定比點(diǎn)差法原理及其應(yīng)用

［摘 要］定比點(diǎn)差法是直線參數(shù)方程的“變異”，核心思想是“設(shè)而不求”。運(yùn)用定比點(diǎn)差法，能簡化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，在解決解析幾何問題中具有獨(dú)特的優(yōu)勢。文章簡述定比點(diǎn)差法的原理，舉例分析定比點(diǎn)差法的具體應(yīng)用，以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

［關(guān)鍵詞］定比點(diǎn)差法；解析幾何；原理；應(yīng)用

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1674-6058（2024）26-0026-03

解析幾何問題的題目條件中常出現(xiàn)類似“[AP=λPB]”的向量式，當(dāng)[λ=1]時(shí)，點(diǎn)[P]是[AB]的中點(diǎn)，當(dāng)[A]，[B]是動點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)[P]的軌跡是中點(diǎn)弦，處理中點(diǎn)弦問題一般采用“點(diǎn)差法”。當(dāng)[λ≠1]時(shí)為“非中點(diǎn)弦”問題，解決此類問題需根據(jù)線段的比值進(jìn)行處理，所以該問題也稱為定比分點(diǎn)問題，由此出現(xiàn)了“定比點(diǎn)差法”。定比點(diǎn)差法是點(diǎn)差法的一般推廣。下面探究定比點(diǎn)差法的原理，及其在解析幾何問題中的應(yīng)用。

一、定比點(diǎn)差法的原理

（一）線段定比分點(diǎn)向量公式及坐標(biāo)公式

已知[AP=λPB]（[λ≠-1]），則點(diǎn)[P]為有線段[AB]的定比分點(diǎn)，設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[O]為平面上的任意一點(diǎn)，則[OP=OA+λOB1+λ]，[ Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ]。

證明：設(shè)[P（x0，y0）]，則[AP=（x0-x1，y0-y1）]，[λPB=λ（x2-x0，y2-y0）]，因?yàn)閇AP=λBP]，所以[x0=x1+λx21+λ]，[y0=y1+λy21+λ]，即[Px1+λx21+λ， y1+λy21+λ]，故[OP=OA+λOB1+λ]。

（二）定比點(diǎn)差法的由來

（1）若點(diǎn)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，且點(diǎn)[P（x0，y0）]滿足[AP=λPB]，則[x21a2+y21b2=1]，[x22a2+y22b2=1]，即[b2x21+a2y21=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，]于是有[（b2x21+a2y21）-λ2（b2x22+a2y22）=（1-λ2）a2b2]，整理得[b2（x1-λx2）·x1+λx21+λ+a2（y1-λy2）·y1+λy21+λ=（1-λ）a2b2]，即[x0·x1-λx21-λa2+y0·y1-λy21-λb2=1]①。

（2）若點(diǎn)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，且點(diǎn)[P（x0，y0）]滿足[AP=λPB]，則[x21a2-y21b2=1]，[x22a2-y22b2=1]，即[b2x21-a2y21=a2b2，b2x22-a2y22=a2b2，]于是有[（b2x21-a2y21）-λ2（b2x22-a2y22）=（1-λ2）a2b2]，整理得[b2（x1-λx2）·x1+λx21+λ-a2（y1-λy2）·y1+λy21+λ=（1-λ）a2b2]，即[x0·x1-λx21-λa2-y0·y1-λy21-λb2=1]②。

（3）若點(diǎn)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]在拋物線[y2=2px（p>0）]上，且點(diǎn)[P（x0，y0）]滿足[AP=λPB]，則[y21=2px1，y22=2px2，]于是有[y21-λ2y22=2p（x1-λ2x2）]，兩邊同時(shí)除以[1-λ2]變形得[y1+λy21+λ·y1-λy21-λ=px1+λx21+λ+x1-λx21-λ]，即[y0·y1-λy21-λ=px0+x1-λx21-λ] ③。

通過上述三個(gè)表達(dá)式①②③的推導(dǎo)過程不難發(fā)現(xiàn)，定比點(diǎn)差法是點(diǎn)差法的一般推廣。

二、定比點(diǎn)差法的初步應(yīng)用

（一）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求直線方程

［例1］已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[F1]，[F2]分別是橢圓[C]的左、右焦點(diǎn)，焦距為[2]，過點(diǎn)[F2]作一條直線，分別與橢圓[C]相交于[A ， B]兩點(diǎn)，且[△ABF1]的周長為[42]。（1）求橢圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若[AB=4F2A]，求直線[AB]的方程。

解析：（1）橢圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x22+y2=1]，過程略。

（2）由[AB=4F2A]，得[AF2=13F2B]。設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，得[F23x1+x24，3y1+y24]，又[F2（1，0）]，∴[3x1+x2=4，3y1+y2=0。]由點(diǎn)[A]，[B]在橢圓上，得[9x21+18y21=18，x22+2y22=2，]兩式作差得[（3x1+x2）（3x1-x2）+2（3y1+y2）（3y1-y2）=16]，∴[4（3x1-x2）=16 ]，∴[3x1-x2=4]，聯(lián)立[3x1+x2=4]，解得[x1=43]，又[x212+y21=1]，解得[y1=±13]，∴[A43，±13]，∴[kAF2=±1]，∴直線[AB]的方程是[y=x+1]或[y=-x+1]。

評注：通過平面向量共線定理以及向量數(shù)乘的幾何意義，不難得到[AF2=13F2B]，這屬于“非中點(diǎn)弦”問題，故考慮用定比點(diǎn)差法求解。

（二）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求弦長

［例2］已知直線[l]與拋物線[y2=3x]的交于[A]，[B]兩點(diǎn)，與[x]軸交于點(diǎn)[P]，直線[l]的斜率為[32]，若[AP=3PB]，求[AB]。

解析：設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）][B（x2，y2）]，[P（x0，0）（x0>0）]，由[AP=3PB]，得[Px1+3x24，y1+3y24]，所以[x1+3x2=4x0，y1+3y2=0。]因?yàn)辄c(diǎn)[A]，[B]在拋物線上，則[y21=3x1，9y22=27x2，]兩式相減可得[（y1+3y2）（y1-3y2）=3（x1-9x2）]，因[y1+3y2=0]，故[x1-9x2=0]，聯(lián)立[x1+3x2=4x0]，得[x1=3x0]。又[y1x1-x0=32]，則[y1=3x0]，由[y21=3x1]，可知[9x20=9x0]，即[x0=1]，所以[AP=1+94x1-x0=13]，所以[AB=43AP=4313]。

評注：由已知條件[AP=3PB]不難發(fā)現(xiàn)，該問題可用定比點(diǎn)差法求解，由此得到點(diǎn)[A]的橫坐標(biāo)[x1=3x0]，再利用[kAP=32]，得到[y1=3x0]，利用拋物線方程得到[x0=1]，求出[AP]，最后由[AB=43AP]得出答案。

［變式］已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]過點(diǎn)[P（2，1）]，離心率為[e=22]。（1）求橢圓[C]的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)[M（4，1）]的動直線與橢圓[C]相交于不同的兩點(diǎn)[A，B]時(shí)，在線段[AB]上取點(diǎn)[N]，滿足[AM=-λMB]，[AN=λNB]，求線段[PN]長的最小值。

解析：（1）橢圓[C]的方程為[x24+y22=1]，過程略。

（2）設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[N（x，y）]，

由[AM=-λMB]，[AN=λNB]，得[4=x1-λx21-λ，1=y1-λy21-λ，] [x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ，]∴[4x=x21-λ2x221-λ2]，[y=y21-λ2y221-λ2]，

又[x21+2y21=4]，[x22+2y22=4]，∴[4x+2y=4-4λ21-λ2=4]，∴點(diǎn)[N]在直線[2x+y-2=0]上，

∴[PN最小=22+1-222+1=22-15=210-55]。

評注：變式的第（2）問由定比分點(diǎn)公式化簡得[N]點(diǎn)的軌跡方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求解，大大減少了運(yùn)算量，使原本復(fù)雜的問題變得簡單，解題過程顯得更簡潔。

（三）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求橢圓方程

［例3］已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點(diǎn)為[F（1，0）]，點(diǎn)[A]，[B]是橢圓[C]上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)[A]在第一象限內(nèi)，射線[AF]，[BF]與橢圓[C]的交點(diǎn)分別為[M]，[N]。（1）若[AF=FM]，[BF=2FN]，求橢圓[C]的方程；（2）若直線[MN]的斜率是直線[AB]的斜率的2倍，求橢圓[C]的方程。

解析：（1）因?yàn)閇AF=FM]，由橢圓的對稱性知[AM⊥x]軸，[AM]過右焦點(diǎn)[F（1，0）]，故[A1，b2a]，[M1，-b2a]，[B-1，-b2a]，則[BF=2，b2a]，設(shè)[N（xN，yN）]，有[FN=（xN-1，yN）]，由[BF=2FN]，可得[2=2（xN-1），b2a=2yN，]解得[N2，b22a]，代入橢圓方程得[4a2+1b2·b44a2=1]，解得[b2+16=4a2]，所以[a2-1+16=4a2]，即[a2=5]，所以[b2=a2-c2=4]，故橢圓的方程為[x25+y24=1]。

（2）設(shè)[A（x0，y0）]，[B（-x0，-y0）]，令[FM=λAF=λ（1-x0，-y0）]，則[M（1+λ-λx0，-λy0）]，

代入橢圓方程得[（1+λ-λx0）2a2+（-λy0）2b2=1]，即[（1+λ）2-2λ（1+λ）x0+λ2x20a2+λ2y20b2=1]，

又[x02a2+y02b2=1]，所以[（1+λ）2-2λ（1+λ）x0a2+λ2=1]，化簡得[（1+λ）-2λx0=a2（1-λ）] ①，同理，令[FN=μBF]，解得[N（1+μ+μx0]，[μy0]），代入橢圓方程得[（1+μ）+2μx0=a2（1-μ）] ②，由題知[yM-yNxM-xN=（-λy0）-（μy0）（1+λ-λx0）-（1+μ+μx0）=2·y0x0]，解得[x0（λ+μ）=2（λ-μ）]③，①[-]②得[（λ-μ）-2x0（λ+μ）=a2（μ-λ）]，將③式代入得[（λ-μ）-4（λ-μ）=a2（μ-λ）]，故[a2=3]，所以橢圓的方程為[x23+y22=1]。

評注：本題考查向量在橢圓中的應(yīng)用以及直線與橢圓的位置關(guān)系，解答本題第（2）問的關(guān)鍵是設(shè)[FM=λAF]，得出[M（1+λ-λx0，-λy0）]，將其代入橢圓方程可得[（1+λ）-2λx0=a2（1-λ）]，同理設(shè)[FN=μBF]，可得[（1+μ）+2μx0=a2（1-μ）]，由直線[MN]的斜率是直線[AB]的斜率的2倍可得[x0（λ+μ）=2（λ-μ）]，聯(lián)立可得解。

（四）應(yīng)用定比點(diǎn)差法求離心率

［例4］已知橢圓[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]內(nèi)有一點(diǎn)[M（2，1）]，過[M]的兩條直線[l1]，[l2]分別與橢圓[E]交于[A，C]和[B，D]兩點(diǎn)，且滿足[AM=λMC]，[BM=λMD]（其中[λ>0]且[λ≠1]），若[λ]變化時(shí)直線[AB]的斜率總為[-12]，則橢圓[E]的離心率為 。

解析：設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[C（x3，y3）]，[D（x4，y4）]，由[AM=λMC]可得，[（2-x1，1-y1）=λ（x3-2，y3-1）]，所以[x1+λx3=2+2λ，y1+λy3=1+λ，]同理可得：[x2+λx4=2+2λ，y2+λy4=1+λ，]于是[x1+x2+λ（x3+x4）=4（1+λ），y1+y2+λ（y3+y4）=2（1+λ），]將點(diǎn)[A]，[B]的坐標(biāo)代入橢圓方程做差可得[y1-y2x1-x2=-b2a2×x1+x2y1+y2]，即[-12=-b2a2×x1+x2y1+y2]，整理可得[a2（y1+y2）=2b2（x1+x2）]，同理可得，[a2（y3+y4）=2b2（x3+x4）]，兩式相加可得[a2（y1+y2）+（y3+y4）=2b2（x1+x2）+（x3+x4）]，故[2（y1+y2）+λ（y3+y4）=1（x1+x2）+λ（x3+x4）]，據(jù)此可得[a22=2b21]，由[b2=a2-c2]得[a22=2（a2-c2）]，所以橢圓離心率[e=32]。

評注：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，利用定比點(diǎn)差法可以得到一個(gè)關(guān)于[a，b，c]的齊次式，進(jìn)而結(jié)合[b2=a2-c2]轉(zhuǎn)化為[a]，[c]的齊次式，然后分別除以[a2]轉(zhuǎn)化為關(guān)于[e]的方程，解方程求得離心率[e]。

［變式］已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，過其左焦點(diǎn)[F]且斜率為[3]的直線與橢圓交于[A ， B]兩點(diǎn)，若[AF=2FB]，求橢圓的離心率。

解析：設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，由[AF=2FB]得[Fx1+2x23， y1+2y23]，由[F（-c，0）]得[x1+2x2=-3c，y1+2y2=0。]由點(diǎn)[A]，[B]在橢圓上，則[b2x21+a2y21=a2b2，4b2x22+4a2y22=4a2b2，]兩式作差得[b2（x1+2x2）（x1-2x2）+a2（y1+2y2）（y1-2y2）=-3a2b2]，所以[-3b2c（x1-2x2）=-3a2b2]，[x1-2x2=a2c]，聯(lián)立[x1+2x2=-3c]，得[x1=a2-3c22c]，又[y1x1+c=3]，所以[y1=3b22c]，于是有[b2a2-3c22c2+a23b22c2=a2b2]，整理得[4a4-13a2c2+9c4=0]，兩邊都除以[a4]，得[9e4-13e2+4=0]，解得[e=23]或[e=1]，又[0<e<1]，所以[e=23]。

評注：不難發(fā)現(xiàn)，處理焦點(diǎn)弦問題時(shí)，與聯(lián)立直線與曲線方程法相比，定比點(diǎn)差法運(yùn)算量小、過程更簡潔。

綜上，定比點(diǎn)差法是利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，通過代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差來解決相應(yīng)的解析幾何問題，特別當(dāng)題設(shè)出現(xiàn)定點(diǎn)、線段成比例等條件時(shí)，定比點(diǎn)差法能簡化運(yùn)算、優(yōu)化解題過程，具有獨(dú)特的優(yōu)勢。

（責(zé)任編輯 梁桂廣）