如何說(shuō)明對(duì)數(shù)的存在性與唯一性?
——從一線教師對(duì)滬教版教材的困惑談起*

李 卓 魏 夢(mèng) (江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 330022)

從2020年秋季學(xué)期起,上海開(kāi)始使用上海教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)新教材(以下簡(jiǎn)稱新教材)．伴隨著新教材的使用,上海各個(gè)區(qū)都開(kāi)展了關(guān)于高中數(shù)學(xué)新教材的教研活動(dòng)．應(yīng)M區(qū)高中數(shù)學(xué)教研員Y老師的邀請(qǐng),研究者參加了M區(qū)高一新教材對(duì)數(shù)定義的教研活動(dòng),在研討交流環(huán)節(jié)有幾位一線教師都提到了新教材中對(duì)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的編排方式及其帶來(lái)的困惑.在與Y老師交流后,我們?cè)噲D通過(guò)對(duì)教材的研讀來(lái)回應(yīng)并消解一線教師的困惑．下面首先介紹新教材中運(yùn)算與函數(shù)相對(duì)獨(dú)立的編排方式;其次梳理這種編排方式給一線教師帶來(lái)的困惑;然后嘗試回應(yīng)并消解一線教師的困惑;最后厘清新教材采用這種編排方式的原因．

1 新教材的編排方式

舊教材將對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)合并在同一章節(jié)(圖1),新教材明確區(qū)分“運(yùn)算”與“函數(shù)”將“冪、指數(shù)與對(duì)數(shù)”作為獨(dú)立的一章(圖2),放在“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”一章之前．

圖1 舊教材的編排方式 圖2 新教材的編排方式

2 一線教師的困惑:新教材很難說(shuō)明對(duì)數(shù)的存在性與唯一性

在教研活動(dòng)的研討交流環(huán)節(jié),一線教師提出了以下有代表性的困惑:

趙老師的困惑:舊教材的編排方式是指數(shù)函數(shù)→對(duì)數(shù)→對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)在對(duì)數(shù)的前面,按照舊教材的編排方式,ax=N中x的存在性與唯一性可以利用指數(shù)函數(shù)說(shuō)明;新教材的編排方式是對(duì)數(shù)→冪函數(shù)→指數(shù)函數(shù)→對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)放在了對(duì)數(shù)的后面．按照新教材的編排方式,在講對(duì)數(shù)時(shí),很難說(shuō)明ax=N中x的存在性與唯一性．其中,唯一性可以用反證法證明,但是存在性不能證明,而存在性是唯一性的前提,先有存在性才能有唯一性,先說(shuō)明存在性才能證明唯一性．

錢老師的困惑:在使用舊教材時(shí),對(duì)于ax=N這個(gè)方程,它的解是否是存在且唯一的是由指數(shù)函數(shù)來(lái)保證的．現(xiàn)在在使用新教材講對(duì)數(shù)時(shí)沒(méi)有指數(shù)函數(shù)了(這位教師表達(dá)的意思是:新教材把指數(shù)函數(shù)放在了對(duì)數(shù)的后面,高一學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的時(shí)候還沒(méi)有學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)),很難說(shuō)明ax=N這個(gè)方程的解x是存在的而且是唯一的．

趙老師和錢老師談完自己的困惑后,其他教師也紛紛表示有類似的困惑．

在實(shí)際課堂教學(xué)中,很多一線教師采用了趙老師和錢老師提到的用指數(shù)函數(shù)圖象說(shuō)明ax=N這個(gè)方程的解x是存在且唯一的[1-3]．例如南京師范大學(xué)附屬中學(xué)張萍老師在說(shuō)明x存在唯一時(shí)便是利用指數(shù)函數(shù)[1]．教學(xué)實(shí)錄如下:

師:2b=3,這樣的指數(shù)b有沒(méi)有呢?

生:2b=3這個(gè)問(wèn)題和指數(shù)函數(shù)y=2x有關(guān),我們可以作出它的圖象來(lái)觀察．

師:作出y=2x與y=3的圖象(圖3),發(fā)現(xiàn)它們有交點(diǎn),且只有一個(gè),那么指數(shù)b在哪里呢?

圖3 y=2x與y=3的圖象

生:交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是指數(shù)b．

師:看來(lái)滿足2b=3的指數(shù)b唯一確定．

用反證法可以證明唯一性．

求證:方程ax=N(a>0,且a≠1)總有唯一的解．

②測(cè)PH值法：取等濃度的二種溶液各少許，分別測(cè)其PH值，PH值大者N a2CO3，PH值小者 N aH CO3；

又x1-x2>0,根據(jù)冪的基本不等式及其推論(圖4):

圖4 新教材中冪的基本不等式

當(dāng)a>1時(shí),ax1-x2>1,與ax1-x2=1矛盾;

當(dāng)0

所以假設(shè)不成立,即方程ax=N(a>0,且a≠1)總有唯一解．

3 從惑到識(shí):高中數(shù)學(xué)新教材很難說(shuō)明對(duì)數(shù)的存在性與唯一性嗎?

針對(duì)ax=N中x的存在性與唯一性,新教材的配套教參是這樣寫的:

本研究從存在性和唯一性出發(fā),在a>0的條件下,說(shuō)明這是使方程ax=N存在唯一解所應(yīng)滿足的條件．教學(xué)中雖應(yīng)說(shuō)明這部分的內(nèi)容,但是要把握好度,對(duì)存在性和唯一性不必證明,只需直觀了解即可．

由此可知,教師在教學(xué)中可以以直觀的形式向?qū)W生說(shuō)明ax=N中x的存在性與唯一性．

x122x24

比如取指數(shù)為1.5,用計(jì)算器計(jì)算知21.5=2.828,由于2.828比3小,就把指數(shù)再變大一點(diǎn),重復(fù)這個(gè)過(guò)程就可以找到一個(gè)指數(shù)x0,使得 2x0=3．上海交通大學(xué)附屬中學(xué)陶磊老師便是采用了類似的做法[4]．教學(xué)實(shí)錄如下:

師:10x=2 018,這樣的指數(shù)存在嗎?

生(部分學(xué)生):存在．

師:你們覺(jué)得存在,好像有人沒(méi)有回答,可能還有點(diǎn)不知道應(yīng)該怎么說(shuō)．那我們大概估算一下,你覺(jué)得存在的話,這個(gè)x大約是多少?10的多少次方,3次方好像小了一點(diǎn),4次方好像大了一點(diǎn),差不多3到4之間．那我在3到4之間列個(gè)表,看看這個(gè)表,x大約在哪?

x3.13.23.33.43.53.63.73.83.9410x1 258.91 584.91 9952 5123 1623 9815 0126 3107 94310 000

生:3.3到3.4之間．

師:非常好,好像還是不夠精確是吧．如何尋找更精確的一點(diǎn)呢,還可以怎么樣?

生:細(xì)化．

師:很好,你們用的詞很好,細(xì)化．說(shuō)得非常形象,那這回呢?大約在哪?

x3.3013.3023.3033.3043.3053.30610x1 999.861 92 004.4722 009.092 013.722 018.372 023.02

生:3.304到3.305之間．

師:3.304到3.305之間,可以想象如果我不斷地細(xì)化,我總能找到近似值．

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)、原東北師范大學(xué)校長(zhǎng)史寧中教授指出:“無(wú)論是教材的編寫,還是教學(xué)的設(shè)計(jì),都可以考慮改變傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)思路,不是對(duì)每一節(jié)課或每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì),而是把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)．把這些內(nèi)容前后照應(yīng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),就可以在關(guān)注知識(shí)技能的同時(shí),思考知識(shí)技能蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想,最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)[5]．考慮到對(duì)數(shù)部分ax=N中x的存在性與唯一性和指數(shù)函數(shù)之間的邏輯聯(lián)系,在講ax=N中x的存在性與唯一性時(shí),教師可以在舉例的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單提一下:后續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之后可以更進(jìn)一步明晰ax=N中,x為什么是存在且唯一的;講到指數(shù)函數(shù)的時(shí)候再用上文趙老師、錢老師提到的用指數(shù)函數(shù)的知識(shí)進(jìn)一步說(shuō)明ax=N中x的存在性與唯一性．

為什么新教材的配套教學(xué)參考書(shū)說(shuō)明對(duì)存在性和唯一性不必證明,而只需直觀了解即可呢?我們認(rèn)為主要是因?yàn)樵诟咧须A段無(wú)法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明ax=N中x的存在性與唯一性．因此我們認(rèn)同新教材編寫人員的觀點(diǎn),教學(xué)中只需讓學(xué)生能夠體會(huì)到ax=N中x是存在且唯一的即可．

此外,我們認(rèn)為不宜采用趙老師、錢老師提到的用反證法證明ax=N中x的唯一性．因?yàn)樽C明過(guò)程中,會(huì)用到冪的基本不等式．而新教材引入冪的基本不等式的目的是為了后面證明冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性,并不是為了證明ax=N中x的唯一性

4 追根究底:高中數(shù)學(xué)新教材為什么要采用運(yùn)算與函數(shù)相對(duì)獨(dú)立的編排方式?

一線教師的困惑主要是新教材的編排方式帶來(lái)的,因此有必要搞清楚為什么新教材要采用運(yùn)算與函數(shù)相對(duì)獨(dú)立的編排方式．新教材主編之一、原華東師范大學(xué)校長(zhǎng)王建磐教授在新教材培訓(xùn)時(shí)是這樣解釋的:運(yùn)算與函數(shù)相對(duì)獨(dú)立,橋歸橋路歸路．新教材把“冪、指數(shù)與對(duì)數(shù)”作為獨(dú)立的一章(第3章),出現(xiàn)在“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”一章(第4章)之前,把“三角”作為獨(dú)立的一章(第6章),出現(xiàn)在“三角函數(shù)”一章(第7章)之前,把“運(yùn)算”與“函數(shù)”明確區(qū)分,在運(yùn)算上能下足功夫,講清來(lái)龍去脈．也就是說(shuō),采用新的編排方式,運(yùn)算討論的就是運(yùn)算性質(zhì)等,函數(shù)討論的就是純粹的函數(shù),包括函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等,這樣學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)于函數(shù)的概念應(yīng)該是非常清晰的．