具有時滯的離散Lotka-Volterra合作系統(tǒng)波前解的非線性穩(wěn)定性*

閆 瑞, 劉桂榮, 李曉翠

(1. 山西財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 太原 030006;2. 山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 太原 030006;3. 北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

0 引 言

由專著[1]可知在實(shí)際應(yīng)用中,許多物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、傳染病學(xué)等問題都可以歸結(jié)為反應(yīng)擴(kuò)散方程．所以,研究反應(yīng)擴(kuò)散方程的相關(guān)內(nèi)容對生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)理論具有重要的意義．近年來,關(guān)于具有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的研究是一個重要的課題．因此,本文主要研究如下具有時滯的離散Lotka-Volterra合作系統(tǒng):

(1)

其中x∈,t∈+,D[w(x,t)]=w(x+1,t)+w(x-1,t)-2w(x,t),w=u,v,所有系數(shù)都是正的且時滯τ>0．這里u(x,t)和v(x,t)分別代表x位置和t時刻的人口密度．其初值條件為

(2)

事實(shí)上,系統(tǒng)(1)可以認(rèn)為是如下系統(tǒng)的空間離散化形式:

(3)

顯然,系統(tǒng)(1)有4個可能的平衡點(diǎn)

易知,當(dāng)a1a2-b1b2>0時,ki>0(i=1,2),在系統(tǒng)(3)對應(yīng)的無擴(kuò)散系統(tǒng)中,平衡點(diǎn)(0,0)是不穩(wěn)定的,而平衡點(diǎn)(k1,k2)是穩(wěn)定的．

在離散方程和系統(tǒng)的研究中,行波解的相關(guān)研究也是熱點(diǎn)問題之一．對于系統(tǒng)(1) 的連接(0,0)與(k1,k2)的行波解指的是具有如下形式:

且滿足

關(guān)于不同類型的擴(kuò)散系統(tǒng)的行波解存在性研究已有了大量的結(jié)論,可參考文獻(xiàn)[2-8]．在關(guān)于行波解的研究中,除存在性外,行波解穩(wěn)定性也是一個比較有趣和困難的問題．關(guān)于這方面的研究可參考文獻(xiàn)[9-15]．對于帶有時滯的反應(yīng)擴(kuò)散方程,Schaaf首先通過譜分析方法研究了該類方程的行波解的線性穩(wěn)定性[16]．Mei等[17]則利用加權(quán)L2能量估計(jì)的方法證明了具有時滯的Nicholson方程波前解的非線性穩(wěn)定性．接著,Mei等在文獻(xiàn)[18-20]中應(yīng)用加權(quán)能量法和比較原理,研究了一般的帶有時滯的單穩(wěn)反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的全局穩(wěn)定性．之后,Yu等[21]和Zhang等[22]將加權(quán)能量法證明波前解穩(wěn)定性的方法推廣到不同的非局部擴(kuò)散系統(tǒng)．此外,對于離散擴(kuò)散方程的行波解的穩(wěn)定性的研究可以參考文獻(xiàn)[23-26]．對于離散擴(kuò)散系統(tǒng),最近,Chen等[27]及Su等[28]分別運(yùn)用加權(quán)能量結(jié)合比較原則證明了一個三種群離散擴(kuò)散競爭系統(tǒng)的單穩(wěn)波前解的非線性穩(wěn)定性．而在文獻(xiàn)[29]中,Hsu等運(yùn)用不同的比較定理,研究了一些離散反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)行波解的穩(wěn)定性,這些結(jié)論可以廣泛應(yīng)用到諸如多種群Lotka-Volterra合作模型、流行病模型、三種群Lotka-Volterra競爭模型等．但是,目前關(guān)于系統(tǒng)(1)的波前解穩(wěn)定性并沒有任何的結(jié)論,因此,受文獻(xiàn)[17-20]的啟發(fā),本文將通過加權(quán)能量的方法研究該系統(tǒng)波前解的全局穩(wěn)定性．

本文的主要內(nèi)容安排如下: 第1節(jié)給出了一些預(yù)備知識和符號,并給出了波前解穩(wěn)定性的主要結(jié)果;第2節(jié)給出了穩(wěn)定性的證明;最后給出了本文的結(jié)論．

1 預(yù)備知識和主要結(jié)果

在本節(jié)中,我們將引入一些記號以方便敘述并給出主要結(jié)論．首先,在本文中,C>0代表一個一般的常數(shù),Ci>0代表具體的常數(shù),I是一個區(qū)間,通常I=．其次,L2(I)表示I上的平方可積函數(shù)構(gòu)成的空間,若函數(shù)f(x)且其導(dǎo)數(shù)dif/dxi(i=1,2,…,k)都屬于L2(I),則這些函數(shù)構(gòu)成Sobolev空間Hk(I)(k≥0)．進(jìn)一步,表示加權(quán)的L2空間(ω(x)>0),其范數(shù)為

令T為一個正常數(shù),B是一個Banach空間．C([0,T];B)表示由[0,T]上的B-值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間．L2([0,T];B)表示由[0,T]上的B-值L2-函數(shù)構(gòu)成的空間．[0,∞)上的空間可以類似地給出．

接下來,對于λ>0,c>0,定義

Δi(c,λ)=di(eλ+e-λ-2)-cλ+ri,i=1,2．

引理1[30]存在唯一常數(shù)c*>0使得

1) 對于任意c>c*,Δ1(c,λ)=0有兩個實(shí)根0<λ1(c)<λ2(c),且當(dāng)λ∈(λ1(c),λ2(c)) 時,Δ1(c,λ)<0,當(dāng)λ∈+[λ1(c),λ2(c)] 時,Δ1(c,λ)>0;

2) 對于任意c>c*,Δ2(c,λ)=0有兩個實(shí)根0<λ3(c)<λ4(c),且當(dāng)λ∈(λ3(c),λ4(c))時,Δ2(c,λ)<0,當(dāng)λ∈+[λ3(c),λ4(c)]時,Δ2(c,λ)>0;

3) 對于任意0≤c0,Δi(c,λ)>0,i=1,2．

另外,當(dāng)a1a2-b1b2>0,d1≤d2,r1≤r2時, 對于c>c*, 系統(tǒng)(1)存在連接(0,0)和(k1,k2)的波前解．對于0

在文獻(xiàn)[30]的基礎(chǔ)之上,本文將進(jìn)一步研究系統(tǒng)(1)波前解的穩(wěn)定性．首先給出如下假設(shè):

(A1)a1a2-b1b2>0,d1≤d2,r1≤r2, 2r1-d1>0, 2r2-d2>0;

(A2) 4a1r1k1>2r1(1+2b1k2)+b1r1k1+b2r2k2+d1,

4a2r2k2>2r2(1+2b2k1)+b1r1k1+b2r2k2+d2．

注1 令a1=2,a2=2.5,b1=1,b2=1,r1=1.5,r2=2,d1=0.1,d2=0.2,通過計(jì)算可知假設(shè)(A2)是成立的．

為了給出加權(quán)能量函數(shù)及適當(dāng)?shù)墓烙?jì),在此我們定義如下兩個關(guān)于β的函數(shù):

f1(β)=4a1r1k1-2r1(1+2b1k2)-b1r1k1-b2r2k2-d1(eβ+e-β-1),

f2(β)=4a2r2k2-2r2(1+2b2k1)-b1r1k1-b2r2k2-d2(eβ+e-β-1)．

由假設(shè)(A2),易得

f1(0)=4a1r1k1-2r1(1+2b1k2)-b1r1k1-b2r2k2-d1>0,

f2(0)=4a2r2k2-2r2(1+2b2k1)-b1r1k1-b2r2k2-d2>0．

再由fi(β)(i=1,2)的連續(xù)性,知存在β0>0,使得f1(β0)>0和f2(β0)>0．之后再定義另外兩個關(guān)于ξ的函數(shù):

g1(ξ)=-2r1(1+2b1k2)-b1r1k1-b2r2k2+4a1r1φ(ξ)-d1(eβ0+e-β0-1),

g2(ξ)=-2r2(1+2b2k1)-b1r1k1-b2r2k2+4a2r2ψ(ξ)-d2(eβ0+e-β0-1),

其中(φ(ξ),ψ(ξ))是系統(tǒng)(1)的波前解．易得

于是存在足夠大的ξ0>0,使得

gi(ξ0)>0,i=1,2．

(4)

由上文,我們進(jìn)一步定義如下的關(guān)于β0和ξ0的加權(quán)函數(shù):

最后,我們給出本文的主要結(jié)論,即系統(tǒng)(1)的波前解的指數(shù)穩(wěn)定性．

定理1 假設(shè)(A1)和(A2)成立．令

其中

c1=2r1(1+2b1k2)+b1r1k1+b2r2k2+d1(eβ0+e-β0-1),

c2=2r2(1+2b2k1)+b1r1k1+b2r2k2+d2(eβ0+e-β0-1)．

0≤u0(x,s)≤k1, 0≤v0(x,s)≤k2, (x,s)∈×[-τ,0],

0≤u(x,t)≤k1, 0≤v(x,t)≤k2, (x,t)∈×+,

其中常數(shù)μ>0．

2 穩(wěn)定性的證明

本節(jié)將通過加權(quán)能量的方法證明本文的主要結(jié)論．首先,類似文獻(xiàn)[22,27]中的證明,我們可以給出系統(tǒng)(1)的存在性定理和比較原理．

引理2 假設(shè)a1a2-b1b2>0, 2r1-d1>0, 2r2-d2>0成立,若初始條件滿足

(0,0)≤(u0(x,s),v0(x,s))≤(k1,k2), (x,s)∈×[-τ,0],

那么Cauchy問題(1)、(2)的解存在唯一且滿足

(0,0)≤(u(x,t),v(x,t))≤(k1,k2), (x,t)∈×+．

那么

若(u0(x,s),v0(x,s))滿足

(0,0)≤(u0(x,s),v0(x,s))≤(k1,k2), (x,s)∈×[-τ,0],

令

(5)

那么

(6)

(7)

接下來將分三步來證明主要的結(jié)果．

首先,證明u+(x,t)收斂到φ(x+ct)．令

其中ξ=x+ct．由式(5)和(6),有

(0,0)≤(U(ξ,t),V(ξ,t))≤(k1,k2), (0,0)≤(U0(ξ,s),V0(ξ,s))≤(k1,k2)．

通過計(jì)算易得U(ξ,t),V(ξ,t)滿足

(8)

式(8)的方程兩端分別乘以e2μtω(ξ)U(ξ,t)和e2μtω(ξ)V(ξ,t),其中μ>0待定,可得

-a1r1e2μtωU3+b1r1φe2μtωUV(ξ-cτ,t-τ),

(9)

-a2r2e2μtωV3+b2r2ψe2μtωVU(ξ-cτ,t-τ)．

(10)

因此,對式(9)和式(10)分別關(guān)于ξ和t在×[0,t]上積分可得

(11)

(12)

由Cauchy-Schwarz不等式可得

(13)

其中W=U,V．類似地,對于式(11)和式(12)右端的第二項(xiàng),有

(14)

(15)

將式(13)—(15)代入到式(11)和(12)中,由于對于ξ∈有ω(ξ+cτ)/ω(ξ)≤1,因此

(16)

(17)

結(jié)合式(16)與式(17),可得

(18)

其中

類似地,當(dāng)ξ0-1≤ξ≤ξ0時,此時ω(ξ+cτ)/ω(ξ)≤1．然后可得

當(dāng)ξ0<ξ≤ξ0+1時,此時ω(ξ+cτ)/ω(ξ)=1．然后可得

當(dāng)ξ>ξ0+1時,此時ω(ξ+cτ)/ω(ξ)=1．然后可得

□

引理4 設(shè)μ1>0是如下方程

(19)

證明由于(0,0)≤(φ(ξ),ψ(ξ))≤(k1,k2)及ω(ξ+cτ)/ω(ξ)≤1(ξ∈),因此,當(dāng)0<μ<μ1時,可得

□

然后,將式(19)代入式(18),我們可得如下估計(jì)．

(20)

之后,我們給出Uξ和Vξ在加權(quán)空間中的L2估計(jì)．類似地,對式(8)方程兩端關(guān)于ξ求導(dǎo)并對所得方程的兩邊分別乘以e2μtω(ξ)Uξ(ξ,t)和e2μtω(ξ)Vξ(ξ,t),可得

r1e2μtωUUξ[2a1φ′-b1ψ′(ξ-cτ)-b1Vξ(ξ-cτ,t-τ)]=

r2e2μtωVVξ[2a2ψ′-b2φ′(ξ-cτ)-b2Uξ(ξ-cτ,t-τ)]=

重復(fù)上述證明過程可得引理6．

由引理5和6,可得到如下估計(jì)．

由于ω(ξ)≥1,運(yùn)用Sobolev嵌入定理H1()C(),我們得到如下衰減結(jié)論．

其次,重復(fù)上述證明過程可得引理9．

最后,運(yùn)用擠壓定理并結(jié)合引理8與9,可證明定理1成立．

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用L2-加權(quán)能量方法、比較原理和擠壓技術(shù)得到了具有時滯的離散Lotka-Volterra合作系統(tǒng)波前解的全局指數(shù)穩(wěn)定性,并解決了離散擴(kuò)散算子及時滯共同作用下建立能量估計(jì)的問題．此穩(wěn)定性結(jié)果可以有助于理解解(u,v)漸近地表現(xiàn)為以正速度c傳播的行波解,并且隨著時間t的推移,這兩個物種趨于合作水平．