基于代數(shù)推理的功能談初中代數(shù)推理的基本類型及教學(xué)建議

【摘?要】?推理是邏輯思維的一種基本形式，代數(shù)推理是構(gòu)成數(shù)學(xué)推理的重要組成部分，是代數(shù)思維的一部分．代數(shù)推理與幾何推理是分別建立在代數(shù)知識與幾何知識基礎(chǔ)上的推理，由于代數(shù)與幾何的研究對象及其推理的功能存在差異，因此代數(shù)推理與幾何推理的主要類型應(yīng)有所差異．筆者基于代數(shù)推理的功能將初中代數(shù)推理的基本類型分為證實類推理、推測（演）類推理、應(yīng)用類推理，開展初中代數(shù)推理教學(xué)要重視要素結(jié)構(gòu)化、證據(jù)顯性化、問題模型化等，促進代數(shù)推理核心素養(yǎng)落地．

【關(guān)鍵詞】?證實類推理；推測（演）類推理；應(yīng)用類推理；結(jié)構(gòu)化；顯性化；模型化

推理是邏輯思維的一種基本形式，是從一些已知判斷推出新判斷的思維形式，是對判斷間的邏輯關(guān)系的認識［1］．推理是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，保障了數(shù)學(xué)的科學(xué)性．代數(shù)推理是解決代數(shù)問題的推理，是推理在代數(shù)知識背景下的思維操作過程．本人近期參加了江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究重點課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實踐研究”的研究活動．筆者結(jié)合研究體會，基于代數(shù)推理的功能談?wù)劤踔写鷶?shù)推理的基本類型及教學(xué)建議．

1?數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵

在心理學(xué)上，數(shù)學(xué)推理通常被看作是一種思維過程，是指人們在數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下，基于數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實的問題情境，由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識、方法，對數(shù)學(xué)對象形成某種判斷的思維操作過程［2］．在邏輯學(xué)上，數(shù)學(xué)推理通常被認為是一種思維形式，是指由一個或幾個數(shù)學(xué)命題推導(dǎo)出另一個新命題的思維形式．?dāng)?shù)學(xué)推理既具有一般推理的本質(zhì)特征，也要保持?jǐn)?shù)學(xué)對象的獨特性．

2?代數(shù)推理的內(nèi)涵

代數(shù)推理是數(shù)學(xué)推理的重要組成部分，是指人們在代數(shù)觀念系統(tǒng)作用下，基于數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實的問題情境，能由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識、方法，按照某些規(guī)則，進行等價關(guān)系或變化關(guān)系操作，推斷某一數(shù)學(xué)對象的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，形成新判斷的過程［3］．

代數(shù)推理同時也是代數(shù)思維的一部分，是解決代數(shù)問題時的思維活動，是一種基于現(xiàn)實的模型建構(gòu)、基于規(guī)則的程序推理、基于形式的符號操作的認知活動［4］．代數(shù)推理與問題解決技能、表征技能共同參與代數(shù)思維的實踐過程．基于此，代數(shù)推理通常表現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)情境中的相關(guān)數(shù)量并歸納概括出數(shù)量之間的關(guān)系的過程；用一般化的數(shù)學(xué)模型來表示歸納得到的關(guān)系，并且驗證模型的合理性的過程；從具體的算術(shù)運算中抽象概括出一般計算法則以及運算性質(zhì)，并應(yīng)用它們操作符號的過程等［3］．

3?彰顯代數(shù)推理功能的初中代數(shù)推理的基本類型

目前對代數(shù)推理主要類型的劃分大多比照邏輯學(xué)的觀念將其劃分為演繹推理和合情推理，或者劃分為演繹推理、歸納推理及類比推理，或者劃分為命題推理、運算推理、歸納推理及類比推理等等，更多地將代數(shù)推理看成一種基本技能，用來解決代數(shù)內(nèi)部的推理題．這種基于邏輯學(xué)觀念的分類無疑是合理的，而且與基于幾何內(nèi)容的推理具有對等性、對應(yīng)性，但同時這種分類似乎掩蓋了代數(shù)推理功能相對于幾何推理功能的獨特性．

筆者最近做了一次教師隨機問卷調(diào)查，第一類人群：參與問卷的324名非數(shù)學(xué)專業(yè)教師；第二類人群：參與問卷的538名初中數(shù)學(xué)專業(yè)教師．完成問卷內(nèi)容：根據(jù)您中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的感覺和經(jīng)驗，您覺得下列題目中屬于推理類的有哪些？（可多選）

從四項占比之和以及占比排序第一的項目可以反映出非數(shù)學(xué)專業(yè)教師和數(shù)學(xué)專業(yè)教師對問題認識的差異（在此不作詳細分析），說明對于推理內(nèi)涵的認識存在學(xué)科背景顯著差異．但是在對待“解方程是否屬于推理”這個問題上學(xué)科背景差異微乎其微，B的調(diào)查結(jié)果兩類人群具有高度一致性，解方程屬于代數(shù)推理的占比明顯低于命題推理A與D，也低于C的占比（C的占比高，訪談的結(jié)果大多認為這里有比較與判斷，這涉及思維的形式，在此不作詳細分析）．無論是數(shù)學(xué)專業(yè)教師還是非數(shù)學(xué)專業(yè)教師，大家普遍認為解方程不屬于代數(shù)推理，換句話說大多數(shù)人的直覺是純粹運算不屬于代數(shù)推理，事實上純粹運算是屬于代數(shù)推理，而且是演繹推理．如果我們單純參照邏輯推理體系簡單地將命題推理和運算推理放在一起統(tǒng)稱代數(shù)演繹推理，理論上毋庸置疑是正確的，但對于大多數(shù)人來說覺得二者有顯著差異，不符合大部分人的心理直覺感受，究其原因可能是沒有突出二者在代數(shù)推理功能上的差別：命題推理的功能主要是證實已知結(jié)論的正確性，目標(biāo)明確且已知；運算推理的功能主要是通過推演得到確切的結(jié)果，目前結(jié)果是未知的，是需要推演的．鑒于此，在不違背邏輯推理分類的科學(xué)性的基礎(chǔ)上，為了大家能更好地認識代數(shù)推理的功能及價值，我們有必要從代數(shù)推理的功能出發(fā)對其加以分類．

代數(shù)推理建立在代數(shù)知識基礎(chǔ)上的推理．基于幾何知識推理的主體核心是基于獲得圖形性質(zhì)，展開圖形關(guān)系研究的演繹推理．現(xiàn)階段學(xué)習(xí)的歐氏幾何是相對成熟的演繹體系，它之所以重要，是因為它們具有形式的結(jié)構(gòu)，不是因為它是能夠應(yīng)用的，實際上它與現(xiàn)實生活聯(lián)系較少，與現(xiàn)實情境相對獨立，從這個角度看基于幾何知識的推理是更加注重形式的推理．代數(shù)推理主要是在概括描述、規(guī)則操作、問題解決程序中，由數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實的問題情境尋求一些代數(shù)特有的關(guān)系或結(jié)構(gòu)的結(jié)論．現(xiàn)階段學(xué)習(xí)的代數(shù)主要側(cè)重于數(shù)與代數(shù)式及其關(guān)系（方程、不等式、函數(shù)）的運算、變形、性質(zhì)，以及利用代數(shù)知識解決實際問題等，從這個角度看代數(shù)推理是更加注重實用的推理．

代數(shù)問題更多地來自生活需要，來自現(xiàn)實問題的解決，因此代數(shù)推理相對于基于幾何知識的推理來說，更自然、基本、純粹，更強調(diào)實際應(yīng)用，另外代數(shù)推理本身就是解決代數(shù)問題時的思維活動．因此，從代數(shù)推理這些獨特功能出發(fā)，代數(shù)推理應(yīng)該包含解決現(xiàn)實問題，也就是代數(shù)推理應(yīng)該包含應(yīng)用類推理，主要涉及數(shù)學(xué)建模等將“實際問題數(shù)學(xué)化”的推理．因此代數(shù)推理應(yīng)該包含“實際問題的數(shù)學(xué)化”，也就是應(yīng)該包含應(yīng)用類推理．

基于上述的分析，從純粹數(shù)學(xué)內(nèi)部及現(xiàn)實性問題等代數(shù)知識的兩大方面出發(fā)，結(jié)合代數(shù)推理的功能，進一步彰顯代數(shù)推理的“代數(shù)”特質(zhì)，筆者將初中代數(shù)推理主要劃分為證實類推理、推測（演）類推理、應(yīng)用類推理（見表1）．

3.1?證實類推理

證實類推理從分析、判斷等思維活動的角度來看，主要功能是證明已知結(jié)論的正確性，主要與演繹推理中的命題推理有關(guān)．在數(shù)學(xué)中，一般把判斷某一件事情的句子叫做命題，這里體現(xiàn)了“前提”與“結(jié)論”之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系．命題推理就是從“前提”出發(fā)，對由數(shù)學(xué)對象和大小符號或運算符號構(gòu)成的性質(zhì)關(guān)系進行變化證明結(jié)論的正確性操作過程．

案例1?求證：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個奇數(shù)和的2倍．

分析?這是一個命題推理，推理的功能是證明這個結(jié)論是正確的，換句話說就是要開展證實類推理．由于這是一個文字命題，因此要先對問題進行符號化表征，設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n－1，2n＋1，那么（2n－1）＋（2n＋1）＝4n，且4n＝2×2n是2的倍數(shù)．所以兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個奇數(shù)和的2倍．

上述兩個命題推理的過程中，每一步變形都是從已知的關(guān)系結(jié)構(gòu)出發(fā)，依據(jù)一定的代數(shù)規(guī)則對符號進行運算以變換結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了恒等關(guān)系和等價關(guān)系的變化，達到證實結(jié)論的正確性的目標(biāo)，結(jié)論的范圍要小于前提的范圍，屬于演繹推理．

3.2?推測（演）類推理

從代數(shù)推理的主要功能角度來看，推測（演）類推理是在一定規(guī)則或規(guī)律的指導(dǎo)下，經(jīng)過推測或推演獲得某個結(jié)論，主要包括演繹推理中的運算推理、合情推理中歸納推理及類比推理等．推測（演）類推理區(qū)別于證實類推理的地方就在于推測（演）類推理事先不知道結(jié)果是什么，直到推測（演）過程結(jié)束，才獲得某個結(jié)論．

3.2.1?運算推理

運算推理主要是指在運算過程中我們必須遵循每一種運算的規(guī)則和法則來操作符號從而獲得結(jié)論，屬于推測（演）類推理．通過運算獲得的結(jié)論是必然的，從這個角度看，運算推理也屬于演繹推理．

3.2.2?歸納推理

歸納推理是指以某類事物一些特殊對象為前提，推出這一類事物的一般性結(jié)論的推理，即由特殊到一般的推理，屬于推測（演）類推理．歸納推理是基于“事實”，從經(jīng)驗和概念出發(fā)，按照某些規(guī)則所進行的、前提與結(jié)論之間有或然聯(lián)系的推理，命題所涉及的范圍由小到大，屬于合情推理范疇．歸納推理本質(zhì)是從經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗過的東西，從一類事物的過去和現(xiàn)在推斷事物的未來．

案例5?判斷下列各式是否成立：

判斷完成之后，你有什么發(fā)現(xiàn)？請用含有正整數(shù)n（n≥1）的式子表示上述規(guī)律．

分析?上述問題在獨立判斷每一個式子正確與否后，接下來觀察這4個式子之間的關(guān)聯(lián)：等式左邊的共同特征及變化規(guī)律、等式右邊共同特征及變化規(guī)律、每個獨立等式的左邊與右邊的聯(lián)系，歸納推測出“用含有正整數(shù)n（n≥1）的式子表示的規(guī)律”的結(jié)論，屬于推測（演）類推理．由所涉及4個式子的規(guī)則得到n個式子的規(guī)則，是所涉及的范圍由小到大的推理，前提與結(jié)論之間是或然聯(lián)系．

案例6?“有理數(shù)乘法法則”導(dǎo)入（蘇科版教材七年級上冊）.

教材利用生活中的水位圖3與圖4，規(guī)定水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負．基于生活事實引導(dǎo)學(xué)生得到：（＋4）×（＋3）＝＋12，（＋4）×（－3）＝－12，（－4）×（＋3）＝－12，（－4）×（－3）＝＋12．

然后請學(xué)生仿照上面的過程，試寫出表示1天后、2天后、1天前、2天前的水位變化的算式．最后引導(dǎo)學(xué)生歸納得到有理數(shù)乘法法則．

分析?教材中關(guān)于有理數(shù)乘法法則導(dǎo)入過程就是一個歸納推理的過程，主要目標(biāo)就是獲得有理數(shù)乘法法則，屬于推測（演）類推理．先從實際情境出發(fā)得到8個式子，然后仿照上面的過程得到另外8個式子．基于上述的12個式子，歸納推測得出有理數(shù)乘法法則，由12個式子的規(guī)則得到所有有理數(shù)乘法式子的規(guī)則，是所涉及的范圍由小到大的推理，前提與結(jié)論之間是或然聯(lián)系．

3.2.3?類比推理

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象在某些屬性上相同或相似，推斷出它們在另外的屬性上也相同或相似的一種推理，屬于推測（演）類推理．類比推理是由部分屬性相同，推出其他屬性相同的推理，是由特殊到一般的推理，其結(jié)論的范圍要大于前提的范圍，結(jié)論具有或然性，屬于合情推理范疇．

分析?教材中關(guān)于同分母分式的加減法法則導(dǎo)入過程就是一個類比推理的過程，主要目標(biāo)就是類比推測分式加減法法則，屬于推測（演）類推理．先回顧小學(xué)同分母分?jǐn)?shù)的加減法，然后依據(jù)法則解決同分母分?jǐn)?shù)的加減運算，依據(jù)兩類對象在某些屬性上相同或相似，最后直接將這一法則推廣到分式的運算中，得到同分母分式的加減法法則，其結(jié)論的范圍要大于前提的范圍，是一種或然推理，屬于合情推理．

3.3?應(yīng)用類推理

應(yīng)用類推理是從現(xiàn)實生活中的問題出發(fā)，有意識地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法去解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象的一種推理．應(yīng)用類推理主要涉及數(shù)學(xué)建?；顒?，并非是直接從數(shù)學(xué)的事實和規(guī)則出發(fā)，需要先發(fā)現(xiàn)代數(shù)情境中的相關(guān)數(shù)量、猜想數(shù)量之間的關(guān)系、使用符號將它們表示出來，進而對現(xiàn)實問題進行分析和抽象，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題以展開推理活動．根據(jù)模型開放性，可大致分為封閉模型推理和開放模型推理．

3.3.1?封閉模型推理

解決現(xiàn)實生活中的問題，往往需要建立模型，有些問題情境中影響模型的變量相對固定，最終得到的模型相對比較固定，結(jié)果一般為確定的數(shù)值，呈現(xiàn)為封閉的形式，例如利用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等解決的簡單應(yīng)用性問題，其中涉及的代數(shù)推理過程和結(jié)論相對比較固定和封閉，其核心推理過程一般屬于演繹推理．

案例9?推測偶像：從1—9中選一個你喜歡的數(shù)字，乘以3加3再把得到的數(shù)乘以3，然后把個位與十位的數(shù)字相加，在心里記住所得到的結(jié)果，稍后查看對應(yīng)數(shù)字代表的人物（如表2），就知道內(nèi)心深處特崇拜的偶像（說明：為了拉近與大家的距離，我將數(shù)字9對應(yīng)的人物設(shè)置為筆者自己）．如何解釋其中的道理呢？

分析?這是一個簡單的應(yīng)用性問題，這里充滿著推理的味道，如何解釋其中的道理，是典型的應(yīng)用類推理問題．需要學(xué)生能夠自覺運用符號表征問題，然后依據(jù)規(guī)則運算來揭示這個游戲背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)．我們把心里想的那個數(shù)字設(shè)為a，那么依據(jù)規(guī)則將這個數(shù)字a，乘以3加3再把得到的數(shù)乘以3，可得3（3a＋3）＝9a＋9＝10a＋（9-a），因此十位上的數(shù)字是a，個位上的數(shù)字是9-a，再依據(jù)規(guī)則把個位與十位的數(shù)字相加，也就是a＋（9-a）＝9，所以結(jié)果都是9．縱觀整個建模推理過程屬于嚴(yán)格代數(shù)推理范疇，而且過程和結(jié)果都是相對封閉和固定的，屬于演繹推理．

3.3.2?開放模型推理

解決現(xiàn)實生活中的問題往往需要借助建立模型來解決，有些數(shù)學(xué)建模任務(wù)中所展現(xiàn)的問題解決是相對復(fù)雜和多變的，具有開放的結(jié)構(gòu)和豐富的情境信息，具有多維影響因素，蘊含著開放的思維活動，最后的結(jié)果具有不確定性和開放性，其核心推理過程一般屬于合情推理．

案例10?推測滑行距離與滑行時間的關(guān)系（人教版教材九年級上冊）.

一個滑雪者從山坡滑下，為了得到滑行距離s（單位：m）與滑行時t（單位：s）之間的關(guān)系式，測得一些數(shù)據(jù)（如表3）．

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推測滑行距離與滑行時間的關(guān)系．

分析?推測滑行距離與滑行時間的關(guān)系，這是一個基于現(xiàn)實的應(yīng)用類推理，由于影響滑行距離與滑行時間的關(guān)系的因素較多，提供的參考數(shù)據(jù)有限，所以這些推測只能是合情推理．滑行距離與滑行時間的關(guān)系可選擇的數(shù)學(xué)模型具有多樣性、開放性．在實際操作過程中，不斷進行模型的擬合，在比較中選擇相對優(yōu)化的模型，依據(jù)本情境提供的數(shù)據(jù)選擇二次函數(shù)來擬合相對合理一些，但也只能是近似的反映實際規(guī)律，屬于合情推理．

4?基于代數(shù)推理功能的初中代數(shù)推理教學(xué)的幾點建議

鑒于代數(shù)推理是數(shù)學(xué)推理在代數(shù)知識背景下的體現(xiàn)，代數(shù)推理能力對于學(xué)生的代數(shù)學(xué)習(xí)具有非常重要的作用，下面結(jié)合基于代數(shù)推理功能取向的初中代數(shù)推理主要類型和自身的教學(xué)實踐就初中代數(shù)推理教學(xué)談幾點建議．

4.1?證實類推理的教學(xué)重在要素結(jié)構(gòu)化：理清結(jié)構(gòu)、恰當(dāng)表達

證實類推理的教學(xué)重在讓命題要素結(jié)構(gòu)化．幾何推理中的演繹推理較為常見，教材中很清楚地給出了三段論式的演繹推理過程，學(xué)生能夠清楚知道已知和結(jié)論分別是什么，對于幾何命題的結(jié)構(gòu)有清晰的認識，習(xí)慣“三段論”的表達方式．證實類推理是嚴(yán)格的演繹推理，但是它的“三段論”長期以來是屬于“隱性”的，有時候甚至都沒有感覺到在進行推理，最終導(dǎo)致學(xué)生推理思路模糊，表達混亂．

4.3?應(yīng)用類推理的教學(xué)重在問題模型化：變量提煉、代數(shù)表征

應(yīng)用類推理重在實踐應(yīng)用，主要功能就是解決現(xiàn)實問題，讓問題模型化．封閉模型推理和開放模型推理的核心就是建立代數(shù)模型，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界．因此在教學(xué)過程中重在提煉實際問題中核心變量，并用數(shù)學(xué)符號進行表征，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，解決現(xiàn)實問題．例如，案例9（推測偶像）與案例10（推測滑行距離與滑行時間的關(guān)系）教學(xué)的關(guān)鍵就在于尋找并提煉核心變量，案例9中心里想的那個數(shù)字是關(guān)鍵變量，用數(shù)學(xué)符號進行表征，轉(zhuǎn)化代數(shù)式求解問題，案例10中滑行距離與滑行時間是關(guān)鍵變量，在數(shù)學(xué)符號進行表征的基礎(chǔ)上，尋找兩者之間存在的可能的變化依賴關(guān)系．在日常的應(yīng)用類推理教學(xué)實踐中，要注重引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實情境中提煉關(guān)鍵變量，對現(xiàn)實情境中的條件及時調(diào)整，增減現(xiàn)實情境變量，然后進行符號化表征，運用封閉或開放的數(shù)學(xué)模型擬合，尋找現(xiàn)實問題的最優(yōu)解．

5?結(jié)束語

代數(shù)推理體現(xiàn)在解決代數(shù)問題的過程中，這個過程大致包括一般化、表征、計算、論證等，我們要深刻認識代數(shù)推理的“代數(shù)”特質(zhì)，發(fā)揮代數(shù)推理的獨特功能，準(zhǔn)確把握代數(shù)推理不同類型的內(nèi)涵．在教學(xué)過程中要緊緊圍繞學(xué)生的認知規(guī)律和代數(shù)推理的基本特征展開教學(xué)，充分挖掘代數(shù)推理的育人價值，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的落地．

參考文獻

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作者簡介?葉旭山（1976—），男，江蘇南京人，江蘇省初中數(shù)學(xué)特級教師;“蘇教名家”培養(yǎng)工程培養(yǎng)對象、江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”第三層次培養(yǎng)對象、江蘇省優(yōu)秀教育工作者、江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎、江蘇省優(yōu)質(zhì)課評比一等獎;發(fā)表文章20余篇.

基金項目?江蘇省十四五規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)推理及教學(xué)策略研究”（SJMJ/2022/02）;江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實踐研究”（2019JK13-L017）.