2022年新高考I卷第22題的一題多解與推廣

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 陳俊陽

2022年新高考數(shù)學I 卷結構穩(wěn)定,第22 題仍然是導數(shù)的應用問題.但與以往常規(guī)的以一個函數(shù)為主體的問題不同,該題考查了兩個函數(shù)的最值問題以及它們圖象與一條直線交點的問題,待證的結論也不再是以往具備套路性的極值點偏移問題,而是三個交點橫坐標成等差數(shù)列.本題中兩函數(shù)聯(lián)系緊密,結構優(yōu)美,結論也耐人尋味.

本文將從不同視角解答此題,并從不同的角度將問題進行推廣,以期得到更一般的結論.

題目(2022年新高考I 卷第22 題)已知函數(shù)f(x)=ex?ax和g(x)=ax?lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

1 一題多解

問題的推廣與變式離不開對解法的研究,因此本節(jié)將從不同視角解決上題,并從問題解決過程中探究問題的本質,進而對問題進行推廣.第(1)問較為常規(guī),下文僅給出簡答.第(2)問需證明存在水平直線與兩函數(shù)圖象有三個交點以及交點橫坐標依次成等差數(shù)列,下文的將分別討論它們的兩個不同解法.

1.1 第(1)問解答求導易得f(x)在(?∞,lna)單調遞減,在(lna,+∞)單調遞增;g(x)在單調遞減,在單調遞增,利用最值相等即可求得a=1.

1.2 第(2)問:三個交點存在性的證明由(1)知,f(x)在(?∞,0)單調遞減,在(0,+∞)單調遞增,g(x)在(0,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,從而y=b與它們至多只有四個交點.當b≤1 時,y=b與它們至多只有兩個交點,不合題意.當b>1 時,由于x →∞時,f(x)→+∞;x →0+和x →+∞時,g(x)→+∞,故y=b與y=f(x)和y=g(x)均有兩個交點.

令h(x)=f(x)?g(x)=ex+ lnx?2x,h′(x)=所以h(x)在(0,+∞)單調遞增.又所以h(x)在(0,+∞)有且僅有一個零點x0∈(e?2,1),從而y=f(x)與y=g(x)的圖象有且僅有一個交點(x0,y0).因此,取b=y0得,y=b與y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,證畢.

1.3 第(2)問:等差數(shù)列的證明

記三交點的橫坐標從左到右分別為x1,x0,x2,滿足f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x1)=b,且有x0?lnx0=b.

1.3.1 視角1:f(x),g(x)結構的相似性

觀察f(x)=ex?x,g(x)=x?lnx的結構注意到:f(lnx)=g(x),g(ex)=f(x). 而x0是兩函數(shù)交點的橫坐標,因此,考慮用x0作為橋梁,表示x1,x2,往證:x1+x2=lnx0+.

解法1由于f(x1)=g(x0)=f(lnx0)=b,且方程f(x)=b有且僅有兩個解x=x1或x0,因此lnx0=x1或x0,若lnx0=x0,則b=x0?lnx0=0,舍去.因此x1=lnx0.由于g(x2)=f(x0)==b,同理可得所以證畢.

1.3.2 視角2:考慮x1,x2 與x0 的距離

若學生觀察不出f(x),g(x)結構的相似性,則分別求出x1,x2與x0的距離,證明它們是相等的,即得三者成等差數(shù)列.

解法2一方面,設x1=x0?n,n >0,由f(x0)=f(x1)=f(x0?n)得從而

另一方面,設x2=x0+m,m >0,同理可得m=b,從而x2=x0+b.所以證畢.

1.3.3 視角3:先猜后證

畫出f(x),g(x),y=b的草圖后,注意到x1,x2與x0的距離相等,且等于b,于是猜測x1=x0?b,x2=x0+b,因此只需證明f(x0?b)=f(x0),g(x0+b)=g(x0).

解法3一方面,由于

故f(x0?b)=f(x0). 又方程f(x)=b有且只有兩個解x1,x0,故x0?b=x0或x1,又因為b>1,所以

另一方面,由于

故g(x0+b)=g(x0).同理可得

綜合②③可得,x1+x2=2x0,證畢.

1.3.4 視角4:無字證明

解法4由圖1 易見,當BC⊥x軸時,y=b與曲線y=f(x),y=g(x)共有三個不同的交點.又由反函數(shù)的對稱性知四邊形ABCD為矩形,故A,D到BC的距離相等,即x0?x1=x2?x0,從而原命題得證.

圖1

這樣的“無字證明”從直觀上揭示了本題優(yōu)美的幾何背景,但幾何直觀在邏輯推理中缺乏思維的嚴謹性,無法取代代數(shù)的合理運算過程[1].因此,從幾何直觀的視角解決本題仍需結合嚴謹?shù)拇鷶?shù)運算分四步進行證明:(1)結合y=ex,y=lnx的凹凸性,證明當b>1 時,y=x+b,y=x?b分別與y=ex,y=lnx有兩個不同的交點;(2)通過證明方程ex+lnx?2x=0 有唯一解(2.1 的做法)得到存在b>1,使得BC⊥x軸;(3)利用反函數(shù)的特征,證明兩互為反函數(shù)圖象對應的交點也關于y=x對稱,從而得到四邊形ABCD為矩形;(4)最后利用矩形的性質即證得原命題.

2 問題的推廣

首先,b的不同取值,決定了交點個數(shù)的不同,那么當y=b與y=f(x)和y=g(x)共有四個交點時,四個點的橫坐標是否也有類似的等量關系?

其次,如果將f(x)=ex?x,g(x)=x?lnx差的結構變?yōu)樯痰男问?結論會不會從等差數(shù)列變?yōu)榈缺葦?shù)列呢?

再者,f(x),g(x)兩函數(shù)的結構相似,成立f(lnx)=g(x),g(ex)=f(x)的原因是y=ex與y=lnx互為反函數(shù),y=x正是它們的對稱軸,因此,如果將y=ex,y=lnx換成互為反函數(shù)的兩個函數(shù),結論是否仍然成立? 下面將圍繞著這三個問題展開探究.

2.1 視角1:交點個數(shù)

下面從交點個數(shù)的視角對問題進行推廣.首先考慮三者交點個數(shù)的所有情況,并針對四個交點的情形探究它們橫坐標之間的關系.于是得到:

推廣1設f(x)=ex?x,g(x)=x?lnx,記y=b與y=f(x),y=g(x)的交點個數(shù)為α,則y=f(x)與y=g(x)有唯一交點(x0,y0),并且當b <1 時,α=0;當b=1 時,α=2;當b=y0時,α=3;當b>y0或1

推廣2直線y=b與f(x)=ex?x和g(x)=x?lnx分別交于(x1,b),(x2,b)(x1

證明由f(x1)=g(x4)=f(lnx4),且方程f(x)=b有且僅有兩個解x=x1或x2,故lnx4=x1或x2.同理可得lnx3=x1或x2.又x1

進而x3?x1=x4?x2,即x1+x4=x2+x3,證畢.

注將交點個數(shù)從3 推廣到4 后發(fā)現(xiàn),原題第(2)問的結論是推廣2 的退化形式(即x2=x3).

2.2 視角2:函數(shù)結構變式

和差與積商通常對應著等差與等比,所以下面將函數(shù)變?yōu)樯痰慕Y構,結論也相應變?yōu)榈缺葦?shù)列:

推廣3直線分別交于(x1,b),(x2,b)(x1

證明因為直線交于(x1,b),(x2,b)兩點,從而進而又由于f(lnx)=g(x),f(x)=g(ex),故與推廣2 的證明同理可得即x1x4=x2x3,證畢.

當其中兩點重合時,得到與原命題對偶的命題:

推論1直線從左到右交于(x1,b),(x2,b),(x3,b)三點,則x1,x2,x3成等比數(shù)列,即

2.3 視角3:函數(shù)一般化

2.3.1 將y=ex,y=lnx 推廣為一般函數(shù)φ(x)

互為反函數(shù)的兩函數(shù)復合是恒等映射,即φ[φ?1(x)]=x.于是設f(x)=φ(x)?x,g(x)=x?φ?1(x),也能得到同樣的結論:

推廣4設f(x)=φ(x)?x,g(x)=x?φ?1(x).若存在直線y=b,使之與y=f(x)和y=g(x)的圖象均有兩個交點,且在y=b這一水平高度處,y=f(x)與y=g(x)有唯一的公共點(x0,b)(其中φ(x0)x0),則此時直線y=b與y=f(x)和y=g(x)的圖象共有三個交點,且x0是另外兩交點橫坐標的等差中項.

證明設另外兩個交點的橫坐標為x1,x2,滿足f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)=b,且由f(x0)=g(x0)得φ(x0)?x0=x0?φ?1(x0),即

而f(x),g(x)滿足f(x)=φ(x)?x=φ(x)?φ?1[φ(x)]=g[φ(x)],同理g(x)=f[φ?1(x)].

由于b=f(x1)=g(x0)=f[φ?1(x0)],而方程f(x)=b有且只有兩個解x=x1或x0,又φ(x0)x0,故φ?1(x0)?=x0,從而

另一方面b=g(x2)=f(x0)=g[φ(x0)],同理可得

結合④～⑥可得x1+x2=2x0,證畢.

對于四個交點的情形,也有同樣的結論:

推廣5直線y=b與f(x)=φ(x)?x和g(x)=x?φ?1(x)分別交于(x1,b),(x2,b)(x1

證明與推廣4 同理可得f(x)=g[φ(x)],g(x)=f[φ?1(x)].

由于f(x1)=g(x3)=f[φ?1(x3)],方程f(x)=b有且僅有兩個解x=x1或x2,故φ?1(x3)=x1或x2.同理可得φ?1(x4)=x1或x2.又x1

注推廣4 是推廣5 的退化形式(即x2=x3).

推廣6直線分別交于(x1,b),(x2,b)(x1

證明與推廣3 和推廣5 的證明同理,略.

2.3.2 將y=x 推廣為一般的一次函數(shù)y=kx+m

由于y=x恰為兩互為反函數(shù)的函數(shù)圖像的對稱軸,進一步將f(x)=φ(x)?x的第二項x推廣為一般的一次函數(shù)y=kx+m,則得到更一般的結論:

推廣7設f(x)=φ(x)?kx?m,g(x)=x?kφ?1(x)?m.若存在直線y=b,使之與y=f(x)和y=g(x)的圖象均有兩個交點,且在y=b這一水平高度處,y=f(x)與y=g(x)有唯一的公共點(x0,b)(其中φ(x0)x0),則此時直線y=b與y=f(x)和y=g(x)圖象的三個交點x1,x0,x2滿足kx1+x2=(k+1)x0.

證明由于f(x)=g[φ(x)],g(x)=f[φ?1(x)],與推廣3 的同理可得x1=φ?1(x0),x2=φ(x0). 又由f(x0)=g(x0)得φ(x0)+kφ?1(x0)=(k+ 1)x0,從而kx1+x2=(k+1)x0,證畢.

注推廣4 是推廣7 的特殊情形(k=1).

推廣8直線y=b與f(x)=φ(x)?kx?m,g(x)=x?kφ?1(x)?m分別交于(x1,b),(x2,b)(x1

證明與推廣7 的證明類似,略.

注推廣8 是推廣2,4,5,7 的最一般形式.

3 研究展望

以上不同的解法與推廣從不同的視角揭示了本題的背景與本質,最終給出一般性的結論,這為模擬題命制與變式教學提供了豐富的素材,也提供了數(shù)學問題研究的一種范式.

此外,讀者還可以進一步探究:(1)當y=b與f(x)=φ(x)?x和g(x)=x?φ?1(x)有四個不同交點時,除了x1+x4=x2+x3,其橫坐標之間存在哪些具備優(yōu)美對稱性的等量或不等關系?(2)設f(x)=φ(x)?x+m(x),g(x)=x?φ?1(x)+n(x),當m(x)與n(x)滿足什么條件時,也能得到哪些具備優(yōu)美對稱性的對稱等量或不等關系?(3)如果改變函數(shù)的具體表達式或結構,使交點個數(shù)進一步推廣到n或2n,能否仍然得到類似的結論?(4)若兩函數(shù)y=α(x)與y=β(x)關于直線y=kx+b(k ?=0)對稱,再用一條水平直線(或一般直線)去截曲線f(x)=α(x)?(kx+b)與g(x)=kx+b?β(x),所得交點的橫坐標有沒有類似的結論? 若沒有,那么f(x),g(x)的表達式應如何調整,才有具有對稱美的等量或不等關系?