頻域時間反轉(zhuǎn)多用戶系統(tǒng)的信干噪比和誤比特率分析

李 麗,雷維嘉

(1. 重慶郵電大學 通信與信息工程學院,重慶 400065;2. 重慶郵電大學 移動通信技術(shù)重慶市重點實驗室,重慶 400065)

0 引 言

時間反轉(zhuǎn)(time reversal,TR)傳輸是一種在發(fā)送端實現(xiàn)、利用信道多徑傳播特性來提高傳輸性能的技術(shù)。在TR傳輸系統(tǒng)中,信號在發(fā)送前先經(jīng)過一個預處理濾波器濾波,濾波器的脈沖響應為信道脈沖響應的時間共軛反轉(zhuǎn)。TR傳輸系統(tǒng)的空時聚焦效應使其具有天然的抗干擾能力,其接收端通常只需要配備一個簡單的單抽頭均衡器,從而降低接收機的復雜度。TR最初主要應用于水聲通信[1],近年來也在無線通信[2]、目標檢測[3]、醫(yī)學成像[4]、空間定位等領(lǐng)域得到了應用[5]。隨著無線通信技術(shù)的發(fā)展,傳輸帶寬不斷增大,無線信道中可分辨多徑數(shù)量明顯增加,通過TR預處理提高無線通信系統(tǒng)性能的效果也愈加明顯。TR系統(tǒng)中,通過提高上采樣率,或稱為速率回退因子(rate back-off factor,BOF),可以進一步提高接收信干噪比(signal to interference plus noise ratio,SINR)[6],BOF定義為采樣速率與符號速率的比值。這里采樣速率即離散信號的樣值速率,符號速率為在信道上承載信息的符號的傳輸速率。最大樣值速率由奈奎斯特準則決定,通常一個樣值對應一個符號,此時符號速率與樣值速率相同。若不是每個樣值都對應一個符號,則符號速率低于樣值速率,即BOF大于1。BOF大于1時,符號速率低于帶寬限制下的最高速率,頻帶利用率降低,但可減輕符號間干擾(inter symbol interference,ISI)和多用戶系統(tǒng)中的用戶間干擾(inter user interference,IUI),以適當降低頻譜效率為代價,可以有效提高接收信號質(zhì)量[7]。通過采用時間反轉(zhuǎn)技術(shù),利用各用戶多徑信道系數(shù)的不同還可以實現(xiàn)多用戶傳輸,即時間反轉(zhuǎn)分割多址接入(time reversal division multiple access,TRDMA)[8]。TR傳輸可以在時域?qū)崿F(xiàn),也可以在頻域?qū)崿F(xiàn),目前大多數(shù)關(guān)于TR的研究都是針對在時域?qū)崿F(xiàn)的TR系統(tǒng),包括上述的文獻[1-8]。文獻[9]證明了通過在頻域?qū)π盘栠M行預處理,也可以實現(xiàn)與時域TR預處理相同的效果。正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是第4代、第5代移動通信系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)[10-11],也將是新一代移動通信的關(guān)鍵技術(shù),將TR技術(shù)應用到OFDM系統(tǒng)中具有明確的實際意義,而在頻域中進行TR預處理更適合于OFDM系統(tǒng)。頻域TR預處理過程是各子信道傳輸信號與子信道頻率響應的共軛的乘積,運算復雜度低,根據(jù)傅里葉變換性質(zhì),這個預處理同在時域上將發(fā)送信號與TR預處理濾波器的脈沖響應進行卷積是等效的。在OFDM系統(tǒng)中加入TR預處理過程,當BOF大于1時可顯著提高接收SINR。文獻[12]推導了頻域TR預處理系統(tǒng)接收信號的均方根誤差的閉式表達式,并分析了BOF變化時均方根誤差的變化情況,其理論分析和仿真結(jié)果表明,與時域TR系統(tǒng)類似,增大BOF也能降低信號均方根誤差,提高系統(tǒng)的信噪比(signal to noise ratio,SNR)。文獻[13]研究頻域TR預編碼系統(tǒng)中增強物理層安全的TR預編碼和人工噪聲方案。從可檢索論文來看,關(guān)于頻域TR的研究工作不多,且都是針對單用戶系統(tǒng),目前還沒有針對頻域TR多用戶系統(tǒng)的研究,也還沒有BOF、用戶數(shù)等參數(shù)對多用戶TR-OFDM系統(tǒng)性能影響的理論分析。對于TR-OFDM系統(tǒng),當BOF大于1時,TR的聚焦效應能提高期望接收機的SINR,降低在非期望接收機處的信號泄露,因此在多用戶系統(tǒng)中才能更好地發(fā)揮TR-OFDM的優(yōu)勢。在寬帶通信中,TR-OFDM多用戶系統(tǒng),在低信噪比下能獲得比常規(guī)OFDMA系統(tǒng)更好的性能。相比最大比傳輸(maximum ratio transmission,MRT)OFDM系統(tǒng)[9],在BOF大于1時,頻域TR-OFDM系統(tǒng)能獲得優(yōu)于MRT預編碼OFDM系統(tǒng)的SINR及BER性能。本文針對多天線TR-OFDM多用戶系統(tǒng),對用戶平均SINR和平均誤比特率(bit error ratio,BER)[14]進行分析。先推導出用戶平均SINR的近似表達式,在此基礎(chǔ)上采用二進制相移鍵控調(diào)制(binary phase shift keying,BPSK)時的平均BER的下界和近似表達式,通過仿真對理論推導進行驗證,并分析BOF、天線數(shù)及用戶數(shù)等參數(shù)對性能的影響,對于工程應用中系統(tǒng)參數(shù)的選擇和系統(tǒng)設(shè)計具有參考意義。

1 系統(tǒng)模型

下文中帶下劃線的字母表示頻域符號,沒有下劃線的表示時域符號;白體字母表示標量;|·|、‖·‖、(·)*、(·)H和E[·]分別表示求絕對值或模值、2范數(shù)、共軛、共軛轉(zhuǎn)置和數(shù)學期望。

圖1 頻域時間反轉(zhuǎn)多用戶系統(tǒng)模型Fig.1 Model of frequency-domain time-reversal multiuser system

圖2 頻域時間反轉(zhuǎn)通信系統(tǒng)子載波利用示意圖Fig.2 Schematic diagram of subcarrier utilization of frequency-domain time-reversal communication system

(1)

圖3 等效頻域時間反轉(zhuǎn)多用戶系統(tǒng)模型Fig.3 Equivalent model of frequency-domain time-reversal multiuser system

(2)

用戶k的接收SINR為用戶接收的有用信號功率與用戶間干擾功率和信道噪聲功率之和的比值,即

γk,m=

(3)

2 遍歷SINR及BER

2.1 遍歷SINR的推導

無線信道是隨機衰落信道,信道增益是隨機變化的隨機變量,因此,SINRγk,m也是隨機變量。SINR的數(shù)學期望,也稱為平均SINR或遍歷SINR,是描述衰落信道下信號接收質(zhì)量的重要指標。觀察(3)式可以發(fā)現(xiàn),SINR表達式的分子是多個復隨機變量模平方和的平方,分母則是不同復隨機變量相乘后的和的模平方和,不僅SINR的概率密度函數(shù)無法推導得到,分母部分的概率密度函數(shù)也無法得到。同時,分子與分母之間還不是互相獨立的,因而無法推導得到γk,m數(shù)學期望的解析表達式。兩個不獨立的隨機變量比的期望的公式計算為[12]

(4)

(4)式中:表示b的i階中心矩;表示a與b的i階混合中心矩。文獻[15]證明,(4)式右邊,相比較第一項,其他項的值都較小,可以將分式的期望近似為分子的期望與分母的期望之比。采用該近似處理,SINR的期望近似為

E[γk,m]≈

(5)

令

(6)

(7)

信號功率均值,即(5)式的分子部分為

(8)

(8)式中,Γ(i)為指數(shù)為i的伽瑪函數(shù),當i為自然數(shù)時有Γ(i)=(i-1)!。

令

(9)

(10)

(10)式中,Fi(x)為i階第二類修正貝塞爾函數(shù),它可以近似為[17]

(11)

(11)式中:U為修正貝塞爾函數(shù)的展開項數(shù);ψ(i,l,q)為

(12)

(12)式中,L(l,q)是拉數(shù)[9],滿足L(0,0)=1,L(l,0)=0,L(l,1)=l!,?l>0。因此,(4)式分母第1項,也即用戶間干擾信號功率的均值為

(13)

(14)

A2可進一步推導為

ψ(DN-1,l,q)=

(15)

(16)

2.2 BER分析

用戶的接收信號中除高斯噪聲外,還有來自其他用戶的干擾,為多個用戶的發(fā)送信號經(jīng)過衰落信道的不同路徑傳輸后的疊加。當用戶數(shù)和路徑數(shù)足夠大時,根據(jù)中心極限定理,用戶間干擾可認為服從高斯分布,因此,用戶接收信號中的干擾加噪聲可以認為是服從高斯分布的,故采用BPSK調(diào)制時,解調(diào)后的BER為[18]

(17)

(18)

通過仿真可知這個下界不夠緊密,為此本文再推導一個平均BER近似公式。Q函數(shù)的一個上界為[18]

(19)

因此有

(20)

平均BER的近似式為

(21)

3 仿真與分析

圖4和圖5是遍歷SINR的理論值與仿真值的比較。圖4—圖5中,實線表示理論值,虛線表示仿真值?？梢钥闯?理論遍歷SINR的值很接近仿真得到的平均值,這證明前文推導遍歷SINR的理論表達式時的近似處理是可以接受的。仿真結(jié)果顯示,不論用戶數(shù)、天線數(shù)和BOF為多少,隨著ρ增加,遍歷SINR都是先增加,然后逐漸趨于一個上限。這是因為當ρ較小時,干擾功率相對于信道噪聲功率較小,ρ增大,SINR相應增大。當ρ增大到一定程度后,干擾功率將明顯高于信道噪聲功率。由于信號功率與干擾功率隨發(fā)送功率同步增長,因而ρ增加時SINR不再有明顯的增加。由圖4可以看到,隨著BOF增大,頻域TR-OFDM多用戶系統(tǒng)的遍歷SINR增大,能獲得比MRT更高好的SINR。這是因為增大BOF可以減小IUI,同時能獲得更高的分集增益。圖4說明可通過增大BOF,以適當降低頻譜效率為代價,有效提高接收信號質(zhì)量。由圖5可以看到,隨著天線數(shù)增加,遍歷SINR增大,這是因為多天線帶來了分集增益。隨著用戶數(shù)增加,遍歷SINR減小,這是因為用戶數(shù)增加,則IUI增大。圖5說明使用更多的天線能帶來更多的空間分集增益,此外雖然用戶數(shù)增加能在一定程度上提高系統(tǒng)的服務效率,但用戶數(shù)越大相互間的干擾越大,過多的用戶數(shù)會導致單個用戶接收信號質(zhì)量的下降,需要系統(tǒng)層面和用戶層面進行適當?shù)恼壑小?/p>

圖4 不同BOF時的遍歷SINR,K=4,N=4Fig.4 Ergodic SINR of different BOF,K=4,N=4

圖5 不同天線數(shù)時的遍歷SINR,D=4Fig.5 Ergodic SINR of different antenna numbers,D=4

圖6是BPSK調(diào)制下,平均BER的理論下界、理論近似平均BER與仿真值的比較。從圖6可以看到,頻域TR-OFDM多用戶系統(tǒng)的平均BER低于MRT系統(tǒng),隨著BOF增大,BER下降,這與圖4中給出的SINR的仿真結(jié)果是匹配的。觀察TR-OFDM系統(tǒng)中理論BER曲線與仿真曲線的關(guān)系,可以看到理論下界不是很緊密,但理論近似平均BER則與仿真值很接近。

圖6 不同BOF下的平均BER,K=4,N=4Fig.6 Average BER of different BOF,K=4,N=4

圖7 不同天線數(shù)時的平均BER,D=4Fig.7 Average BER of different antenna numbers,D=4

圖7為BOF為4、用戶數(shù)分別為4和8時平均BER在天線數(shù)為1、2、4時的仿真結(jié)果和理論近似值。圖7說明,增大天線數(shù),平均BER減小,這是因為增大天線數(shù)帶來了分集增益;用戶數(shù)增加,平均BER增大,這是因用戶數(shù)越大相互間干擾越大。

圖8給出了不同發(fā)送總功率與噪聲方差比下,BOF增大時,遍歷SINR和平均BER的變化情況。圖8中,用戶數(shù)K=4、天線數(shù)N=4。由圖8可以看出,當BOF增大時,由于用戶間干擾減少,SINR增加,BER下降,且發(fā)送總功率與噪聲方差越大,增加和下降的速度越快。當BOF增大到一定程度后,用戶接收信號中的干擾已經(jīng)很小,再增大BOF,SINR不再增加,而BER也趨于一個下界。由于BOF增加,頻譜效率下降,因此,要合理地設(shè)置BOF的值。

圖8 BOF增大時平均BER和遍歷SINR的 變化情況,K=4,N=4Fig.8 Change of average BER and ergodic SINR when BOF increases,K=4,N=4

圖9給出了天線數(shù)增大時,遍歷SINR和平均BER的變化情況。圖9中,用戶數(shù)K=4、D=4。由圖9可以看出,當天線數(shù)增大時,得益于陣列增益的增大,SINR持續(xù)增加,BER下降。同樣,發(fā)送總功率與噪聲方差越大,增加和下降的速度越快。

4 結(jié)束語

本文推導了多天線頻域TR多用戶通信系統(tǒng)的平均SINR和BER的表達式。先推導信號功率均值表達式和用戶間干擾信號功率均值近似表達式,得到了平均SINR的近似表達式。進一步利用Jenson不等式推導了BPSK調(diào)制下的平均BER的下界,由于該界不夠緊密,因而又給出了一個近似BER的表達式。仿真結(jié)果表明,本文推導的遍歷SINR近似值與仿真結(jié)果很接近,誤差很小;近似BER值與仿真得到的平均BER值較為接近。仿真結(jié)果顯示,增大BOF和天線數(shù),則SINR增大,BER下降;增加用戶數(shù),則SINR減小,BER相應增大。

圖9 天線數(shù)增加時平均BER和遍歷SINR的 變化情況,K=4,D=4Fig.9 Change of average BER and ergodic SINR when antenna numbers increases,K=4,D=4