二水平正規(guī)設(shè)計(jì)中主效應(yīng)的混雜性質(zhì)*

米乃瓦爾·亞森，李智明

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

試驗(yàn)設(shè)計(jì)特別是二水平正規(guī)設(shè)計(jì)在科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域中備受關(guān)注.文獻(xiàn)[1]認(rèn)為一個(gè)試驗(yàn)往往有多個(gè)設(shè)計(jì)方案, 試驗(yàn)者如何從中選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)是研究中的難點(diǎn)問(wèn)題.研究者給出一些準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì), 如最大分辨度準(zhǔn)則[2]、最小低階混雜準(zhǔn)則[3]、純凈效應(yīng)[4]等.這些準(zhǔn)則都基于效應(yīng)排序原則: 低階效應(yīng)比高階效應(yīng)重要;同階效應(yīng)同等重要, 它們從不同角度反映了一個(gè)設(shè)計(jì)中不同因子之間的混雜程度.一個(gè)2n－m正規(guī)設(shè)計(jì)D由n個(gè)因子F1,F2,···,Fn組成, 共N = 2n－m次試驗(yàn).每個(gè)因子都是二個(gè)水平, 用+1和-1表示.在因子F1,F2,···,Fn中,有n-m個(gè)獨(dú)立列, m個(gè)額外列(稱(chēng)為定義字).這m個(gè)定義字生成的子群稱(chēng)為定義對(duì)照子群G.令A(yù)i為定義對(duì)照子群G中字長(zhǎng)為i(i=1,2,···,n)的字母?jìng)€(gè)數(shù), 稱(chēng)序列W =(A1,A2,A3,···,An)為設(shè)計(jì)的字長(zhǎng)型(WLP).文獻(xiàn)[3]通過(guò)順序最小化WLP中元素選擇最優(yōu)設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[5]提出二水平正規(guī)設(shè)計(jì)的別名效應(yīng)數(shù)型來(lái)描述所有因子之間的混雜信息, 得到字長(zhǎng)型對(duì)應(yīng)于別名效應(yīng)數(shù)型中某些元素的函數(shù), 并在別名效應(yīng)數(shù)型的基礎(chǔ)上提出了一般最小低階混雜準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[6]計(jì)算了別名效應(yīng)數(shù)型中的主要元素.有關(guān)二水平一般最小低階混雜準(zhǔn)則的理論性質(zhì)及設(shè)計(jì)構(gòu)造可參閱文獻(xiàn)[7-13].

在最優(yōu)設(shè)計(jì)的選擇上, 主效應(yīng)和各階交互效應(yīng)的混雜情況往往更為重要.為了更好地描述主效應(yīng)與各階因子交互效應(yīng)混雜的情況,文獻(xiàn)[14]在某些二因子交互效應(yīng)重要的先驗(yàn)情況下,根據(jù)線性模型的最小二乘估計(jì)提出了描述主效應(yīng)與各階因子交互效應(yīng)混雜的別名矩陣,并引入混雜指標(biāo)集來(lái)選擇最優(yōu)設(shè)計(jì).但是,對(duì)于該指標(biāo)集的性質(zhì)及計(jì)算相關(guān)研究較少.本文主要通過(guò)別名矩陣及別名效應(yīng)數(shù)型來(lái)計(jì)算混雜指標(biāo)集中的重要元素.

1 基本概念

令q=n-m及N =2q.對(duì)于一個(gè)2n－m正規(guī)設(shè)計(jì)D, 若考慮主效應(yīng)與其它高階效應(yīng)之間的混雜結(jié)構(gòu), 根據(jù)文獻(xiàn)[15]建立一個(gè)線性模型:

稱(chēng)之為基于主效應(yīng)的別名效應(yīng)數(shù)型(Aliased Effect-Number Pattern Based on Main Effect, 記M-AENP).順序最大化式(6)得到設(shè)計(jì)稱(chēng)之為基于主效應(yīng)的一般最小低階混雜(General Minimum Lower-Order Confounding Based on Main Effects)設(shè)計(jì), 簡(jiǎn)記為M-GMC設(shè)計(jì).

例1 考慮兩個(gè)非同構(gòu)的212－7設(shè)計(jì)

由(6)式可得

根據(jù)混雜指標(biāo)集定義, 可計(jì)算

2 主要結(jié)果

表1 2n－m正規(guī)設(shè)計(jì)的r階別名矩陣Pr

由矩陣Pr可知, ai.r可能取值分別為0,1,2,···,Kr.令mlr表示ai.r取某一數(shù)值對(duì)應(yīng)的頻數(shù), 見(jiàn)表2.

表2 ai.r取值的頻數(shù)分布

根據(jù)(7)式直接可得以下等價(jià)性質(zhì).

定理1 最小序列化N=(N2,···,Nn)等價(jià)于最小序列化

其中: l=0,1,···,Kr;r=2,···,n.根據(jù)(8)式得到

根據(jù)式(9), 可以得到最小序列化N=(N2,···,Nn)的另一個(gè)等價(jià)定義.

定理2 最小序列化N=(N2,···,Nn)等價(jià)于最小序列化

定理1揭示了混雜指標(biāo)集N與別名矩陣Pr之間的關(guān)系, 定理2反映了N與基于主效應(yīng)的別名效應(yīng)數(shù)型之間的關(guān)系.

表3 二階別名矩陣P2

由式(9)和式(10～12)得

由文獻(xiàn)[17]可以給出

3 部分最優(yōu)設(shè)計(jì)表格

表4 16次試驗(yàn)的二水平設(shè)計(jì)

由表5可知, 當(dāng)n=7,8,10,13,···,19以及n=22,23,···,28時(shí), 試驗(yàn)次數(shù)為32次的最優(yōu)N設(shè)計(jì)既是M-GMC設(shè)計(jì)又是GMC設(shè)計(jì).212－7,220－15,221－16最優(yōu)N設(shè)計(jì)是M-GMC設(shè)計(jì)但不是GMC設(shè)計(jì).29－4,211－6最優(yōu)N設(shè)計(jì)既不是MGMC設(shè)計(jì)也不是GMC設(shè)計(jì).

表5 32次試驗(yàn)的二水平設(shè)計(jì)

由表6可知, 當(dāng)n=8,···,12,19,20,29,30,31,32時(shí), 試驗(yàn)次數(shù)為64的最優(yōu)N設(shè)計(jì)既是M-GMC設(shè)計(jì)又是GMC設(shè)計(jì).223－17,224－18,228－22最優(yōu)N設(shè)計(jì)是M-GMC設(shè)計(jì)但不是GMC設(shè)計(jì).當(dāng)n=13,···,18,21,22,25,26,27時(shí),最優(yōu)N設(shè)計(jì)既不是M-GMC設(shè)計(jì)也不是GMC設(shè)計(jì).

表6 64次試驗(yàn)的二水平設(shè)計(jì)

4 結(jié)論

本文主要研究2n－m正規(guī)設(shè)計(jì)中主效應(yīng)與其它各階因子之間混雜指標(biāo)集的計(jì)算公式.首先通過(guò)線性回歸模型的最小二乘估計(jì)的偏差得到了主效應(yīng)與r階因子交互效應(yīng)之間的r階別名矩陣Pr.在低階效應(yīng)的基礎(chǔ)上, 提出基于主效應(yīng)的別名效應(yīng)數(shù)型及一般最小低階混雜準(zhǔn)則.分析了r階別名矩陣Pr、混雜指標(biāo)集以及別名效應(yīng)數(shù)型之間的關(guān)系.利用別名矩陣Pr計(jì)算Nr更直觀及簡(jiǎn)潔, 但當(dāng)因子個(gè)數(shù)增加時(shí), 別名矩陣的計(jì)算過(guò)程比較繁雜.在序列N = (N2,···,Nn)中元素N2最重要, 因此通過(guò)M-AENP函數(shù)中#1C(l)2給出N2的計(jì)算公式(定理3及定理4).定理5給出了通過(guò)AENP函數(shù)計(jì)算混雜指標(biāo)集中的元素.最后一節(jié)通過(guò)表格列出試驗(yàn)次數(shù)為16、32及64次試驗(yàn)的二水平設(shè)計(jì)來(lái)比較混雜指標(biāo)集、M-GMC準(zhǔn)則、GMC準(zhǔn)則下的最優(yōu)設(shè)計(jì).