相依時(shí)序逐日盯市條件尾期望的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)①

陳皓鈺， 彭作祥

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

近年來,風(fēng)險(xiǎn)度量在金融市場中變得愈加重要.記投資組合收益為隨機(jī)變量X,其累積分布函數(shù)為FX(x).給定顯著性水平α∈(0,1),在險(xiǎn)價(jià)值

VaRX(α)=-sup{x:FX(x)≤α}

給出了投資組合以α的概率所遭受的最小損失值.文獻(xiàn)[1-2]分別刻畫、研究了對沖基金的風(fēng)險(xiǎn)特征與資本充足率,及住宅市場的下行風(fēng)險(xiǎn).文獻(xiàn)[3]將在險(xiǎn)價(jià)值與醫(yī)院金融風(fēng)險(xiǎn)管理相結(jié)合,以達(dá)增強(qiáng)醫(yī)院資產(chǎn)流動的目的.但VaR因不滿足次可加性,故不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量[4].作為本文的研究對象,條件尾期望

CTEX(α)=-E(X|X≤-VaRX(α))

刻畫了投資組合在損失超過閾值VaRX(α)時(shí)所遭受的期望損失值,且當(dāng)FX(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí),其滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的所有理想性質(zhì)[4-5].關(guān)于條件尾期望估計(jì)量及條件尾期望在銀行、金融服務(wù)與保險(xiǎn)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,見文獻(xiàn)[6-12].

盡管在險(xiǎn)價(jià)值與條件尾期望有著簡單且易于理解的表達(dá)式,但其是根據(jù)持有期結(jié)束時(shí)的投資組合收益變化計(jì)算的.故當(dāng)金融機(jī)構(gòu)出現(xiàn)投資組合在其持有期內(nèi)有多次結(jié)算時(shí),在險(xiǎn)價(jià)值與條件尾期望很難適用于該金融機(jī)構(gòu)內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)的評估.同時(shí)為緩解在險(xiǎn)價(jià)值對資產(chǎn)市場風(fēng)險(xiǎn)的低估,基于投資組合在每一個(gè)連續(xù)交易日的收益時(shí)序{X1,X2,…},文獻(xiàn)[13]提出了逐日盯市在險(xiǎn)價(jià)值

的α分位數(shù).基于逐日盯市在險(xiǎn)價(jià)值,本文提出逐日盯市條件尾期望:

為保證逐日盯市條件尾期望滿足風(fēng)險(xiǎn)度量一致性公理,且為便于后續(xù)理論推導(dǎo),本文針對Y1的累積分布函數(shù)FY,作如下假設(shè):

(i)FY在定義域內(nèi)連續(xù);

(iii)F′Y(ξα)=:f(ξα)>0.

其經(jīng)驗(yàn)估計(jì)量定義為

本文主要結(jié)論如下:

(1)

幾乎處處成立.

(2)

類似地,有

(3)

則由Borel-Cantelli引理可知(1)式幾乎處處成立.定理證畢.

如下定理2給出了逐日盯市在險(xiǎn)價(jià)值經(jīng)驗(yàn)估計(jì)量的漸近分布.

記Hn=Y(kn),則

(4)

證因?yàn)?/p>

(5)

(6)

(7)

綜合(6),(7)式可知(4)式成立.定理證畢.

證若證得

(8)

(9)

(8)式的左邊部分可拆分為

(10)

(11)

(12)

與

(13)

定理4假設(shè)定理1的條件成立,則對任一給定的α∈(0,1),

證首先計(jì)算如下積分:

(14)

基于類似的計(jì)算步驟,可得

(15)

接著計(jì)算如下等式:

其中基于(14)與(15)式可得

由此可知RY,n(α)的界為