“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

張紫茵

摘 ?要：在單元背景下，“兩角差的余弦公式”一課沿用誘導(dǎo)公式的研究思路，利用單位圓的幾何性質(zhì)，探究?jī)山遣畹挠嘞夜?

關(guān)鍵詞：兩角差的余弦；單位圓；單位圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1. 教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課的主要內(nèi)容是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及運(yùn)用.

2. 內(nèi)容解析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“三角函數(shù)”的“5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，用時(shí)1課時(shí).

從內(nèi)容來(lái)看，“5.5 三角恒等變換”分為三部分：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式；二倍角的正弦、余弦和正切公式；簡(jiǎn)單的三角恒等變換. 這一內(nèi)容展開(kāi)的順序如下. 首先，在推導(dǎo)公式的過(guò)程中，先利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式，然后導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，進(jìn)而導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦和正切公式；其次，在公式變換應(yīng)用的過(guò)程中，通過(guò)解答例題，促使學(xué)生學(xué)會(huì)選擇公式，體會(huì)換元、逆向思維等數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 這樣，以單位圓的幾何直觀為紐帶，將三角恒等變換與整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容融為一體.

“兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn). 觀察前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與這個(gè)任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關(guān)系. 由此推理，利用圓的相關(guān)性質(zhì)也一定能推出任意角[α]與[β]之間的三角恒等變換關(guān)系. 從特殊到一般，建立誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式的聯(lián)系.

對(duì)于兩角差的余弦公式，教材利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來(lái)的圓重合）進(jìn)行推導(dǎo). 首先，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A，以單位圓的圓心為頂點(diǎn)、[x]軸的非負(fù)半軸為始邊畫(huà)出角[α，β]，[α-β]；其次，根據(jù)三角函數(shù)的定義寫(xiě)出角[α，β]，[α-β]的始邊和終邊與單位圓的交點(diǎn)[P1，A1，P]的坐標(biāo)；再次，利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，得到等量關(guān)系[AP=][A1P1]；最后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到兩角差的余弦公式. 三角恒等變換中的差角公式充分利用了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，這也是本章利用單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)性質(zhì)的通法.

本節(jié)課中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般的思想，以及利用單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）回顧誘導(dǎo)公式，觀察誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)特征，將特殊角換為任意角，提出一般性問(wèn)題，引出研究?jī)山遣畹挠嘞夜降谋匾? 經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，知道兩角差的余弦公式的意義，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力.

（2）借助信息技術(shù)手段，利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性探究公式，感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，提升思維的有序性，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng)，培育科學(xué)精神.

（3）通過(guò)公式應(yīng)用，初步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)形式和功能，體會(huì)正向、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步理解變換思想，培養(yǎng)程序化思考問(wèn)題的品質(zhì)，提高推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（4）通過(guò)單元作業(yè)，強(qiáng)化用單位圓研究三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想思考和解決問(wèn)題.

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在知識(shí)結(jié)構(gòu)上已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，知道單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，這為學(xué)生研究?jī)山遣畹挠嘞夜教峁┝死碚摶A(chǔ)和探究方向.

學(xué)生在能力水平上已經(jīng)具備一定的抽象概括能力、邏輯推理能力及轉(zhuǎn)化和分析問(wèn)題的能力，但是如何使學(xué)生將已有的知識(shí)成功遷移到新知識(shí)的學(xué)習(xí)中，如何利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性得到兩角差的余弦公式，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，這是本節(jié)課需要突破的.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性之間的聯(lián)系.

突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：?jiǎn)栴}串引導(dǎo)與應(yīng)用信息技術(shù)教學(xué).

四、教學(xué)策略分析

1. 教法分析

（1）啟發(fā)式方法、探究式方法和基于問(wèn)題串的教學(xué)方法. 本節(jié)課以提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)為目標(biāo).

（2）啟發(fā)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題. 提出問(wèn)題的前提往往是要“數(shù)學(xué)地”發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，就是要用數(shù)學(xué)的眼光觀察. 本節(jié)課以“觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與這個(gè)任意角[α]的三角函數(shù)的恒等關(guān)系. 如果把特殊角換為任意角[β]，那么任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]和[β]的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系呢？”為引導(dǎo)語(yǔ)，引出本節(jié)課的主題，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，體現(xiàn)問(wèn)題解決的自然規(guī)律.

（3）啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考探究. 從觀察誘導(dǎo)公式入手，給出了一條觀察情境、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的線索，讓學(xué)生充分感受公式的初步探索過(guò)程，讓學(xué)生自主探索兩角差的余弦公式. 整體設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的理念，把學(xué)生的思維活動(dòng)逐步引向深入，幫助學(xué)生在獲得“四基”的過(guò)程中，逐步提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，培育科學(xué)精神，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

2. 學(xué)法分析

（1）學(xué)生采取小組合作探究的學(xué)習(xí)模式.

（2）在課堂教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)小組合作、交流分享突破難點(diǎn)，提升學(xué)生的合作探究意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（3）在課堂教學(xué)中始終以學(xué)生為核心，教師組織，適時(shí)引導(dǎo)，有效提升學(xué)生的課堂參與度，使學(xué)生經(jīng)歷完整的知識(shí)生成過(guò)程.

3. 教學(xué)手段

本節(jié)課主要應(yīng)用程序資源，包括PPT、微課視頻、GeoGebra軟件等.

在課前和課堂上，學(xué)生通過(guò)觀看教師推送的“兩點(diǎn)間的距離公式”的微課視頻自主學(xué)習(xí)兩點(diǎn)間的距離公式. 微課能夠?qū)⒔虒W(xué)中抽象的知識(shí)點(diǎn)形象化，讓學(xué)生更好地理解知識(shí)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生可以反復(fù)觀看微課，有效提高學(xué)習(xí)效率.

用GeoGebra軟件探究?jī)山遣畹挠嘞夜剑惺軋A的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，在激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，提高探究效率，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生直觀感受知識(shí)的生成過(guò)程.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，完成教學(xué)任務(wù)，如圖1所示.

教師引言：前期我們學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式，利用它們對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，可以達(dá)到化簡(jiǎn)、求值或證明的目的. 這種利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行的恒等變形就是三角恒等變換. 接下來(lái)，我們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)三角恒等變換.

1. 知識(shí)回顧，引入新知

復(fù)習(xí)回顧： [sinπ+α=-sinα]； [cosπ2+α=-sinα]；

[sinπ2-α=cosα]；[cosπ-α=-cosα].

師生活動(dòng)：復(fù)習(xí)回顧誘導(dǎo)公式，教師提問(wèn)，學(xué)生回答.

教師提出：觀察這組誘導(dǎo)公式，我們發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α]的三角函數(shù)的恒等關(guān)系. 現(xiàn)在，我們把公式中的特殊角換為任意角[β]，我們發(fā)現(xiàn)它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數(shù). 在誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數(shù)與角[α 和 β]的三角函數(shù)會(huì)有什么關(guān)系？和角、差角的三角函數(shù)之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，因此不必孤立地一一推導(dǎo)這些公式，只要推導(dǎo)出一個(gè)公式作為基礎(chǔ)，再利用這種聯(lián)系性，用邏輯推理的方法就可以得到其他公式. 今天，我們選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)開(kāi)始研究.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)以單元教學(xué)為理念，著眼于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，喚醒學(xué)生已學(xué)的與所要研究?jī)?nèi)容相關(guān)的認(rèn)知，將前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式與兩角和與差的三角函數(shù)建立聯(lián)系，再提出選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)推導(dǎo)其他公式，引入課題. 學(xué)生能夠明確學(xué)習(xí)目的，帶著目標(biāo)開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).

2. 深入分析，探究公式

活動(dòng)：如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦.

教師引言：根據(jù)誘導(dǎo)公式的研究經(jīng)驗(yàn)，我們嘗試提出問(wèn)題. 如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，能由此推出角[α-β]的余弦嗎？要用到哪些研究方法呢？下面回顧我們以往的研究經(jīng)驗(yàn).

問(wèn)題1：以誘導(dǎo)公式[cosπ2-α=sinα]為例，你能簡(jiǎn)要說(shuō)明證明過(guò)程嗎？

師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，讓一名學(xué)生上講臺(tái)陳述證明過(guò)程，教師用PPT展示關(guān)鍵證明步驟.

預(yù)設(shè)答案：如圖2，作點(diǎn)[P1]關(guān)于直線[y=x]的對(duì)稱點(diǎn)[P2]. 以[OP2]為終邊的角是與角[π2-α]終邊相同的角. 根據(jù)單位圓的對(duì)稱性，點(diǎn)[P1x1，y1與]點(diǎn)[P2x2，y2]的坐標(biāo)之間有等量關(guān)系[x1=y2]，[y1=x2]. 根據(jù)三角函數(shù)的定義，有[cosπ2-α=sinα.]

問(wèn)題2：回顧誘導(dǎo)公式的探究思路，我們利用了哪些研究方法？

預(yù)設(shè)答案：三角函數(shù)的定義；單位圓；單位圓的特殊對(duì)稱性.

師生活動(dòng)：教師指出利用單位圓上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線[y=x]等的對(duì)稱性，探究得到了誘導(dǎo)公式.

追問(wèn)：大家還記得誘導(dǎo)公式的研究思路嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答. 教師板書(shū)總結(jié)誘導(dǎo)公式的研究思路（單位圓的特殊對(duì)稱性—角與角之間的關(guān)系—坐標(biāo)之間的關(guān)系—等量代換—三角函數(shù)的關(guān)系）.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧誘導(dǎo)公式的研究思路，強(qiáng)化用單位圓研究三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，為接下來(lái)探究角[α-β]的余弦指明思考方向.

探究：[cosα-β]與角[α，β]的正弦和余弦之間的關(guān)系.

教師引導(dǎo)：我們借助單位圓定義三角函數(shù)，那么角[α，β]的正弦、余弦及[cosα-β]如何表示呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義確定在單位圓中需要作出角[α]、角[β]和角[α-β]. 學(xué)生利用直尺、圓規(guī)和量角器，通過(guò)動(dòng)手操作，用不同的方法作出角[α-β]. 小組合作探究，教師巡視，深入小組活動(dòng)，傾聽(tīng)小組交流，用實(shí)物投影將學(xué)生的探究結(jié)果投影在大屏幕上，讓小組代表陳述本組的探究結(jié)果.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)畫(huà)圖、辨圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題. 學(xué)生上臺(tái)展示不同象限的角[α，β]及相應(yīng)角[α-β]的不同作法. 有助于不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).

師生活動(dòng)：教師用GeoGebra軟件在單位圓中作出更一般的角[α-β]，體現(xiàn)角[α-β]的任意性，與學(xué)生共同探究公式. 教師指出先研究角[α]和角[β]的終邊不重合，即[α≠2kπ+β]，[k∈Z]的情況. 設(shè)單位圓與[x]軸的正半軸相交于點(diǎn)[A1，0]，以[x]軸的非負(fù)半軸為始邊作角[α]、角[β]和角[α-β]，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)[P1、點(diǎn)A1和點(diǎn)P]. 教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)誘導(dǎo)公式的研究思路探究：第一步，利用三角函數(shù)的定義，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步，利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，得到等量關(guān)系[AP=A1P1]. 教師用GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，從而發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中對(duì)應(yīng)的弦和弧的長(zhǎng)度都沒(méi)有發(fā)生變化.

教師總結(jié)：這體現(xiàn)了圓的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，即任意一個(gè)圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來(lái)的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生沿用誘導(dǎo)公式的研究思路，確定利用等量關(guān)系[AP=A1P1]推導(dǎo)[cosα-β]的展開(kāi)式.

師生活動(dòng)：教師用GeoGebra軟件演示，改變角[α]和角[β]的終邊的位置，研究其他情形下等量關(guān)系[AP=A1P1]是否成立. 學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)在變化的過(guò)程中弦[AP]和弦[A1P1]始終是相等的. 教師引導(dǎo)學(xué)生理解其根本原因是圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.

【設(shè)計(jì)意圖】利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生直觀感受根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，無(wú)論角[α]和角[β]終邊的位置如何，總有[AP=A1P1]成立，使學(xué)生感悟變化過(guò)程中的不變性，理解探究過(guò)程的一般性. 借助信息技術(shù)，可以讓學(xué)生直觀感受圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性觀察得到等量關(guān)系，突破難點(diǎn).

師生活動(dòng)：利用等量關(guān)系[AP=A1P1]，推導(dǎo)[cosα-β]的展開(kāi)式. 知道對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，解決[AP]和[A1P1]的距離要用到兩點(diǎn)間的距離公式. 課堂上，師生共同觀看微課視頻“兩點(diǎn)間的距離公式”.

【設(shè)計(jì)意圖】微課能夠?qū)⒔虒W(xué)中抽象的知識(shí)點(diǎn)形象化，讓學(xué)生更好地理解知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生可以反復(fù)觀看微課，有效提高學(xué)習(xí)效率.

問(wèn)題3：利用等量關(guān)系[AP=A1P1]，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，能否推導(dǎo)出[cosα-β]的展開(kāi)式？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，在筆記本上自行推導(dǎo). 教師巡視，投影一名學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程，由學(xué)生陳述探究過(guò)程和結(jié)論.

問(wèn)題4：當(dāng)角[α]和角[β]的終邊重合時(shí)，即[α=2kπ+β，][k∈Z]，兩角差的余弦的表達(dá)式是否仍然成立？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，然后在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學(xué)生回答問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】完善探究細(xì)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)，得到兩角差的余弦公式. 對(duì)于任意角[α，β]有[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]，

這個(gè)式子稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)記作[Cα-β.]

教師對(duì)公式[Cα-β]進(jìn)行說(shuō)明：公式中的角[α，β]都是任意角；公式左邊的角是[α-β]，右邊的角是[α]和[β]；公式左邊的符號(hào)是“[-]”，右邊的符號(hào)是“[+]”；公式的結(jié)構(gòu)特征.

【設(shè)計(jì)意圖】公式的推導(dǎo)是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的載體. 邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證.

3. 學(xué)以致用，解決問(wèn)題

教師引言：下面，讓我們學(xué)以致用，解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例1 ?利用公式[Cα-β]證明：

（1）[cosπ2-α=sinα]；

（2）[cosπ-α=-cosα].

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，在筆記本上作答，教師將學(xué)生的答案投影到大屏幕上，學(xué)生陳述證明過(guò)程.

師生共同小結(jié)：前面，我們利用單位圓的特殊對(duì)稱性證明了誘導(dǎo)公式. 現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了更一般化的公式——兩角差的余弦公式，也能通過(guò)證明得到誘導(dǎo)公式.

活動(dòng)：探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值.

師生活動(dòng)：學(xué)生小組探究，小組代表展示探究結(jié)果，如圖3和圖4所示.

【設(shè)計(jì)意圖】例1是兩角差的余弦公式的應(yīng)用，說(shuō)明了誘導(dǎo)公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關(guān)系. 設(shè)置的探究活動(dòng)具有一定的開(kāi)放性，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，進(jìn)一步體會(huì)兩角差的余弦公式是誘導(dǎo)公式的一般化表達(dá)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例2 ?已知[sinα=45，α∈π2，π，cosβ=-513]，[β]是第三象限角，求[cosα-β]的值.

師生活動(dòng)：教師讓一名學(xué)生在黑板上作答，其他學(xué)生在筆記本上作答. 教師規(guī)范學(xué)生的解題格式，然后與學(xué)生共同總結(jié)這類題目的解題步驟.

解題步驟：第一步，確定需要用哪個(gè)公式解題；第二步，與公式相比較，觀察題目的形式特點(diǎn)，確定需要求出哪些值；第三步，根據(jù)第二步得到的方案先求值，再代入，解決問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用，使學(xué)生初步熟記公式，掌握公式的結(jié)構(gòu)形式和功能. 訓(xùn)練學(xué)生有序的思維習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生程序化的思維習(xí)慣. 教師規(guī)范解題格式，展示數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4. 反饋練習(xí)，知識(shí)檢測(cè)

練習(xí)1：利用兩角差的余弦公式求值：[cos72°cos12°+][sin72°sin12°].

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成求解，在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學(xué)生回答問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)1是簡(jiǎn)單的公式反用. 要求學(xué)生能夠從正反兩個(gè)方向使用公式，對(duì)公式要有更全面、深刻的理解，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維及思維的靈活性.

練習(xí)2：已知[cosα=-35，α∈π2，π，] 求[cosπ4-α]的值.

練習(xí)3：已知[sinθ=1517，θ]是第二象限角，求[cosθ-π3]的值.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)知識(shí)檢測(cè)，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握情況，為教學(xué)評(píng)價(jià)提供依據(jù).

5. 小結(jié)提升，布置作業(yè)

師生共同回顧、梳理、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法.

師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生小組討論、回答，相互補(bǔ)充. 讓學(xué)生梳理本節(jié)課的知識(shí)收獲（兩角差的余弦公式）和原理（利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性探究公式）；讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般）.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回味本節(jié)課生成的知識(shí)和應(yīng)用的方法，積累數(shù)學(xué)知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，強(qiáng)化學(xué)生的思維發(fā)展.

（1）課時(shí)作業(yè).

作業(yè)1：已知[sinα=-23，α∈π， 3π2，] [cosβ=34，][β∈3π2，2π]，求[cosβ-α]的值.（教材第217頁(yè)練習(xí)5.）

作業(yè)2：已知[sinα=23，cosβ=-34，α∈π2，π，] [β∈π， 3π2]，求[cosα-β]的值.（教材第228頁(yè)習(xí)題5.5的第1題.）

作業(yè)3：繼續(xù)借助公式[Cα-β]推導(dǎo)其他公式或結(jié)論.

作業(yè)4：查閱資料探究?jī)山遣畹挠嘞夜降钠渌C明方法.

（2）單元作業(yè).

作業(yè)5：以小組為單位，完成一份研究性學(xué)習(xí)作業(yè). 對(duì)比前面學(xué)習(xí)的誘導(dǎo)公式，體會(huì)本節(jié)課推導(dǎo)兩角差的余弦公式. 我們不難發(fā)現(xiàn)：以單位圓的幾何性質(zhì)為載體，研究三角函數(shù)的性質(zhì)（即公式）的方法是個(gè)大概念. 據(jù)此，試?yán)盟o圖形（如圖5），證明下列兩個(gè)等式.

（1）[12sinα+sinβ=sinα+β2cosα-β2]；

（2）[12cosα+cosβ=cosα+β2cosα-β2].

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分為課時(shí)作業(yè)和單元作業(yè). 課時(shí)作業(yè)1和課時(shí)作業(yè)2落實(shí)公式的應(yīng)用，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；課時(shí)作業(yè)3繼續(xù)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)兩角差的余弦公式是誘導(dǎo)公式的一般化表達(dá)，加深學(xué)生對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；課時(shí)作業(yè)4培養(yǎng)學(xué)生從多維角度思考問(wèn)題，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí). 單元作業(yè)幫助學(xué)生體會(huì)本節(jié)課內(nèi)容所體現(xiàn)的大概念——以單位圓的幾何性質(zhì)為載體研究三角函數(shù)的性質(zhì)（即公式）. 強(qiáng)化學(xué)生用單位圓研究三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，使他們學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想思考和解決問(wèn)題. 優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)提質(zhì)”“減負(fù)增效”，發(fā)揮作業(yè)的育人功能.

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)，如圖6所示.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.