一道函數(shù)題的衍生與延展

文／姜鴻雁

再?gòu)?fù)雜的問(wèn)題都是由簡(jiǎn)單的、基本的問(wèn)題演變而來(lái)的。同學(xué)們只要立足基本知識(shí)和基本技能，把握基本數(shù)學(xué)思想，注意積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，便可以“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

【題根】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有A（2，-3）、B（-1，0）、C（0，-3），分析并解決下面的系列問(wèn)題。

一、三個(gè)定點(diǎn)完成“基本框架”

【要求1】提一個(gè)關(guān)于反比例函數(shù)的問(wèn)題，并解決它。

【問(wèn)題1】求過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)表達(dá)式。

【解析】反比例函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，只能通過(guò)點(diǎn)A提相關(guān)問(wèn)題。運(yùn)用待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y1=-（為了后續(xù)研究的方便，記作函數(shù)“y1”）。

【要求2】運(yùn)用其中兩個(gè)點(diǎn)提出關(guān)于一次函數(shù)的問(wèn)題，并解決它。

【問(wèn)題2】求過(guò)A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式。

【解析】根據(jù)一次函數(shù)的概念，可以選擇點(diǎn)A和點(diǎn)B或點(diǎn)B和點(diǎn)C，我們這里選擇求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的一次函數(shù)表達(dá)式。運(yùn)用待定系數(shù)法，不難求得y2=-x-1。

【問(wèn)題3】結(jié)合問(wèn)題1、2的結(jié)論，試寫出當(dāng)y1＜y2時(shí)自變量x的取值范圍。

【解析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，求出兩個(gè)函數(shù)圖像的另一個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，2），結(jié)合函數(shù)圖像的相對(duì)位置（如圖1），可得當(dāng)x＜-3或0＜x＜2時(shí)，y1＜y2。

圖1

【說(shuō)明】同學(xué)們?cè)趩?wèn)題2 中，如果選擇過(guò)點(diǎn)B、C的一次函數(shù)表達(dá)式，除了可以提出類似的問(wèn)題3，還可以提出與面積有關(guān)的問(wèn)題，試試看吧！

【要求3】根據(jù)A、B、C三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，提出一個(gè)關(guān)于二次函數(shù)的問(wèn)題，解決之后，說(shuō)說(shuō)你對(duì)這個(gè)二次函數(shù)及其圖像的認(rèn)識(shí)。

【問(wèn)題4】求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明該二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

【解析】我們可以設(shè)一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0），代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，解關(guān)于a、b、c的方程組，即可求得函數(shù)表達(dá)式。仔細(xì)觀察三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由A（2，-3）、C（0，-3）不難發(fā)現(xiàn)，此二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線x=1，所以可以設(shè)頂點(diǎn)式：y=a（x-1）2+k，將點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)代入即求得a=1，k=-4，所以二次函數(shù)的表達(dá)式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。如圖2，二次函數(shù)圖像開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），對(duì)稱軸是直線x=1。當(dāng)x＜1 時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；x＞1 時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y有最小值為-4。進(jìn)一步觀察圖像，我們還發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-3=0 的兩個(gè)根分別為x1=-1，x2=3；當(dāng)-1＜x＜3 時(shí)，y＜0，當(dāng)x＞3或x＜-1時(shí)，y＞0；等等。

圖2

【歸納】待定系數(shù)法是求函數(shù)表達(dá)式最基本、最重要的方法。求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，根據(jù)已知條件，選擇最合適的表達(dá)形式，可以達(dá)到事半功倍的效果。利用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的關(guān)系，可以讓這些相對(duì)抽象的數(shù)量關(guān)系在函數(shù)圖像的表征下，變得直觀而又具象。

二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)猶如“源頭活水”

如圖3，若問(wèn)題4 中的二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)M是第四象限圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線CD于點(diǎn)N，連接DM、CM。

圖3

【要求4】在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圖3中有哪些量隨之發(fā)生變化，由此，能提出什么問(wèn)題并解決它？

【問(wèn)題5】線段MN的長(zhǎng)隨M點(diǎn)位置的變化而變化，求它的最大值。

【解析】揭示MN的長(zhǎng)與點(diǎn)M位置之間的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的根本。首先，不難求得直線CD的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；其次，設(shè)點(diǎn)M（m，m2-2m-3），則點(diǎn)N（m，m-3），得MN=-m2+3m（0＜m＜3）。MN的長(zhǎng)與m之間是二次函數(shù)關(guān)系，配方，得，當(dāng)m=時(shí)，MN取最大值，最大值為。

【問(wèn)題6】△DMC的面積隨M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化而變化，求△DMC面積的最大值。

【變式1】以MN為直徑的圓與CD相交于點(diǎn)P，求弦NP的最大值。

圖4

【變式2】如圖5，連接BM，交直線CD于點(diǎn)Q，求的最大值。

圖5

【解析】因?yàn)椤鰿QM與△CQB同高，所以。在平面直角坐標(biāo)系中，常常將不平行或不垂直于坐標(biāo)軸的線段向平行或垂直于坐標(biāo)軸的方向轉(zhuǎn)化（不妨稱為“化斜為直”）。點(diǎn)B、直線CD分別為確定的點(diǎn)、確定的直線，則過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交直線CD于G（如圖6），不難有BG=4。易證△QNM∽△QGB，則，所以當(dāng)MN取

圖6

【歸納】點(diǎn)M位置的變化，導(dǎo)致線段MN的長(zhǎng)、△DMC的面積、弦NP的長(zhǎng)、等的變化，由此可以分別建立點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與這些量之間的二次函數(shù)關(guān)系，這就是建模的過(guò)程。隨著解決問(wèn)題的深入，結(jié)合相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)MN取最大值時(shí)，相關(guān)的量隨之取得最大值，這是化陌生為熟悉的過(guò)程，更是“會(huì)一題、通一片”的狀態(tài)。

掌握扎實(shí)的基本知識(shí)（待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、相似三角形、三角形函數(shù)等）和過(guò)硬的基本技能（識(shí)圖、構(gòu)造、運(yùn)算等），靈活運(yùn)用基本思想（建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等），注意積累基本經(jīng)驗(yàn)（求MN的最大值的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是本題系列變式的基礎(chǔ)）是我們學(xué)好數(shù)學(xué)的強(qiáng)大后盾。同學(xué)們，本題還可以提出若干問(wèn)題，去試試吧！