猶豫模糊軟超BCK代數(shù)

姜 曼,張 丹

(西安交通工程學(xué)院公共課部,陜西 西安 710300)

0 引 言

處理不確定性是經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)學(xué)和社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域的一個(gè)主要問題,由于經(jīng)典方法固有的缺陷,因此無法處理這些問題.為了克服這些困難,Molodtsov[1]提出了一種新的方法,稱為軟集理論,用于建立模型中的不確定性.在文獻(xiàn)[2]中,Jun將軟集的概念應(yīng)用于BCK/BCI-代數(shù)的理論;Jun等[3]研究了基于軟集理論的BCK/BCI-代數(shù)的理想理論;Maji等[4]將軟集的研究擴(kuò)展到模糊軟集,引入了模糊軟集的概念,并提出了模糊軟集在決策問題中的應(yīng)用;Babitha等[5]引入了猶豫模糊軟集的概念,該概念結(jié)合了軟集和Torra[6]的猶豫模糊集的優(yōu)點(diǎn);Jun等[7]將模糊軟集應(yīng)用于BCK/BCI-代數(shù).超結(jié)構(gòu)理論誕生于1934年,Marty給出了超群的定義,通過分析它的性質(zhì),將超群應(yīng)用于群和關(guān)系代數(shù)函數(shù).超代數(shù)結(jié)構(gòu)是經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的自然擴(kuò)展,在經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)中,兩個(gè)元素的組合是一個(gè)元素,而在超代數(shù)結(jié)構(gòu)中,兩個(gè)元素的組合是一個(gè)集合.目前,超結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用[8-11],特別地,Jun等[12]將超結(jié)構(gòu)應(yīng)用于BCK-代數(shù),并引入了超BCK-代數(shù)的概念,它是BCK-代數(shù)的推廣.關(guān)于超BCK代數(shù)的研究,文獻(xiàn)[13-15]分別研究了超BCK-代數(shù)中的雙極模糊關(guān)聯(lián)超BCK-理想、雙框架軟集理論在超BCK-代數(shù)中的應(yīng)用,以及超BCK-代數(shù)的模糊超BCK-蘊(yùn)涵理想.本文我們引入了猶豫模糊軟超BCK-理想、猶豫模糊軟弱超BCK-理想、猶豫模糊軟s-弱超BCK-理想和猶豫模糊軟強(qiáng)超BCK-理想的概念,并研究其性質(zhì)及相互關(guān)系,相關(guān)結(jié)論豐富和拓展了猶豫模糊軟集和超BCK-代數(shù)理論.

1 預(yù)備知識(shí)

(H4)x<

在超BCK代數(shù)H中,對(duì)?x,y,z∈H,且A、B和C均為H上的非空集合,則有:

(3) 0<

(4)A?B?A<

(6)A<<{0}?A={0};

定義2[12]設(shè)A是超BCK代數(shù)H上的一個(gè)非空子集,如果A滿足以下條件:

(8) 0∈A;

則稱A是H上的超BCK理想.

如果A滿足(8)和

則稱A是H上的弱超BCK理想.

定義3[15]設(shè)A是超BCK-代數(shù)上的一個(gè)非空子集,如果A滿足(8)和

則稱A是H上的強(qiáng)超BCK理想.

定義4[16]設(shè)U是一個(gè)集合,P(U)是U的冪集,E是一個(gè)參數(shù)集,A?E且F:A→P(U)是一個(gè)映射,稱二元組(F,A)為U上的一個(gè)軟集.

定義5[4]設(shè)U是一個(gè)集合,F(U)是U上的模糊集,E是一個(gè)參數(shù)集,A?E且F:A→F(U)是一個(gè)映射,則稱二元組(F,A)為U上的一個(gè)模糊軟集.

注1[4]由定義5可得,對(duì)?e∈A,若F[e]為U上的一個(gè)模糊集,則稱之為參數(shù)e的模糊值集.

定義6[6]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合,一個(gè)X上的猶豫模糊集A的定義如下:

其中hA(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個(gè)不同值構(gòu)成的集合,表示X中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.記X上的全體猶豫模糊集為HF(X).

2 猶豫模糊軟超BCK理想

本節(jié)若無其它說明,用H代表一個(gè)超BCK代數(shù),用E代表一個(gè)參數(shù)集.

表1 二元運(yùn)算的表示法

表的表示法

則有

即(16)成立.證畢.

引理1[17]令A(yù)是超BCK代數(shù)H的一個(gè)子集,如果I是H上的超BCK理想且滿足A<

因此x∈Uε,所以Uε是H的超BCK理想.

反之,假設(shè)對(duì)?ε∈[0,1],Uε≠?是H的超BCK理想.

證明與定理1的證明類似,故略.

由(13)可得

證畢.

表的表示法

下面例子說明,H上的猶豫模糊軟超BCK理想(猶豫模糊軟弱超BCK理想)并不是H上的猶豫模糊軟強(qiáng)超BCK理想.

由(19)可得

因此,x∈Uε,所以Uε是H上的強(qiáng)超BCK理想.

接下來,我們給出猶豫模糊軟集成為猶豫模糊軟強(qiáng)超BCK理想的條件.

由于Uk是H的強(qiáng)超BCK理想,則有x∈Uk,因此

定理7假設(shè)H滿足條件:

由于Uε是H上的強(qiáng)超BCK理想,則有x∈Uε,因此有