從中考題透視函數(shù)的廣泛應(yīng)用性

文／陳麗

函數(shù)應(yīng)用題的考查形式多樣，筆者以為可大致分為以下三類：生活情境類函數(shù)問題、跨學(xué)科情境類函數(shù)問題、數(shù)學(xué)情境類函數(shù)問題。

一、鏈接生活，品函數(shù)應(yīng)用

例1（2022·山東濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10 元，若每件按20 元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360 件；若每件按30 元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60 件。假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)。

（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤。

【解析】（1）題目已明確函數(shù)類型，根據(jù)所給條件用待定系數(shù)法易求得一次函數(shù)表達(dá)式為y=-30x+960（10≤x≤32）。（2）該題是典型的利用二次函數(shù)求最值問題。根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，即每月總利潤=每件利潤×每月的銷售件數(shù)，可得每月獲得的利潤w=（-30x+960）（x-10），配方得w=-30（x-21）2+3630，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)以及自變量取值范圍易知，當(dāng)銷售價(jià)格x定為21元時(shí)，每月獲得的利潤最大，最大利潤為3630元。

【點(diǎn)評】對于生活情境類題型，同學(xué)們需仔細(xì)審題，厘清題目中各數(shù)量之間的關(guān)系，再構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式解決問題。同時(shí)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，需不斷累積生活經(jīng)驗(yàn)，熟悉具體的生活情境，了解生活中常見數(shù)量關(guān)系，如：路程=速度×?xí)r間，工作總量=工作效率×工作時(shí)間，利息=本金×利率×期數(shù)等。在解題過程中還需注意結(jié)合生活實(shí)際考慮自變量的取值范圍。

二、跨界合作，覓函數(shù)蹤影

例2（2022·浙江臺州）如圖1，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時(shí)，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當(dāng)x=6時(shí)，y=2。

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若火焰的像高為3cm，求小孔到蠟燭的距離。

圖1

【解析】（1）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法易求得反比例函數(shù)表達(dá)式為。（2）把y=3代入函數(shù)表達(dá)式，得x=4，即小孔到蠟燭的距離為4cm。

【點(diǎn)評】此類題型屬于跨學(xué)科情境類問題，是中考的一個(gè)新趨向。本題以物理學(xué)科知識為背景，可從小孔成像原理中挖掘數(shù)學(xué)問題。

三、數(shù)形結(jié)合，顯函數(shù)魅力

例3（2022·江蘇揚(yáng)州）如圖2是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8dm?，F(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：

（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；

（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；

（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由。

圖2

圖3

（2）如圖4，設(shè)矩形落在AB上的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n，0）（0＜n＜4），則可利用已求的二次函數(shù)表達(dá)式表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可表示出矩形邊FE的長度為，易求得矩形的周長C與n的函數(shù)表達(dá)式為C=-n2+4n+16，配方得C=-（n-2）2+20，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)以及自變量取值范圍，得當(dāng)n=2 時(shí)，矩形周長最長，最長為20dm。

圖4

圖5

【點(diǎn)評】本題雖然以生活實(shí)際為背景，但主要是數(shù)學(xué)內(nèi)部知識即幾何與函數(shù)相結(jié)合的一道綜合題，考查了二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及正方形、矩形、圓與二次函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)。此類問題的解決，除了需要熟練掌握各種幾何圖形的性質(zhì)，準(zhǔn)確提取問題的關(guān)鍵條件，結(jié)合相關(guān)知識轉(zhuǎn)化問題、構(gòu)建模型之外，還需要利用數(shù)形結(jié)合的方法來幫助解決問題。