搭起函數(shù)學(xué)習(xí)的“腳手架”
——代數(shù)推理

文／韓衛(wèi)華

解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，常常是借助函數(shù)圖像研究數(shù)量關(guān)系，代數(shù)推理恰好是以“形”助“數(shù)”的“腳手架”。加強(qiáng)代數(shù)推理學(xué)習(xí)，能夠加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解。下面以2022年中考試卷中部分試題為例，一起探討函數(shù)學(xué)習(xí)中的代數(shù)推理能力的培養(yǎng)，供同學(xué)們參考。

一、通過(guò)函數(shù)表達(dá)式變形，建立數(shù)量關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算推理

例1（2022·浙江杭州節(jié)選）設(shè)二次函數(shù)y1=2x2+bx+c（b、c是常數(shù)）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)。若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1=2（x-h）2-2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值。

【解析】化簡(jiǎn)y1=2（x-h）2-2，得y1=2x2-4hx+2h2-2，所以b=-4h，c=2h2-2。故b+c=2h2-4h-2=2（h-1）2-4，因此當(dāng)h=1 時(shí)，b+c有最小值，最小值是-4。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的兩種不同表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化，將頂點(diǎn)式化為一般式，分別得到b、c關(guān)于h的表達(dá)式，從而建立“b+c”與“h”之間的函數(shù)關(guān)系：b+c=2（h-1）2-4，它是關(guān)于h的二次函數(shù)，當(dāng)h=1時(shí)，b+c有最小值，最小值是-4。

二、通過(guò)數(shù)形結(jié)合，建立數(shù)量關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算推理

例2（2022·浙江湖州節(jié)選）如圖1，已知四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3 的正方形，P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AP交OC于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)。設(shè)BP=m，CM=n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值。

圖1

【解析】由題意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠C=90°。

所以Rt△ABP∽R(shí)t△PCM。

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了相似三角形的判定，可根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于m、n的關(guān)系式，從而建立二次函數(shù)模型，求出其最大值。

三、通過(guò)函數(shù)新定義，建立數(shù)量關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算推理

例3（2022·江蘇泰州）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1=ax+b、y2=cx+d，我們稱函數(shù)y=m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）為函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”。

（1）若m=3、n=1，試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)y1=x+1、y2=2x-1 的“組合函數(shù)”，并說(shuō)明理由。

（2）設(shè)函數(shù)y1=x-p-2與y2=-x+3p的圖像相交于點(diǎn)P。

①若m+n＞1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖像的上方，求p的取值范圍；

②若p≠1，函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。是否存在大小確定的m值，對(duì)于不等于1的任意實(shí)數(shù)p，都有“組合函數(shù)”圖形與x軸交點(diǎn)Q的位置不變？若存在，請(qǐng)求出m的值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）當(dāng)m=3、n=1 時(shí)，3（x+1）+（2x-1）=3x+3+2x-1=5x+2，即y=5x+2=3（x+1）+（2x-1），所以函數(shù)y=5x+2 是函數(shù)y1=x+1、y2=2x-1的“組合函數(shù)”。

（2）①故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2p+1，p-1）。因?yàn)閥1、y2的“組合函數(shù)”為y=m（x-p-2）+n（-x+3p），所以當(dāng)x=2p+1 時(shí)，y=m（2p+1-p-2）+n（-2p-1+3p）=（p-1）（m+n）。因?yàn)辄c(diǎn)P在函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”圖像的上方，所以p-1＞（p-1）（m+n），即（p-1）［1-（m+n）］＞0。由于m+n＞1，故1-（m+n）＜0，所以p-1＜0，因此p＜1。

（2）②函數(shù)y1、y2的“組合函數(shù)”y=m（xp-2）+n（-x+3p）圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以p-1=m（2p+1-p-2）+n（-2p-1+3p），得（p-1）（1-m-n）=0。因?yàn)閜≠1，所以1-m-n=0，n=1-m。所以y=m（x-p-2）+n（-x+3p）=m（x-p-2）+（1-m）（-x+3p）=（2m-1）x+3p-（4p+2）m。令y=0，得（2m-1）x+3p-（4p+2）m=0，變形整理，得（3-4m）p+（2m-1）x-2m=0。故當(dāng)3-4m=0，即。所以x=3。因此，當(dāng)m=時(shí)，“組合函數(shù)”圖像與x軸交點(diǎn)Q的位置不變，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的特征、一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)”的定義。