jī)呈現(xiàn)一個讓被試估計(jì)的數(shù)字。研究范圍為0～100，同樣在低端、中端和末端各選十個數(shù)字（與實(shí)驗(yàn)一0～100范圍的完全相同）。

3.1.3 實(shí)驗(yàn)程序

與實(shí)驗(yàn)一相同。

3.2 結(jié)果

3.2.1 兒童在不同長度下實(shí)際估計(jì)長度的比較

首先考察數(shù)字線長度由10cm變化至18cm時兒童在估計(jì)0～100范圍內(nèi)數(shù)字時是否存在心理長度，具體測量和計(jì)算方法與實(shí)驗(yàn)一相同。然后對相同數(shù)字在兩種條件下的實(shí)際長度做配對t檢驗(yàn)。結(jié)果顯示在兩種不同長度下估計(jì)低端數(shù)字時，一年級兒童對1～7，9和10的實(shí)際長度無顯著差異，二年級兒童對1～5和9的實(shí)際長度無顯著差異（表2）。

在兩種不同長度下估計(jì)中端數(shù)字時，兩個年級兒童均存在顯著差異，ps< 0.001，即不存在心理長度；估計(jì)末端數(shù)字時，一、二年級兒童對94～99六個數(shù)字和97～99三個數(shù)字的估計(jì)無顯著差異，符合心理長度的預(yù)期。由于對最末端部分連續(xù)的數(shù)字存在心理長度，故不能排除兒童對部分末端數(shù)字估計(jì)時使用倒數(shù)心理長度策略。然而，由于末端有些數(shù)字的實(shí)際長度未出現(xiàn)一致的趨勢，也不能說明使用倒數(shù)的心理長度策略。

其次，由于兒童對中端數(shù)字的估計(jì)不存在心理長度，故進(jìn)一步考察是否進(jìn)行了比例判斷。根據(jù)18cm和10cm的倍數(shù)關(guān)系，將10cm中端數(shù)字的實(shí)際長度乘以1.8后，與18cm相同數(shù)字的實(shí)際長度進(jìn)行配對t檢驗(yàn)。結(jié)果表明一年級兒童除46和50以外，另八個數(shù)字在兩種長度下均無顯著差異。二年級兒童估計(jì)數(shù)字46～49和55時，兩種數(shù)字線的實(shí)際長度無顯著差異。這表明估計(jì)中端數(shù)字時，兩個年級兒童根據(jù)長度的關(guān)系進(jìn)行了比例判斷（圖3）。

3.2.2 表征模式

以隨機(jī)呈現(xiàn)的數(shù)值為自變量，被試估計(jì)值的中位數(shù)為因變量，選取線性及對數(shù)兩種表征模式對兒童數(shù)字估計(jì)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合。結(jié)果表明在不同長度下，一、二年級兒童在0～100范圍內(nèi)均更好地?cái)M合線性表征。當(dāng)一年級的長度為10cm：R2lin=0.99 >R2log=0.87；18cm：R2lin=0.99>R2log=0.88。二年級的長度為10cm：R2lin=0.99>R2log=0.86；18cm：R2lin=0.99>R2log=0.84。兩模型預(yù)測值殘差的配對t檢驗(yàn)結(jié)果顯示對數(shù)與線性模型擬合度差異顯著。當(dāng)一年級長度為10cm：t（29）=-8.63，p<0.001；18cm：t（29）=-7.91，p<0.001。二年級10cm時：t（29）=-7.41，p <0.001；18cm：t（29）=-11.39，p< 0.001。

對個體估計(jì)進(jìn)行曲線擬合，計(jì)算當(dāng)長度為10cm和18cm時，一年級兒童采用線性表征的分別為84%和91%，對數(shù)表征各占3%，在兩種表征搖擺的分別為13%和7%。二年級兒童采用線性表征的分別為88%和97%，搖擺不定的分別占12%和3%。這說明隨著年齡的增長和長度的增加，兩個年級采用線性表征的兒童逐漸增多。最后，分別對兩個年級兒童線性表征的人數(shù)百分比進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果不存在顯著差異。

3.2.3 估計(jì)的準(zhǔn)確性

計(jì)算方法同實(shí)驗(yàn)一，分別求出兒童在各端的平均PAE。然后，進(jìn)行2（年級：一年級，二年級）×2（長度：10cm，18cm）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）的重復(fù)測量方差分析。結(jié)果表明年級、長度和位置的主效應(yīng)均顯著，年級：F（1，62）=19.16，p< 0.001，η2=0.24；長度：F（1，62）=5.02，p=0.029，η2=0.075；數(shù)字位置：F（2，124）=10.70，p<0.001，η2=0.15。年級與位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2，124）=4.87，p=0.009，η2=0.073。位置與長度的交互作用也顯著，F(xiàn)（2，124）=12.78，p<0.001，η2=0.17。另外，年級、長度和數(shù)字位置的三維交互作用顯著，F(xiàn)（2，124）=4.67，p=0.011，η2=0.07。簡單效應(yīng)分析表明，當(dāng)長度為10cm時，一年級兒童對低端（7.82%）和中端數(shù)字（7.04%）估計(jì)的PAE均顯著低于末端（10.60%）數(shù)字，ps< 0.01；二年級兒童對中端數(shù)字（4.80%）估計(jì)的PAE顯著低于末端數(shù)字（7.15%），p=0.039。這說明在10cm長度下，末端數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確性更低。當(dāng)長度為18cm時，一年級兒童對低端數(shù)字的PAE（4.49%）分別低于中端（10.41%）和末端數(shù)字（8.34%），ps<0.001。然而，二年級兒童在低端（3.45%）、中端（3.88%）和末端（5.27%）數(shù)字的PAE很低，且兩兩差異均不顯著，說明他們對所有數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確性都很高。

為進(jìn)一步分析數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確性，分別在不同長度數(shù)字線的低端、中端和末端共十個估計(jì)數(shù)字的PAE進(jìn)行平均（Ashcraft & Moore， 2012）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)PAE均值變化模式相同，均呈“M”型。估計(jì)低端數(shù)字時，PAE均值隨估計(jì)數(shù)字的變大而增大，在起點(diǎn)估計(jì)精確性最高；估計(jì)中端數(shù)字時，PAE均值在中點(diǎn)位置明顯下降；估計(jì)末端數(shù)字時，距離終點(diǎn)越近PAE均值越小。這些結(jié)果說明兒童在數(shù)字線估計(jì)時，能將兩端點(diǎn)和中點(diǎn)作為參照點(diǎn)（圖4B）。

3.3 兒童兩個實(shí)驗(yàn)對0～100（10cm）估計(jì)的PAE的比較

為考察兒童在0～100（10cm）條件下PAE是否受不同實(shí)驗(yàn)情境的影響，對兩個實(shí)驗(yàn)兒童估計(jì)的PAE進(jìn)行2（實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)一，實(shí)驗(yàn)二）×2（年級：一年級，二年級）×3（數(shù)字位置：低端、中端和末端）重復(fù)測量方差分析。其中，實(shí)驗(yàn)和年級為被試間變量，數(shù)字位置為被試內(nèi)變量。結(jié)果表明數(shù)字位置的主效應(yīng)顯著，F(xiàn)（2，114）=8.66，p<0.001，η2=0.13。實(shí)驗(yàn)和數(shù)字位置的交互作用顯著，F(xiàn)（2，114）=3.29，p=0.041，η2=0.06。簡單效應(yīng)分析表明實(shí)驗(yàn)一中端數(shù)字的PAE（7.82%）顯著高于實(shí)驗(yàn)二（5.92%），p=0.006，即實(shí)驗(yàn)二中端數(shù)字準(zhǔn)確性更高（表3）。

4 討論

本研究首次考察了在不同類型的復(fù)雜情境下兒童對熟悉范圍數(shù)字的估計(jì)策略，主要有三個新發(fā)現(xiàn)：一是估計(jì)順序會影響兒童對不同范圍數(shù)字的表征模式和估計(jì)策略。二是無論是數(shù)字范圍還是數(shù)字線長度發(fā)生變化，兒童對低端、中端和末端數(shù)字分別采取心理長度和比例判斷等估計(jì)策略，且受不同范圍的影響更大。三是即使實(shí)驗(yàn)條件相同0～100（10cm），兒童也會受到不同情境的影響，對中端數(shù)字使用靈活的估計(jì)策略。這些結(jié)果表明，一、二年級兒童對熟悉范圍數(shù)字的認(rèn)識已達(dá)到等距和等比水平，且能根據(jù)不同情境采取靈活的估計(jì)策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

4.1 不同范圍情境的估計(jì)策略

本研究發(fā)現(xiàn)即使是熟悉范圍的數(shù)字，一年級兒童對低端數(shù)字估計(jì)仍存在心理長度。心理長度指兒童將低端數(shù)字與固定長度對應(yīng)起來，反映兒童對數(shù)的認(rèn)識達(dá)到等距水平（莫雷等， 2010）。在測試的小冊子上，部分兒童用鉛筆畫點(diǎn)或小豎線作的標(biāo)記，如數(shù)數(shù)一樣。即通過將“1”賦予一定的長度，使用疊加數(shù)數(shù)的策略（曹碧華等， 2021; 莫雷等， 2010）。這支持了一年級兒童在開始接受正規(guī)教育的早期，傾向于將低端數(shù)字與固定的長度對應(yīng)起來。隨著數(shù)字變大，他們可能發(fā)現(xiàn)終點(diǎn)數(shù)字的變化，逐漸放棄疊加數(shù)數(shù)的策略（張帆等， 2015）。莫雷等（2010）認(rèn)為心理長度反映兒童高估低端數(shù)字的實(shí)際長度，并導(dǎo)致估計(jì)0～1000內(nèi)的數(shù)字時更好地?cái)M合對數(shù)表征。然而，本研究表明低端數(shù)字的心理長度也能解釋線性表征，這與莫雷等（2010）的解釋不一致。這說明兒童估計(jì)低端數(shù)字時存在心理長度是穩(wěn)定的現(xiàn)象，與表征模式的關(guān)系需要根據(jù)不同的任務(wù)來決定。

有趣的是，本研究首次發(fā)現(xiàn)估計(jì)順序會影響兒童估計(jì)0～50范圍數(shù)字時的表征模式和策略。盡管0～50范圍兒童估計(jì)的總體表征模式為線性表征，但個體曲線擬合結(jié)果表明一、二年級采用線性表征的兒童分別僅占50%和48%，這可能有兩方面的原因：一方面，先估計(jì)0～50范圍時，兩個年級兒童末端先做的PAE值顯著低于后做，說明先做的估計(jì)準(zhǔn)確性更高。但先估計(jì)0～100范圍，后估計(jì)0～50范圍時，兩個年級對末端數(shù)字40～49的估計(jì)都受到0～100末端的影響。兒童可能先將0～100估計(jì)的實(shí)際長度在大腦中進(jìn)行錨定，再對40～49數(shù)字使用比例判斷策略。具體表現(xiàn)為根據(jù)二者的倍數(shù)關(guān)系，從終點(diǎn)往前數(shù)數(shù)時按比例擴(kuò)大2倍，再劃線標(biāo)記。這些結(jié)果說明兒童大腦中對末端40～49的表征雖較準(zhǔn)確，但會受到50是100的一半的影響，即根據(jù)二者的數(shù)量關(guān)系相應(yīng)地調(diào)整估計(jì)策略（臧蓓蕾等， 2019；Barth & Paladino， 2011）。

另一方面，估計(jì)0～50的中端數(shù)字時呈現(xiàn)出年級差異。一年級兒童先做和后做0～50的PAE曲線接近且有一定的重合，說明他們可能已經(jīng)意識到了范圍的不同。二年級兒童先做0～50的PAE曲線與后做的存在較大分離，其程度與末端數(shù)字的兩條曲線相似。其中，先做0～50的估計(jì)準(zhǔn)確性更高，但先做0～100再做0～50范圍內(nèi)的數(shù)字估計(jì)，準(zhǔn)確性更低。

4.2 不同長度情境的估計(jì)策略

對不同長度情境下0～100范圍內(nèi)的數(shù)字進(jìn)行估計(jì)時，兒童對低端數(shù)字的心理長度范圍進(jìn)一步縮小，一、二年級兒童分別僅對1～7和1～5的連續(xù)數(shù)字采取了疊加數(shù)數(shù)的策略。這表明隨著低端數(shù)字的增大，兒童逐漸察覺到了長度的變化并隨之調(diào)整了估計(jì)策略。估計(jì)末端數(shù)字時，一、二年級兒童分別對94～99六個數(shù)字和97～99三個數(shù)字的估計(jì)符合心理長度的預(yù)期，部分說明他們使用了倒數(shù)的心理長度策略。有意思的是，這與兒童在不同范圍下對末端數(shù)字采取比例判斷策略存在差異。與不同長度相比，兒童對不同范圍的末端數(shù)字變化更敏感，會根據(jù)數(shù)字關(guān)系調(diào)整估計(jì)策略。

然而，兩個年級兒童對中端數(shù)字估計(jì)時可能存在比例判斷。這說明數(shù)字在線段上的位置相對靠后時，兒童可能才發(fā)現(xiàn)線段長度發(fā)生了很大變化，于是放棄繼續(xù)將每個數(shù)字與固定長度相聯(lián)系的數(shù)數(shù)策略（張帆等， 2015;Sietske et al.， 2013）。由于一年級兒童未學(xué)習(xí)乘法，故估計(jì)中端數(shù)字時的比例判斷可能與直覺有關(guān)（Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。相反，二年級兒童開始學(xué)習(xí)乘法，故其比例判斷可能與倍數(shù)有關(guān)。然而，兒童并非對所有的中端數(shù)字都存在比例判斷，說明其比例判斷仍處于發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

與不同范圍相比，兩個年級兒童對線段不同長度的判斷更準(zhǔn)確。以往研究發(fā)現(xiàn)與阿拉伯?dāng)?shù)字所表示的數(shù)量信息相比，大班及以上年級的兒童對線段長度和面積大小等知覺線索更為敏感，類似于比例判斷（Barth & Paladino， 2011; Booth & Sigler， 2006; Sella et al.， 2015; Spence， 1990）。Booth和Sigler（2006）要求兒童完成畫線段和估計(jì)線段長度兩種任務(wù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)隨著年齡的增長，畫線段任務(wù)的估計(jì)精確性提高，而估計(jì)線段長度任務(wù)的成績與年齡無關(guān)，表明兒童對線段長度也有非常好的估計(jì)能力。

4.3 0～100（10cm）在兩種不同情境下的估計(jì)策略

即使實(shí)驗(yàn)條件相同0～100（10cm），兒童的估計(jì)策略和PAE也會受到兩個實(shí)驗(yàn)中不同情境的影響。結(jié)果表明0～100（10cm）的PAE都較低且呈現(xiàn)出“M”型，反映了兒童能有效地使用中點(diǎn)策略和兩端點(diǎn)策略。這可能與兒童在學(xué)習(xí)和生活中對0～100的數(shù)字更熟悉、經(jīng)驗(yàn)更豐富有關(guān)。Wall等（2016）認(rèn)為數(shù)字的熟悉度會影響兒童數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確性，盡管0～50的范圍較小，但兒童對0～100更為熟悉。進(jìn)入小學(xué)后，作業(yè)和考試的評分大多為百分制，導(dǎo)致兒童不僅對100更熟悉，而且對90～99范圍內(nèi)的數(shù)字熟悉度也更高。

然而，兩個實(shí)驗(yàn)中端數(shù)字的PAE存在顯著差異，具體表現(xiàn)為在不同范圍下，0～100中端數(shù)字的PAE顯著高于不同長度的情境。這說明兒童根據(jù)情境的不同，對0～100（10cm）的中端數(shù)字靈活地使用了不同的估計(jì)策略。實(shí)際上，從中端數(shù)字實(shí)際的估計(jì)長度來看，兩個年級兒童在不同范圍的情境下既不存在心理長度，也未使用比例判斷策略。然而，在不同長度的情境下，一、二年級兒童分別有八個和六個中端數(shù)字使用了比例判斷策略。這說明兒童不僅對線段長度的變化更敏感，還能根據(jù)二者長度的關(guān)系調(diào)整策略以使估計(jì)更準(zhǔn)確?；跀?shù)字和整體范圍的比例關(guān)系，兒童容易準(zhǔn)確標(biāo)出50在0～100數(shù)字線上的位置（張帆等， 2015; Barth & Paladino， 2011; Slusser & Barth， 2017）。

數(shù)字估計(jì)能力與數(shù)學(xué)成績存在正相關(guān)，在數(shù)字線估計(jì)任務(wù)中呈現(xiàn)出線性表征的兒童，其數(shù)學(xué)計(jì)算成績往往好于對數(shù)表征的兒童（Booth & Siegler， 2006）。整數(shù)的數(shù)字線估計(jì)成績與分?jǐn)?shù)的數(shù)字線估計(jì)呈正相關(guān)，說明對整數(shù)的估計(jì)有助于提高兒童的分?jǐn)?shù)表征能力（張麗等， 2014）。然而，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的兒童在數(shù)字線估計(jì)中表現(xiàn)相對較差（Geary， 2011）。由此可以看出數(shù)字線估計(jì)研究的重要性，對培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)和認(rèn)知能力起了引導(dǎo)和推動作用（劉國芳， 辛自強(qiáng)， 2012）。對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議為，教師在進(jìn)行數(shù)字比較大小和數(shù)字比例教學(xué)時，可以使用數(shù)字線估計(jì)任務(wù)輔助教學(xué)，采用不同范圍大小數(shù)字且強(qiáng)調(diào)特殊點(diǎn)（兩端點(diǎn)、中點(diǎn)和四分位點(diǎn)）的關(guān)系，幫助兒童理解數(shù)字之間的關(guān)系。同時，在進(jìn)行這一任務(wù)的過程中要及時提供反饋，提高估計(jì)的準(zhǔn)確性（Booth & Siegler， 2006; Siegler & Opfer， 2003）。另外，對于數(shù)學(xué)計(jì)算成績較差的兒童可以使用數(shù)字線估計(jì)任務(wù)測試其數(shù)字估計(jì)能力，并通過觀察估計(jì)策略的使用來判斷兒童的認(rèn)知水平（Joram et al.， 2005）。對于數(shù)字估計(jì)存在問題的兒童盡早干預(yù)，為提高他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力打好基礎(chǔ)。

本研究也存在一些不足。以往研究選擇估計(jì)的數(shù)字除低端和末端以外，還在每十個數(shù)中平均選擇1～2個數(shù)字，這樣對表征模式進(jìn)行曲線擬合時更為全面。本研究雖包括低端、中端和末端三個區(qū)間的數(shù)字，但并未在其他部分的每十個數(shù)中選擇1～2個數(shù)字，這可能會在一定程度上影響曲線擬合估計(jì)的結(jié)果。后續(xù)研究可在每十個數(shù)中平均增加一些數(shù)字，要求兒童進(jìn)行估計(jì)。

5 結(jié)論

本研究的兩個實(shí)驗(yàn)分別考察在不同類型的復(fù)雜情境下兒童數(shù)字估計(jì)的策略，結(jié)論如下：

（1） 無論是范圍還是長度發(fā)生變化，兒童分別采取心理長度和比例判斷等估計(jì)策略，表明對熟悉范圍數(shù)字的認(rèn)識已達(dá)到等距和等比水平。

（2） 即使實(shí)驗(yàn)條件相同0～100（10cm），兒童對中端數(shù)字的估計(jì)策略也受到不同情境的影響。

（3） 兒童會根據(jù)不同類型的復(fù)雜情境靈活地選擇不同的估計(jì)策略，為重疊波理論提供了新的證據(jù)。

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