多孔石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料截錐殼的動(dòng)力穩(wěn)定性

黃小林,李糧杰,張燕寧,馬 彬

(桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院,廣西 桂林 541004)

0 引 言

石墨烯增強(qiáng)功能梯度復(fù)合材料(Functionally Graded Graphene Platelets Reinforced Composites,FG-GPLs)是由石墨烯納米片作為增強(qiáng)相沿一個(gè)或多個(gè)方向梯度分布于基體材料而制成的復(fù)合材料[1-3].相比于傳統(tǒng)材料,FG-GPLs結(jié)構(gòu)具有更加優(yōu)異的物理機(jī)械性能,重量更輕,承載能力更高,可用于航天航空飛行器、潛艇、高速列車(chē)等工程結(jié)構(gòu).

目前關(guān)于FG-GPLs殼體穩(wěn)定性的研究有有限元、Galerkin法等解析法和數(shù)值法.由于彈性模量等材料的物性參數(shù)在厚度等某一個(gè)/多各方向連續(xù)變化,用有限元分析往往需采用三維有限元,節(jié)點(diǎn)很多,計(jì)算量較大,故對(duì)于形狀規(guī)則的FG-GPLs殼體結(jié)構(gòu),在建立其靜/動(dòng)力穩(wěn)定的控制方程后用Garleikin法等解析法更簡(jiǎn)便.例如,Ansari等[4]用解析法研究了FG-GPLs圓筒殼的后屈曲問(wèn)題,討論了長(zhǎng)徑比和石墨烯分布模式對(duì)臨界屈曲荷載的影響.Sun等[5]用辛分析法研究了多層FG-GPLs圓筒殼的扭轉(zhuǎn)屈曲,發(fā)現(xiàn)殼體長(zhǎng)度對(duì)臨界屈曲荷載的影響較大,而殼體厚度的影響較小.此外,Chen等[6]分析過(guò)彈性介質(zhì)中FG-GPLs夾心圓筒殼的屈曲特性,發(fā)現(xiàn)彈性介質(zhì)對(duì)殼體屈曲行為有顯著影響.由于制備技術(shù)的不足,FG-GPLs材料中常存在孔隙,且孔隙會(huì)影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[7].因此,孔隙對(duì)殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響是研究者們關(guān)注的焦點(diǎn).基于Garleikin法,Shahgholian等[8]通過(guò)研究軸向荷載激勵(lì)下含孔隙的FG-GPLs圓筒殼的屈曲特性,發(fā)現(xiàn)殼體邊界條件和石墨烯納米片的幾何尺寸對(duì)臨界屈曲荷載有較大影響.Zhou等[9]通過(guò)數(shù)值法和實(shí)驗(yàn)分析含孔隙的FG-GPLs圓筒殼的非線性屈曲,發(fā)現(xiàn)殼體的邊界條件和面內(nèi)約束對(duì)屈曲行為有顯著影響.基于最小勢(shì)能原理,Li等[10]研究了均勻徑向荷載下含孔隙的FG-GPLs圓筒殼屈曲失效機(jī)理,得出孔隙會(huì)降低圓筒殼的臨界屈曲壓力.文獻(xiàn)[11-12]采用一階剪切變形理論研究了多孔FG-GPLs圓筒殼的屈曲行為,結(jié)果發(fā)現(xiàn)側(cè)向壓力和孔隙分布模式對(duì)圓筒殼臨界屈曲荷載有較大影響.

綜上所述,目前關(guān)于FG-GPLs殼體穩(wěn)定性的研究大都集中于圓筒殼的屈曲,對(duì)圓錐殼特別是多孔截錐殼動(dòng)力穩(wěn)定性的研究很少,而且對(duì)多孔FG-GPLs材料的物性參數(shù)均直接假定了物性參數(shù)的分布.因此,本文根據(jù)孔隙的分布假定孔隙的體積組分,基于Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型計(jì)算物性參數(shù),并通過(guò)Boltin法分析軸向激勵(lì)和彈性介質(zhì)作用下FG-GPLs截錐殼的動(dòng)力穩(wěn)定性,為該類(lèi)殼體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ).

1 截錐殼模型

圖1 彈性介質(zhì)中FG-GPLs截錐殼 Fig.1 FG-GPLs truncated conical shell in elastic medium

如圖1所示,采用正交曲線坐標(biāo)系(s,θ,z),彈性介質(zhì)中的石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料截錐殼受沿s軸方向均勻分布的周期荷載Fs(t)作用:

Fs(t)=FS+FDcos(ξt)

(1)

式中,FS為靜載荷部分,FD為動(dòng)載荷部分,ξ為激勵(lì)頻率.

設(shè)截錐殼臨界屈曲荷載為Fcr,引入靜載系數(shù)α=FS/Fcr和動(dòng)載系數(shù)β=FD/Fcr,則有:

Fs(t)=[α+βcos(ξt)]Fcr

(2)

設(shè)殼體的半錐角、錐段長(zhǎng)度和厚度分別為γ、L和h,小頭半徑和大頭半徑分別為R1和R2,撓度為w,彈性介質(zhì)的壓縮剛度和剪切剛度分別為Kw和Kp.忽略介質(zhì)中阻尼和慣性力的影響,彈性介質(zhì)對(duì)截錐殼的反作用力表示為:

式中,w為殼體中面的撓度。

由于金屬等基體材料自身的原因或現(xiàn)有材料合成技術(shù)不足,FG-GPLs往往會(huì)產(chǎn)生孔隙,孔隙的分布類(lèi)型也多種多樣.為簡(jiǎn)化起見(jiàn),本文只研究沿厚度方向的3種典型分布,如圖2所示.圖2(a)中P1為孔隙由中面向內(nèi)外表面逐漸減少的類(lèi)型;圖2(b)中P2為孔隙由中面向內(nèi)外表面逐漸增大的類(lèi)型;圖2(c)中P3為均勻分布類(lèi)型.石墨烯納米片沿厚度方向的分布有5種類(lèi)型,如圖3所示:從中面向內(nèi)外表面逐漸非線性增多的G1型,從中部向內(nèi)外表面非線性減小的G2型、均勻分布的G3型,從中面到內(nèi)、外表面線性增多的G4類(lèi)型和從中面向內(nèi)外表面線性減少的G5型.圖3中Si1、Si2、Si3、Si4和Si5分別為G1、G2、G3、G4和G5石墨烯分布下石墨烯體積含量的最大值.

(a) G1分布 (b) G2分布 (c) G3分布 (d) G4分布 (e) G5分布

假設(shè)孔隙的體積組分:

(4)

截錐殼的密度:

式(4)和式(5)中:κ0、κ1和λ分別為P1、P2和P3分布的孔隙系數(shù),ρ*為不含內(nèi)部孔隙石墨烯增強(qiáng)截錐殼的密度,χ0,χ1和λ′分別為P1,P2和P3分布質(zhì)量密度系數(shù).

截錐殼的有效彈性模量、泊松比和剪切模量可表示為:

E(z)=E*(1-VP)

(6)

v(z)=v*(1-VP)

(7)

G(z)=G*(1-VP)

(8)

式中,E*、v*和G*分別為無(wú)孔隙截錐殼的楊氏彈性模量、泊松比和剪切模量.

由泡沫金屬材料的彈性模量和密度之間的關(guān)系

由式(9)可得質(zhì)量密度系數(shù)和孔隙系數(shù)的關(guān)系:

由(10)可看出,給定孔隙體積的分布系數(shù)κ0、κ1和λ可分別計(jì)算質(zhì)量密度系數(shù)χ0、χ1和λ′.

假設(shè)不同孔隙分布?xì)さ目傎|(zhì)量相同,有:

根據(jù)式(11),給定孔隙系數(shù)(如κ0),其他孔隙系數(shù)可以確定.

無(wú)孔隙截錐殼的彈性模量、泊松比和密度分別用修正的Halpin-Tsai細(xì)觀模型和混合律表示如下:

(12)

ν*=νGPLVGPL+νm(1-VGPL)

(13)

ρ*=ρGPLVGPL+ρm(1-VGPL)

(14)

式中:Em為基體材料的彈性模量,VGPL為石墨烯的體積組分,ρGPL和νGPL分別為石墨烯的質(zhì)量密度和泊松比,而ρm和νm分別為基體材料所對(duì)應(yīng)的值.ξL,ηL,ξW和ηW定義為:

(15)

(16)

式中:aGPL、bGPL、hGPL分別為石墨烯納米片的長(zhǎng)、寬、高.

石墨烯的體積組分VGPL假設(shè):

(17)

設(shè)5種GPL分布中石墨烯總含量相等,則有:

(18)

式中,ΛGPL為石墨烯的體積組分,可由質(zhì)量組分WGPL計(jì)算:

2 控制方程及求解

引入變量φ=θsin(γ)和應(yīng)力函數(shù)Φ.應(yīng)力函數(shù)與面內(nèi)力的關(guān)系為:

令s=S1ex,Φ=Φ1e2x,根據(jù)Donnell經(jīng)典薄殼理論和Hamilton原理,可推導(dǎo)截錐殼振動(dòng)的控制方程:

(21)

H21(Φ1)+H22(w)=0

(22)

設(shè)截錐殼的邊界條件為兩端簡(jiǎn)支,則當(dāng)x=0和x=x0時(shí),w=Mx=0,其動(dòng)撓度的形式解設(shè)為:

將式(23)代入式(22),由諧波平衡法可得應(yīng)力函數(shù)的形式解:

(24)

式中,系數(shù)K1～K4見(jiàn)文獻(xiàn)[13].將式(23)和(24)代入式(21),兩邊同乘以exsin(m1x)sin(n1φ),并進(jìn)行Galerkin積分可得二階線性微分方程組:

式中:M、Km和Kg分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和幾何矩陣,δ為位移系數(shù)向量即為[w11(t),w12(t),…,wm1n1(t),…].

式(25)為經(jīng)典的Mathieu-Hill方程,描述了截錐殼在周期動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力穩(wěn)定行為.用Bolotin方法分析FG-GPLs殼體的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域.為求某一模態(tài)(m,n)下截錐殼的動(dòng)力非穩(wěn)定區(qū)域,將此模態(tài)下的δm1n1展開(kāi)為奇數(shù)階傅里葉級(jí)數(shù),有:

式中:δ周期為2Tθ,Tθ=2π/ξ.

若將δ展開(kāi)為偶數(shù)階傅里葉級(jí)數(shù),則有:

式(26)和(27)中,ak和bk均為待定系數(shù).

對(duì)中面對(duì)稱(chēng)的混合板殼,根據(jù)非穩(wěn)定區(qū)域的計(jì)算方法,周期為2Tθ的非穩(wěn)定區(qū)域比周期為T(mén)θ的更大[14],故本文只考慮周期為2Tθ的解.由于:

(28)

將式(28)～(29)代入式(26),由待定系數(shù)ak的正弦和余弦系數(shù)分別相等可得以下方程組:

將式(28)～(29)代入式(27),由系數(shù)bk的正弦和余弦系數(shù)分別相等可得以下方程組:

(32)

上述方程組如果有非平凡解,其系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行列式應(yīng)為零.若取一階項(xiàng)k=1能滿足精度要求,有:

其非平凡解應(yīng)滿足:

給定靜荷載系數(shù)α,由公式(35)可計(jì)算動(dòng)荷載參數(shù)β下截錐殼的臨界激勵(lì)頻率,并得到非穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線β-ξ,β=0時(shí)的激勵(lì)頻率為臨界激勵(lì)頻率.

3 算例比較和參數(shù)分析

表1 各向同性截錐殼頻率參數(shù)Ω的比較

圖4顯示了石墨烯增強(qiáng)圓筒殼固有頻率隨全波數(shù)n的變化曲線,并與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.當(dāng)γ→0,S1→∞,S1sinγ=R,S2=S1+L,x0=L/S1時(shí),截錐殼近似簡(jiǎn)化為圓筒殼.其中,石墨烯的彈性模量EGPL= 1 020 GPa,泊松比vGPL=0.3,密度ρGPL= 2 300 kg/m3.基體材料彈性模量Em=3 GPa,泊松比vm=0.34,密度ρm= 1 200 kg/m3.圓筒殼厚度h=2 mm,R/h=80,L/R=5,半波數(shù)m=1,石墨烯質(zhì)量含量WGPL=1%,孔隙系數(shù)e0=0.2.圖5計(jì)算了無(wú)空隙的石墨烯增強(qiáng)圓筒殼在軸向動(dòng)荷載作用下的非動(dòng)力穩(wěn)定區(qū)域,并與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.圓筒殼的物性參數(shù)同圖4,圓筒殼尺寸h=15×10-4m,R/h=20,L/h=10,取模態(tài)(m,n)=(1,1).

從前面的3個(gè)對(duì)比算例可看出,本文計(jì)算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果是比較接近的,說(shuō)明本文的計(jì)算方法比較可靠,下面討論石墨烯、孔隙等各種參數(shù)對(duì)石墨烯增強(qiáng)圓錐殼動(dòng)力穩(wěn)定的影響.

圖4 多孔石墨烯增強(qiáng)圓筒殼的固有頻率

3.2 參數(shù)分析

圖6顯示了半波數(shù)m和全波數(shù)n對(duì)臨界激勵(lì)頻率ξ*的影響.由圖可看出,臨界激勵(lì)頻率ξ*隨著半波數(shù)m的增大而增大.當(dāng)全波數(shù)n從1變化到6時(shí),臨界激勵(lì)頻率ξ*也隨之增大,而當(dāng)n大于6時(shí),臨界激勵(lì)頻率隨n的增大而減小,可見(jiàn)在模態(tài)(m,n)=(1,6)時(shí),臨界激勵(lì)頻率取得最小值.因此,后面的參數(shù)分析中取(m,n)=(1,6).

圖6 半波數(shù)m和全波數(shù)n對(duì)臨界激勵(lì)頻率的影響Fig. 6 Effects of half-wave number and full-wave number on critical excitation frequency

圖7反應(yīng)了石墨烯和孔隙分布模式對(duì)非穩(wěn)定區(qū)域的影響.P1分布下5種石墨烯分布的臨界激勵(lì)頻率分別為1.028、0.952、0.981、1.012和0.970,P2分布為1.009、 0.942、 0.966、 0.995和0.957,P3分別為1.021、0.948、0.976、1.006和0.965.可見(jiàn),在5種石墨烯分布中,G1分布的臨界激勵(lì)頻率最大,G2分布的最小.而在3種孔隙分布模式中,P1分布的臨界激勵(lì)頻率最大,P2分布的最小.從圖還可以得到,石墨烯和孔隙的分布模式對(duì)截錐殼的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域也有影響.在5種石墨烯分布中,G2的穩(wěn)定區(qū)域最大,G1的最小.可見(jiàn),G2的動(dòng)力穩(wěn)定性最好.

半錐角對(duì)非穩(wěn)定區(qū)域的影響如圖8所示.半錐角為10°、30°、50° 和70°時(shí),臨界激勵(lì)頻率分別為0.929、1.028、1.021和0.946,Δl為0.635、0.703、0.698和0.647.可見(jiàn),半錐角為30°時(shí),臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域最大,穩(wěn)定性最弱.

(a) P1 (b) P2 (c) P3

圖9分別考慮了靜載系數(shù)α=0,軸向壓力α=0.3和α=0.5,軸向拉力α=-0.5和α=-0.3對(duì)非穩(wěn)定區(qū)域的影響.在軸向壓力作用下,臨界激勵(lì)頻率隨軸向壓力的增大而變小,而非穩(wěn)定區(qū)域隨軸向壓力的增大而增大.在軸向拉力作用下,臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域均隨軸向拉力的增大而增大.

圖8 不同半錐角的非穩(wěn)定區(qū)域

圖9 不同靜載系數(shù)的非穩(wěn)定區(qū)域Fig. 9 Unstable regions under different static loads coefficients

圖10顯示了石墨烯含量對(duì)非穩(wěn)定區(qū)域的影響.隨著石墨烯質(zhì)量含量的提高,臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域都增大,可見(jiàn),石墨烯在提高截錐殼剛度的同時(shí)削弱了其穩(wěn)定性.

如圖11所示,當(dāng)孔隙系數(shù)κ0從0.1變化到0.5時(shí),臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域變化很小,對(duì)截錐殼的動(dòng)力穩(wěn)定性可以忽略.

彈性介質(zhì)對(duì)非穩(wěn)定區(qū)域的影響如圖12所示.壓縮和剛度參數(shù)(Kw,Kp)取(10,0)、(0,1)時(shí),臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域比(0,0)大,且剪切參數(shù)Kp比壓縮參數(shù)Kw對(duì)動(dòng)力穩(wěn)定的影響更大.

圖10 不同石墨烯含量的非穩(wěn)定區(qū)域

圖11 不同孔隙系數(shù)的非穩(wěn)定區(qū)域

圖12 不同彈性介質(zhì)的非穩(wěn)定區(qū)域Fig.12 Unstable regions under different elastic medium

4 結(jié) 論

本文基于孔隙的體積組分,根據(jù)Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型計(jì)算了多孔FG-GPLs截錐殼的物性參數(shù),用Boltin法計(jì)算了動(dòng)力穩(wěn)定區(qū)域的解析解,并討論了石墨烯、孔隙等因素對(duì)截錐殼動(dòng)力穩(wěn)定的影響.主要結(jié)論如下:

1)3種孔隙分布中,P1類(lèi)型孔隙分布的臨界激勵(lì)頻率最大,在5種石墨烯分布中,G2分的臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域均最大;

2)軸向壓力降低了截錐殼的臨界激勵(lì)頻率,而軸向拉力增大了臨界激勵(lì)頻率;

3)臨界激勵(lì)頻率和非穩(wěn)定區(qū)域隨石墨烯質(zhì)量含量的增大而增大;

4)在10°、30°、50°和70°半錐角中,30°的臨界激勵(lì)頻率最大,但穩(wěn)定性最差.

5)與壓縮剛度相比,剪切剛度對(duì)截錐殼的動(dòng)力穩(wěn)定性影響更顯著.