DNA 運(yùn)算與超混沌系統(tǒng)新型圖像加密算法

王夢(mèng)生，孫先赫，馬宏斌

（黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080）

0 引言

近年來(lái)，基于DNA 的圖像加密由于具有大量并行性、海量存儲(chǔ)等優(yōu)點(diǎn)，引起了人們的關(guān)注［1］。由于僅使用基于DNA 的圖像加密并不安全，因此將DNA 計(jì)算和混沌系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)，以實(shí)現(xiàn)更安全的圖像加密方法。但是，基于DNA 計(jì)算和混沌系統(tǒng)的圖像加密存在低維混沌中安全風(fēng)險(xiǎn)大、DNA 運(yùn)算復(fù)雜程度低和加密速度慢等缺點(diǎn)［2］。本文提出了一種以DNA 計(jì)算為基礎(chǔ)，利用混沌系統(tǒng)和散列函數(shù)的混合模型作為新的圖像加密方案。

1 基本原理

1.1 混沌系統(tǒng)

一維混沌系統(tǒng)有敏感性強(qiáng)的特性，被廣泛運(yùn)用在圖像加密中。Logistic map 就是一維混沌系統(tǒng)的一種［3］，如式（1）：

其中，xi表示當(dāng)?shù)鷷r(shí)間為i時(shí)，x的值。

當(dāng)a∈（3.89，4］時(shí)，xi始終位于［0，1］內(nèi)。此時(shí)，logistic map 適合選擇DNA 操作和DNA 規(guī)則，并在更短的時(shí)間內(nèi)執(zhí)行置換過(guò)程。

超混沌系統(tǒng)與普通混沌系統(tǒng)不同，有兩個(gè)或多個(gè)正Lyapunov 指數(shù)［4］。此外，超混沌系統(tǒng)具有很強(qiáng)的機(jī)密性、較大的密鑰空間和更復(fù)雜且不可預(yù)測(cè)的非線性行為，可幫助構(gòu)建關(guān)鍵圖像。本文使用公式（2）定義的超混沌系統(tǒng)：

其中，yi，zi，wi，ui，vi，表示的是當(dāng)?shù)鷷r(shí)間為i時(shí)，y，z，w，u，v的值。

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)Ci ＝［30，10，15.7，5，2.5，4.45，38.5］時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌行為［5］。

1.2 脫氧核糖核酸序列

在生物學(xué)中，脫氧核糖核酸（DNA）是大部分生物的遺傳物質(zhì)［6］。在密碼學(xué)中，也有著不可或缺的作用。DNA 主要由4 種核酸組成，具體表示為腺嘌呤（A）、胞嘧啶（C）、鳥(niǎo)嘌呤（G）和胸腺嘧啶（T），其中A和T互補(bǔ)，C和G互補(bǔ)［7］。在計(jì)算機(jī)中，信息都是通過(guò)二進(jìn)制存儲(chǔ)，0 和1 互補(bǔ)。因此，可以推斷出00 和11 也有類(lèi)似性質(zhì)，10 和01 也是如此。假如使用DNA 中4 個(gè)堿基對(duì)00、01、10 和11 進(jìn)行編碼，總共有8 種規(guī)則可以相互配對(duì)，編碼表見(jiàn)表1［8］。在計(jì)算機(jī)中，四進(jìn)制是以4 為基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)。將四位數(shù)字0、1、2、3 與A、C、G、T之間一對(duì)一映射。

表1 DNA 編碼表Tab.1 DNA code table

加密圖像像素的灰度值可以用一個(gè)4 位數(shù)的四進(jìn)制數(shù)表示，使用表1 的規(guī)則將其編碼為長(zhǎng)度為4 的DNA 序列。例如，十進(jìn)制的180 灰度值可以用四進(jìn)制數(shù)“2310”來(lái)表示，由于數(shù)字0、1、2、3 與A、C、G和T一一映射，最終轉(zhuǎn)換成GTCA。

1.3 使用DNA 計(jì)算的密碼學(xué)操作

整個(gè)密碼系統(tǒng)是由一個(gè)五維組（P，C，K，Enc，Dec）組成，其中明文空間用P表示，密文空間用C表示，K是密鑰空間，Enc代表加密函數(shù)，Dec則代表解密函數(shù)。加密函數(shù)將明文轉(zhuǎn)換為密文，解密函數(shù)則相反。當(dāng)C ＝0，T ＝1，A ＝2，G ＝3 時(shí)，各種不同的運(yùn)算法則見(jiàn)表2。

表2 DNA 運(yùn)算表Tab.2 DNA operation table

在數(shù)學(xué)中，右循環(huán)移位是將一組數(shù)據(jù)重新排列，具體操作為將最后的數(shù)字移動(dòng)到第一個(gè)位置，同時(shí)將所有其他條目移動(dòng)到正確的位置。Rcs（t，＜c0，c1，…，cn-1＞）表示t次右循環(huán)移位，式（3）：

類(lèi)似地，左循環(huán)移位是將第一個(gè)數(shù)據(jù)移動(dòng)到最后一個(gè)數(shù)據(jù)的位置，同時(shí)將所有其他條目移到左側(cè)位置。Lcs（t，＜c0，c1，…，cn-1＞）表示t次左循環(huán)移位，式（4）：

根據(jù)表2 中DNA 右移與左移運(yùn)算法則，重新定義了兩個(gè)基于DNA 序列的新代數(shù)算子，稱(chēng)作DNA左移位和DNA 右移位。根據(jù)表1DNA 編碼規(guī)則，定義8 種DNA 左右移位。如果考慮規(guī)則1，則〈c0，c1，c2，c3〉＝〈A，C，G，T〉。

此外，假設(shè)t等于二進(jìn)制代碼A、C、G和T的十進(jìn)制值。

DNA 右循環(huán)移位f→定義如式（5）：

在編碼過(guò)程中，如果在加密過(guò)程中使用DNA右循環(huán)移位，那么在解密過(guò)程則相反。

2 加密解密方案

加密方案的總體步驟如下：

步驟1通過(guò)原圖像的哈希值和外部密鑰K計(jì)算得出密鑰K＇與異或值kxor；

步驟2將明文圖像P1 編碼成四進(jìn)制圖像P2；

步驟3將四進(jìn)制圖像P2 編碼為DNA 圖像P3；

步驟4對(duì)DNA 圖像P3 進(jìn)行DNA 水平置換，得到置換后的DNA 圖像P4；

步驟5計(jì)算密鑰DNA 圖像KDNA；

步驟6在置換DNA 圖像P4 和關(guān)鍵DNA 圖像KDNA 之間進(jìn)行DNA 水平擴(kuò)散，得到擴(kuò)散后DNA 圖像P5；

步驟7將擴(kuò)散后DNA 圖像P5 解碼為密碼DNA 圖像P6；

步驟8將密碼DNA 圖像P6 解碼為密碼四進(jìn)制圖像P7；

步驟9將密碼四進(jìn)制圖像P7 解碼為整數(shù)范圍［0，255］的密碼圖像P8。

2.1 生成密鑰以及初始值和密鑰DNA 圖像

密碼散列函數(shù)在圖像加密系統(tǒng)領(lǐng)域發(fā)揮著基礎(chǔ)性作用。安全散列算法（SHA-256）和消息摘要算法（MD5）是常見(jiàn)加密散列算法，256 位和128 位散列值分別由上述算法產(chǎn)生。本文使用SHA-256 和MD5組合成哈希函數(shù)來(lái)提高所提出加密方案的安全性。

在所提出的密碼系統(tǒng)中，利用256 位外部密鑰和輸入圖像的哈希值來(lái)求出本文混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)和初始值。將256 位外部密鑰K劃分為十進(jìn)制格式的8 位塊，如式（7）：

假設(shè)視圖像大小為m × n的2 維矩陣P，其中P（i，j）表示位置（i，j）處的像素值。計(jì)算3 個(gè)大小為m的向量S1、大小為n的S2和大小為m +n -1 的S3，S1（i）是P的第i行的所有像素值的總和，S2（i）是P的第i列所有像素值的總和，S3（i）表示的是P的第i對(duì)角線上的所有像素值的總和；將上述3 個(gè)向量和外部密鑰K哈希組合，生成256 位哈希值H，以十進(jìn)制格式劃分為8 位塊，如式（8）：

之后，使用異或（XOR）操作將外部密鑰K和哈希值H結(jié)合起來(lái)，生成新的密鑰值K＇和值kxor，本文Kxor的值用kxor來(lái)表示，如式（9）、式（10）：

如果僅更改了普通圖像或外部密鑰的一位，則哈希值將完全不同。此外，圖像結(jié)合密鑰K和SHA-256哈希值H后，暴力攻擊需要2256次才能破解。從5 維超混沌系統(tǒng)中生成大小為1 × 4 mn 的密鑰DNA 圖像KDNA，隨后將其進(jìn)行擴(kuò)散處理。生成KDNA 的步驟如下：

步驟1考慮Ci ＝［30，10，15.7，5，2.5，4.45，38.5］作為5 維超混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)；

步驟2依靠kxor和密鑰K＇，計(jì)算5維超混沌系統(tǒng)的初始值x（0），y（0），z（0），u（0），w（0），如式（11）；

步驟3預(yù)迭代次5 維超混沌系統(tǒng)，以消除瞬態(tài)效應(yīng)并增加安全性；

步驟4預(yù)迭代后，對(duì)5 維超混沌系統(tǒng)迭代4×（m × n／5）次，選取4mn個(gè)首元素，得到大小為1×4mn的偽隨機(jī)向量PV；

步驟5通過(guò)式（12）將偽隨機(jī)矩陣PV直接轉(zhuǎn)換為大小為1×4 mn 的密鑰DNA 圖像KDNA。

2.2 原始圖像的DNA 編碼

設(shè)原始圖像P1 是一個(gè)2 維的大小為m × n矩陣。首先將普通圖像P1 轉(zhuǎn)換為大小為1 × 4 mn的四維矩陣P2；其次，四維矩陣P2 編碼大小為1×4 mn 的DNA 圖像P3。編碼步驟為：

步驟1輸入大小為m × n的普通圖像P1；

步驟2將大小為m ×n的平面圖像P1 重塑為大小為1× mn的向量P1；

步驟3通過(guò)將P1 每個(gè)像素值編碼為4 位四進(jìn)制數(shù)，將向量P1 轉(zhuǎn)換為大小為1×4 mn 的四進(jìn)制矩陣P2；

步驟4根據(jù)kxor值和密鑰K＇計(jì)算logistic map的控制參數(shù)u和初始值x（0），式（13）：

步驟5預(yù)迭代乘以邏輯映射以消除瞬態(tài)效應(yīng)并增加安全性；

步驟6迭代次后，將logistic map 迭代4 mn 次，得到大小為1×4 mn 的偽隨機(jī)向量PV；

步驟7通過(guò)式（14）計(jì)算大小為1 × 4mn 的規(guī)則向量RDNA（i）；

其中，i ＝1，2，3，…，4 mn。

步驟8將圖像P2 的每個(gè)元素編碼為四進(jìn)制，對(duì)應(yīng)4 種核酸A、C、G 和T，得到大小為1×4 mn 的DNA 圖像P3。

2.3 置換

置換操作交換了普通圖像中像素的位置、干擾，降低相鄰像素值的高相關(guān)性。DNA 水平像素置換的基本步驟：

步驟1輸入大小為1×4 mn 的DNA 圖像P3；

步驟2根據(jù)kxor值和密鑰K＇計(jì)算logistic map的控制參數(shù)u和初始值x（0），式（15）：

步驟4迭代

步驟3次后，將logistic 系統(tǒng)迭代4 mn 次，得到大小為1×4 mn 的偽隨機(jī)向量PV；

步驟5對(duì)PV元素進(jìn)行升序排序，fPV是PV序列的新序列，lPV是fPV的索引值；

步驟6通過(guò)公式（16）對(duì)向量P3 的位置進(jìn)行打亂。

其中，i ＝1，2，3，…，4 mn。

2.4 DNA 級(jí)擴(kuò)散

在圖像加密中，對(duì)像素?cái)?shù)據(jù)的擴(kuò)散是提高安全性的最重要步驟。DNA 水平擴(kuò)散步驟：

步驟1輸入大小為1×4 mn 的置換DNA 圖像P4 和大小為1×4 mn 的關(guān)鍵DNA 圖像KDNA；

步驟2根據(jù)kxor值和密鑰K＇計(jì)算logistic map的控制參數(shù)u和初始值x（0），公式（17）：

步驟5通過(guò)式（18）計(jì)算大小為1×4mn 的向量OP：

其中，i ＝1，2，3，…，4 mn。

步驟6通過(guò)公式（19）對(duì)置換后的DNA 圖像P4 和密鑰DNA 圖像KDNA 進(jìn)行DNA 操作。

其中i ＝1，2，3，4，5，6，…，4 mn。

2.5 擴(kuò)散DNA 圖像的DNA 解碼

在DNA 解碼步驟中，擴(kuò)散DNA 圖像P6 轉(zhuǎn)換為大小為m × n的灰度密碼圖像。DNA 解碼步驟如下：

步驟1輸入大小為1×4 mn 的擴(kuò)散DNA 圖像P5；

步驟2根據(jù)kxor值和密鑰K＇，計(jì)算logistic map的控制參數(shù)u和初始值x（0）。如式（20）：

步驟5通過(guò)公式（21）計(jì)算大小為1×4mn的規(guī)則向量RDNA；

其中i ＝1，2，3，4，5，6，…，4mn。

步驟6根據(jù)式（21），將擴(kuò)散后的DNA 圖像P5 解碼為解碼后的DNA 圖像P6；

步驟7將解碼后的DNA 圖像P6 的每一個(gè)核酸A、C、G 和T 解碼成四進(jìn)制數(shù)字，得到大小為1×4 mn 的加密四進(jìn)制圖像P7；

步驟8將加密的四元圖像P7 像素值每4 位編碼為0～255 的整數(shù)值，然后轉(zhuǎn)換為大小為1×mn的灰度密碼圖像P8；

步驟9將大小為1×mn 的灰度密碼圖像P8 重塑為大小為m × n的灰度密碼圖像。

2.6 解密算法

圖像解密過(guò)程類(lèi)似于圖像加密過(guò)程，是使用密鑰的圖像解密過(guò)程的逆向版本。解密算法的總體步驟：

步驟1計(jì)算密鑰K＇，通過(guò)外部密鑰K和哈希值H得到kxor值；

步驟2將密碼圖像P8 編碼為四進(jìn)制圖像P7；

步驟3將四元圖像P7 編碼為DNA 圖像P6；

步驟4計(jì)算key DNA 圖像KDNA；

步驟5通過(guò)在DNA 圖像P6 和密鑰DNA 圖片KDNA 之間執(zhí)行DNA 擴(kuò)散的逆運(yùn)算來(lái)消除擴(kuò)散的影響，并獲得非擴(kuò)散的DNA 圖像P5；

步驟6通過(guò)對(duì)未擴(kuò)散的DNA 圖像P5 進(jìn)行DNA 排列的逆運(yùn)算，消除排列的影響，得到未排列的DNA 圖像P4；

步驟7將非置換DNA 圖像P4 解碼為普通DNA 圖像P3；

步驟8將純DNA 圖像P3 解碼為純四元圖像P2；

步驟9將普通四元圖像P2 解碼為普通圖像P1。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和安全性分析

本文的實(shí)驗(yàn)環(huán)境軟件為 Matlab R2018a 與Windows 10 操作系統(tǒng)，硬件為16.0 GB RAM AMD Ryzen 7 5800H with Radeon Graphics 3.20 GHz。選取尺寸為512×512 的灰度圖像“Lena”、“狒狒”作為普通圖像。在實(shí)驗(yàn)中，將所提出的圖像加密方案與其他幾種圖像加密方案進(jìn)行了比較。

當(dāng)外部密鑰 key ＝ 6b679b3c77826d30a79e 612114a8c18df984c176f4e529f684748ad052241b17時(shí)，本文提出的圖像加密方案的仿真結(jié)果如圖1 所示，可以看到密碼圖像與類(lèi)噪聲圖像相似，任何關(guān)于普通圖像的有用信息都不能從他們身上找到。

圖1 圖像加密方案的仿真結(jié)果Fig.1 Simulation results of the proposed image encryption scheme

3.1 密鑰安全分析

加密圖像方案最重要的是密鑰。密鑰空間是可用于加密算法的所有可能密鑰的集合，顯然密鑰空間越大，加密圖像算法越安全。當(dāng)密鑰空間大于2100≈1030時(shí)，圖像加密算法將能夠抵抗暴力攻擊。本文的圖像加密方案中，可以用密鑰解密的密碼圖像由兩部分組成，即256 位外部密鑰和256 位哈希值。密鑰空間大小為2512，遠(yuǎn)大于2100。因此，本文的圖像加密方案具有足夠大的密鑰空間，這將導(dǎo)致抵抗更高的安全級(jí)別的暴力攻擊。

3.2 直方圖分析

圖像直方圖表示每個(gè)灰度強(qiáng)度級(jí)別的像素?cái)?shù)。當(dāng)密碼圖像直方圖接近于均勻分布時(shí)，圖像加密方案對(duì)統(tǒng)計(jì)攻擊的魯棒性更強(qiáng)。本文提出的圖像加密方案的直方圖分析結(jié)果如圖2 所示，可見(jiàn)密碼圖像相鄰像素的相關(guān)性顯著降低，這使得統(tǒng)計(jì)攻擊更加困難。

圖2 直方圖分析Fig.2 Histogram analysis

3.3 相關(guān)系數(shù)分析

在數(shù)字圖像中，像素與像素的聯(lián)系由相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量。對(duì)于普通圖像來(lái)說(shuō)，垂直、水平以及對(duì)角方向這3 個(gè)位置的相鄰像素之間有著很強(qiáng)的相關(guān)性。圖像加密就應(yīng)該降低密碼圖像相鄰像素之間的相關(guān)性，以抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊。相關(guān)性的理想值為0。在本文中，從普通圖像和密碼圖像中隨機(jī)選擇垂直、水平和對(duì)角線方向上的10 000 對(duì)相鄰像素，并通過(guò)公式（22）計(jì)算兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)系數(shù)：

其中，N是像素對(duì)的數(shù)量；x和y是兩個(gè)相鄰像素的灰度值；E（x）是均值；D（x）是方差；cov（x，y）是協(xié)方差。

普通圖像Lena 和密碼圖像Lena 以及普通狒狒圖像和密碼狒狒圖像的兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)結(jié)果如圖3 所示，Lena 密碼圖像中兩個(gè)相鄰像素的相關(guān)性顯著降低。

圖3 相鄰像素的相關(guān)性Fig.3 Correlation of neighboring pixels

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，“Lena”、“狒狒”這兩張圖像的相關(guān)系數(shù)非常高，而相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)的密碼圖像的系數(shù)接近于0。將本文提出方案與混沌和DNA 序列循環(huán)運(yùn)算、混沌和DNA 編碼、DNA 互補(bǔ)規(guī)則和混沌映射進(jìn)行對(duì)比，圖像的相關(guān)性分析見(jiàn)表3，可以發(fā)現(xiàn)本文的加密方案有效。

表3 圖像的相關(guān)性分析Tab.3 Correlation analysis of images

3.4 信息熵分析

信息熵是衡量消息隨機(jī)性的最重要標(biāo)準(zhǔn)，公式（23）：

其中，l是像素值的長(zhǎng)度，p（mi）是信息m中符號(hào)mi的概率。

對(duì)于256 級(jí)灰度的隨機(jī)灰度圖像，信息熵的理論值為8 。4 個(gè)普通圖像“Lena”、“Baboon”的信息熵以及相應(yīng)的密碼圖像與混沌和DNA 序列循環(huán)運(yùn)算、混沌和DNA 編碼、DNA 互補(bǔ)規(guī)則和混沌映射、DNA 序列操作和混沌系統(tǒng)進(jìn)行比較見(jiàn)表4，可見(jiàn)密碼圖像的所有熵值都非常接近理論值8，并且密碼圖像具有良好的隨機(jī)分布。因此，信息泄漏的概率可以忽略不計(jì)，本文的加密方案對(duì)熵攻擊具有很強(qiáng)的抵抗力。

表4 圖像的信息熵分析Tab.4 Information entropy analysis of images

3.5 差分攻擊

一個(gè)安全的圖像加密方案應(yīng)該對(duì)純圖像非常敏感。如果明文圖像中一個(gè)像素的微小變化可以導(dǎo)致密碼圖像的顯著變化，那么加密方案將抵抗差分攻擊。像素?cái)?shù)變化率（NPCR）和 統(tǒng)一平均變化強(qiáng)度（UACI）是差異攻擊分析的重要標(biāo)準(zhǔn)，由公式（24）定義：

其中，M和N分別是普通圖像的寬度和高度，C1（i，j）和C2（i，j）是在原始圖像的位置（i，j）處改變像素值前后的密碼圖像。

NPCR 和UACI 的預(yù)期值分別為99.609 4% 和33.463 5%。隨機(jī)改變圖像“Lena”、“狒狒”10 次，并計(jì)算NPCR和UACI的最小值、最大值和平均值，結(jié)果見(jiàn)表5、表6，本文的圖像加密方案NPCR和UACI結(jié)果非常接近預(yù)期值。因此，本文提出的圖像加密方案對(duì)普通圖像非常敏感，可以有效抵抗差分攻擊。

表5 普通圖像單像素變化的NPCR 和UACI 值Tab.5 NPCR and UACI values of single pixel variation of ordinary image

表6 普通圖像中兩個(gè)像素點(diǎn)變化的NPCR 和UACI 值Tab.6 NPCR and UACI values of two pixel changes in a normal image

3.6 密鑰敏感度分析

密鑰敏感度分析指的是加解密過(guò)程中，初始密鑰發(fā)生微小的變化，經(jīng)密鑰序列發(fā)生器或迭代函數(shù)作用后所產(chǎn)生的密鑰發(fā)生巨大變化而進(jìn)行的分析。因此，在分析過(guò)程中用極小差別的密鑰來(lái)觀測(cè)最終所呈現(xiàn)的結(jié)果。

一個(gè)健壯的加密算法應(yīng)該對(duì)其密鑰的變化極為敏感，這意味著只有使用正確的密鑰，才能正確解密原始圖像。為了分析關(guān)鍵靈敏度，進(jìn)行了如下的測(cè)試。首先，隨機(jī)生成一個(gè)256 位的密鑰K1；其次，隨機(jī)更改其256 位中的一個(gè)，得到兩個(gè)密鑰K2 和K3。分別使用密鑰K1 和K2 對(duì)Lena 的普通圖像P進(jìn)行加密，并生成兩個(gè)密碼圖像C1 和C2。兩個(gè)密碼圖像C1 和C2 完全不同。

使用不正確的密鑰K2 和K3 的解密圖像C1 是有噪聲的圖像，并且也是完全不同的。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，密鑰的微小變化將導(dǎo)致完全不同的加密結(jié)果。因此，本文的加密方案對(duì)密鑰非常敏感。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于DNA 計(jì)算、混沌系統(tǒng)和散列函數(shù)的混合模型的新型圖像加密方案，使用來(lái)自普通圖像和密鑰的混合SHA256／MD5 哈希，通過(guò)僅翻轉(zhuǎn)普通密鑰的一位來(lái)確保混沌系統(tǒng)的初始條件和控制參數(shù)發(fā)生變化；基于DNA 序列定義了兩個(gè)新的代數(shù)法則，即DNA 左位移和DNA 右位移。同時(shí)對(duì)其安全性、直方圖、相關(guān)系數(shù)、信息熵、差分攻擊進(jìn)行了分析，證明方案的合理性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的圖像加密方案有比其他幾種具有代表性的圖像加密方案更好的安全效果。