Lévy過程驅使的非線性隨機微分方程的參數(shù)估計

李明蔚,呂 艷

(南京理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,南京 210094)

Lévy過程表示一類樣本路徑右連續(xù)的隨機運動,包含布朗運動、Poisson過程等一系列重要隨機過程,因其增量獨立且平穩(wěn)以及其良好的應用前景,一類由Lévy過程驅使的隨機微分方程得到廣泛關注.目前對于驅動噪聲為布朗運動的隨機微分方程,其線性及非線性情形下的參數(shù)估計問題均已取得一系列研究成果[1-5].對于其他類型的Lévy過程,Hu等[6]將軌跡擬合方法和最小二乘技術相結合,研究了連續(xù)時間觀測下由α平穩(wěn)Lévy運動驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程的參數(shù)估計問題; Masuda[7]提出了由對稱Lévy過程驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程在離散觀測點下的一種自加權最小絕對偏差估計量; Long等[8]提出了通過設置對比函數(shù)建立適用于普遍Lévy過程的最小二乘估計量方法,該方法雖允許漂移函數(shù)非線性,但要滿足Lipschitz條件; Mai[9]削弱了文獻[8]中漂移項的條件,提出了在局部Lipschitz條件下隨機微分方程的似然函數(shù),并利用指數(shù)族的方法對Ornstein-Uhlenbeck過程、平方根過程給出其強一致及在Hajek-LeCam意義上漸近有效的估計量.

基于此,本文考慮漂移項含有高次冪的多項式型非線性隨機微分方程的參數(shù)估計問題,并對所提出的極大似然估計量的漸近性質進行討論.最后,通過模擬樣本軌道驗證方法的有效性和估計量的性質.

1 連續(xù)時間觀測下的極大似然估計量

設(Ω,F,(Ft)t≥0,P)是一個概率空間,L是一個Lévy過程,其特征值為(b,σ2,μ),根據(jù)Lévy-It分解可知,

其中Bt是一個標準Wiener過程,N是+×(d-{0})上的一個獨立Poisson隨機測度,是一個鞅測度,且設m為取值于+的常數(shù),σ2>0,考慮隨機微分方程

(1)

取Cn=|θ+3n2|,Dn=||θ|+n2|,使得對所有的t,當|x|,|y|≤n時,有

|θx-x3-θy+y3|=|θ(x-y)+(y-x)(x2+xy+y2)|≤Cn|x-y|,

|θx-x3|=|x(θ-x3)|≤||θ|+n2||x|≤Dn(1+|x|).

(2)

其中Xc是X在P0下的連續(xù)鞅部分.對似然函數(shù)取對數(shù)并求導,可得

因此θ的極大似然估計量為

(3)

證明: 首先討論在P0下Xc的表示.由Lévy-It分解可知,其中Wt是一個標準Wiener過程,

因此可從X中分解出一個局部P0鞅Mt,

所以在P0下,Xc=mσW.

所以可將極大似然估計表示為真實參數(shù)θ與一個由Pθ-Wiener過程驅動的偏差之和,即

證明: 記對數(shù)似然函數(shù)為RT(θ),對任意的|λ|≥0,有

證明: 將對數(shù)似然函數(shù)對θ求導得

2 離散時間觀測下有限活躍條件的極大似然估計

(5)

其中ΔiX=Xti+1-Xti,Δi=ti+1-ti,vn>0.

證明: 不失一般性,假設σ=1,則

(6)

其次考慮不等式(6)右邊第二項,由Jensen不等式可知,

所以有

由Markov不等式得

從而結論得證.

而

對式(1)兩邊在[ti,ti+1]上做積分,可得ΔiX=ΔiD+mΔiL,又因為Lt=Wt+Jt,所以ΔiX=ΔiD+mΔiW+mΔiJ.由引理1得

綜上可知,

從而

引理3若假設(H1)成立,則當n→∞時,有

(7)

證明: 由引理2知,

只有在該時間間隔內發(fā)生跳躍,式(7)右邊的增量差值才不為0,即

由于ΔiXc=mΔiW+ΔiD,因此有

再利用H?lder不等式得

綜上結論得證.

證明: 推導可得

由引理3知,在Pθ下,當n→∞時,有

證明: 由引理3知,在Pθ下,當n→∞時,有

3 數(shù)值模擬

下面對有限活躍情形下隨機微分方程進行仿真模擬.取初值x0=1,對方程(1)進行Euler離散化可得:

表1 不同真實值下的均值及識別到的跳躍數(shù)結果

圖的誤差分布直方圖(A)和的正態(tài)QQ圖(B)Fig.1 Error distribution histogram of (B)

綜上所述,本文在漂移項為局部Lipschitz以及驅動噪聲為Lévy過程的條件下,討論了非線性隨機微分方程(1)的參數(shù)估計,通過設置閾值的方法過濾過程中的跳躍,從而近似連續(xù)鞅部分,分別在連續(xù)時間觀測和離散高頻觀測下給出了參數(shù)θ的估計量及其漸近性質.最后,將估計量代入數(shù)值模擬實驗中,實驗結果驗證了本文方法的有效性,該方法有助于非線性隨機系統(tǒng)的拓展與應用.