畢達(dá)哥拉斯律和歐洲中世紀(jì)復(fù)調(diào)之間的聯(lián)系

莊曉雪

［摘 要］ 畢達(dá)哥拉斯律是歐洲最早的律制并在中世紀(jì)時(shí)期廣泛使用，每個(gè)時(shí)期音樂創(chuàng)作的技法和風(fēng)格除了受到當(dāng)時(shí)文化背景的影響，同時(shí)也與其所處時(shí)期的記譜法和律制息息相關(guān)。本文先從畢達(dá)哥拉斯律的產(chǎn)生切入，該律制是以純五度音程為基礎(chǔ)生成的律制，純音程以簡單的比例呈現(xiàn)出協(xié)和、穩(wěn)定的音響。通過對歐洲中世紀(jì)早期復(fù)調(diào)音樂中使用“協(xié)和音程”到后來逐漸加入“不協(xié)和音程”，論述畢達(dá)哥拉斯律與歐洲中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂中和聲音程之間的聯(lián)系。

［關(guān)鍵詞］ 畢達(dá)哥拉斯律；協(xié)和音程；不協(xié)和音程；中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂

［中圖分類號］ J609.1? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-2233（２０２3） 11-0188-03

歐洲中世紀(jì)音樂理論的源頭可以追溯到古希臘音樂理論，古希臘哲學(xué)的核心思想是理性理論，理論的核心是數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)工具思考物質(zhì)層面上的各種性質(zhì)，一步步發(fā)展成為一門科學(xué)。音樂在早期是一門科學(xué)而非現(xiàn)在的藝術(shù)。畢達(dá)哥拉斯被認(rèn)為是古希臘音樂理論的奠基人，音樂理論是對數(shù)字比例的數(shù)學(xué)研究，這也成為古希臘音樂理論的主要論點(diǎn)。中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂中縱向和聲音程成為西方和聲發(fā)展的萌芽［1］，畢達(dá)哥拉斯律中的協(xié)和音程成為中世紀(jì)早期復(fù)調(diào)音樂最重要的和聲音程。早期復(fù)調(diào)音樂是為宗教服務(wù)，因此音樂的審美需要符合“神”的審美，協(xié)和音程是“神”的和諧統(tǒng)一美的體現(xiàn)。隨著不協(xié)和音程的使用越來越頻繁，是人們想要擺脫宗教束縛的體現(xiàn)，也是音樂從迎合“神”的審美到“人”的審美的轉(zhuǎn)變。

一、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的音樂理論

（一）畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)思想

雖然沒有關(guān)于畢達(dá)哥拉斯本人著作的留存，但許多畢達(dá)哥拉斯的信徒們寫了大量的文章，并把一些思想歸功于他。現(xiàn)代的學(xué)者將畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)思想分為兩大類——宗教哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的宗教哲學(xué)起源于古希臘宗教奧爾菲斯教派（Orpheus），該宗教的教義就是靈魂轉(zhuǎn)世、生命的輪回。如果說泰勒斯是第一位哲學(xué)家，那么畢達(dá)哥拉斯就是第一位數(shù)學(xué)哲學(xué)家，因?yàn)樗堑谝粋€(gè)將哲學(xué)與數(shù)學(xué)結(jié)合起來的人。亞里士多德在他的《形而上學(xué)》中說：“……畢達(dá)哥拉斯學(xué)派出于對數(shù)學(xué)的興趣，是最早引入數(shù)學(xué)的早期哲學(xué)家，并表示數(shù)學(xué)原理是萬物的基本原理?！麄冇挚吹搅艘袈傻淖兓c比例可由數(shù)來計(jì)算［2］?！北M管古希臘哲學(xué)家對事物有不同的看法，但他們有一個(gè)共同點(diǎn)就是他們都認(rèn)為宇宙多樣性背后存在著潛在的統(tǒng)一性。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中“數(shù)的世界”有一個(gè)觀點(diǎn)：外在的世界有一種內(nèi)在的秩序，內(nèi)在的秩序指的是通過思考才可以掌握的一個(gè)形式概念，數(shù)字只是一個(gè)數(shù)的概念的代表。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，音樂也可以用數(shù)字表示。那么為什么音樂可以用數(shù)字來代表呢？因?yàn)橐魳沸删哂衅鋬?nèi)在的秩序，這種秩序有規(guī)律，可以透過數(shù)字加以表達(dá)。音樂家與數(shù)學(xué)家一樣，都是針對這一原先就已經(jīng)有秩序的世界，進(jìn)一步發(fā)展的自由創(chuàng)作者。畢氏哲學(xué)雖然充斥著神秘主義色彩，但是一種相當(dāng)具有知識主義特色的哲學(xué)。

（二）畢達(dá)哥拉斯律的產(chǎn)生

根據(jù)卡西奧多魯斯（Cassiodorus）在6世紀(jì)的著述中描述，數(shù)學(xué)科學(xué)考慮抽象的量分為四部分：算術(shù)、音樂、幾何學(xué)和天文學(xué)。音樂是一門研究數(shù)學(xué)與聲音之間關(guān)系的學(xué)科。音樂被認(rèn)為是一門理論學(xué)科的觀點(diǎn)存在著很長的時(shí)間，這種觀點(diǎn)至少在西方世界里起源于畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為音樂和數(shù)學(xué)是密不可分的，他深信宇宙萬物都可以用比例以及整數(shù)來表示。畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)了音樂和數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，用客觀的物理量測量，例如弦的長度，并通過算術(shù)比例發(fā)現(xiàn)了音樂的定量數(shù)學(xué)關(guān)系來試圖解釋主觀的心理和審美感受。雖然畢達(dá)哥拉斯本人并不是音樂家，但通常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)全音階的人。相傳，畢達(dá)哥拉斯在經(jīng)過鐵匠鋪時(shí)聽到不同錘子發(fā)出不同音高的聲音從而發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成音階的比例。圖一木刻版畫描述了畢達(dá)哥拉斯進(jìn)行各種音程之間數(shù)學(xué)比例的實(shí)驗(yàn)［3］。圖中左上角是不同重量的錘子敲擊鐵砧時(shí)，產(chǎn)生了不同的音高。其中錘子的重量有12磅、9磅、8磅和6磅，分別產(chǎn)生八度（2：1）、五度（3：2）、四度（4：3）的音程關(guān)系，這些音程聽起來相當(dāng)和諧。顯然，這個(gè)錘子的故事并不靠譜。因?yàn)椴煌|(zhì)量的錘子敲打同一塊鐵砧時(shí)，只是響度不同，而音高是由鐵砧的大小決定的。如果我們將這個(gè)故事運(yùn)用到弦上，就會顯得非常合理。木刻版畫中的左下圖描繪了畢達(dá)哥拉斯在彈奏六根單弦琴，每根琴弦上都掛有不同重量的東西來收緊琴弦，這樣每根琴弦的張力就不同。根據(jù)弦振動(dòng)頻率公式fn=? （n=1，2，3……）可知，弦的長度、密度相同，頻率與弦的張力成正比。后來，波愛修斯使用可移動(dòng)琴橋的單弦琴來計(jì)算音程的數(shù)學(xué)比例，進(jìn)一步證明畢達(dá)哥拉斯各音程的頻率比例理論。他通過移動(dòng)琴橋改變弦的長度，首先將弦分成二等份，然后將其中一半發(fā)出的聲音與整根弦發(fā)出的聲音進(jìn)行比較，產(chǎn)生了一個(gè)高八度音程（2：1）。再將整段弦分成三等份并振動(dòng)其中的2個(gè)部分，得到五度音程（3：2）。最后將弦分成四等份并振動(dòng)其中的3個(gè)部分，得到四度音程（4：3）。除此之外，還將該理論運(yùn)用到不同的實(shí)驗(yàn)中，圖中右上角的圖片是用相同的杯子裝不同容量的水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，右下角是用不同管長產(chǎn)生不同的音高的實(shí)驗(yàn)。

眾所周知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對前四個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的音程比例（即4：3：2：1）特別感興趣。他們認(rèn)為這些音程聽起來很和諧?；诎硕群臀宥纫舫?，畢達(dá)哥拉斯提出了關(guān)于這兩個(gè)音程生成的音階過程。首先我們從D1（可以從任意音符開始）開始向上升一個(gè)八度得到D2，在D1和D2這一個(gè)八度內(nèi)生律。我們可以分別將D1和D2向上、向下構(gòu)五度音程，得到A1和G1。然后將A1向上生純五度得到E1，G1向下生成純五度得到C，為了保證在一個(gè)八度內(nèi)，我們將C移高一個(gè)八度得到C1。這樣我們一共有五個(gè)音，分別是C1、D1、E1、G1、A1，也就是我們熟悉的中國五聲音階。我們再將C1向下生成純五度得到F1，將E1向上生成純五度得到B1，這樣就得到了西方的全音階。如果我們再繼續(xù)五度循環(huán)可以生成半音階，即以D音為中心音向上和向下五度生律得到：bA-bE-bB-F-C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G形成五度圈。但是最后發(fā)現(xiàn)從D1開始循環(huán)無法再回到D1，假設(shè)我們總是以純五度音程開始生律。如果我們生成n次，那么頻率比為（ ） 。超過限定一個(gè)八度內(nèi)的音需要我們下降八度m次，即（ ） 。我們最終會得到的頻率比是（ ） （ ） ，這個(gè)式子等于1。對于（ ） （ ） =1，則（ ） = 2m必須為真。但是，2m始終是整數(shù)，而（ ） 不是整數(shù)。所以，（ ） =2m永遠(yuǎn)不會成立。因此，如果使用畢達(dá)哥拉斯律進(jìn)行調(diào)律的話，一個(gè)八度音階內(nèi)只有十一個(gè)純五度音程，畢達(dá)哥拉斯律中最后一個(gè)純五度音程由于積累過多的拍音而導(dǎo)致“狼音”的出現(xiàn)，并且無法任意轉(zhuǎn)調(diào)。所以歐洲中世紀(jì)的作曲家會根據(jù)自己所創(chuàng)作的作品的調(diào)式來避免“狼音程”的出現(xiàn)。［4］

二、中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂的發(fā)展

中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂通常指的是9世紀(jì)至15世紀(jì)初的西歐音樂，雖然關(guān)于基督教禮儀和圣詠的歷史可以追溯到更遠(yuǎn)。中世紀(jì)的音樂包括宗教音樂和世俗音樂，宗教音樂是為西方基督教會的儀式和宗教而創(chuàng)作的，關(guān)于中世紀(jì)早期的世俗音樂很少，因?yàn)橹挥猩衤毴藛T識字，才能夠進(jìn)行寫作，而世俗音樂是通過口耳相傳來學(xué)習(xí)的。復(fù)調(diào)起源的確切時(shí)間一直是爭論的主題。盡管如此，我們可以從音樂學(xué)的角度談?wù)摗皬?fù)調(diào)的出現(xiàn)”，最早的復(fù)調(diào)音樂出現(xiàn)于9世紀(jì)。《音樂手冊》是9世紀(jì)的一部匿名音樂論文，這是在西方藝術(shù)音樂中建立復(fù)調(diào)規(guī)則體系最早的音樂理論文本［5］。

（一）從單聲部音樂到多聲部復(fù)調(diào)音樂

歐洲中世紀(jì)在9世紀(jì)以前一直是單聲部音樂，這一時(shí)期最重要的成就之一就是從單聲部音樂到多聲部復(fù)調(diào)音樂形式的發(fā)展。中世紀(jì)早期歐洲各地出現(xiàn)了不同的圣詠形式，隨著羅馬教皇在西方教會中地位的確立，為了規(guī)范教堂中的圣歌，格里高利圣詠成為統(tǒng)一的規(guī)范和最高的權(quán)威。當(dāng)時(shí)采用的“教會調(diào)式”被廣泛地運(yùn)用在格里高利圣詠中，中世紀(jì)調(diào)式與古希臘調(diào)式一樣，都是根據(jù)畢達(dá)哥拉斯律構(gòu)成的［6］。奧爾加農(nóng)是早期復(fù)調(diào)音樂的形式，產(chǎn)生于公元9世紀(jì)，在圣詠旋律下方以四、五度平行進(jìn)行，稱為“平行奧爾加農(nóng)”。到11世紀(jì)，奧爾加農(nóng)兩個(gè)聲部出現(xiàn)了反向或斜向的關(guān)系。這些復(fù)調(diào)在聲部結(jié)合上主要以八度、四度、五度的協(xié)和音程為主，偶爾出現(xiàn)不協(xié)和音程也只是作為經(jīng)過音程，會立即轉(zhuǎn)向協(xié)和音程上［7］。因此早期的奧爾加農(nóng)建立在協(xié)和音程的基礎(chǔ)上，在協(xié)和性方面與畢達(dá)哥拉斯律相吻合。在畢達(dá)哥拉斯律的音程比例中，三度、六度音程被認(rèn)為是不協(xié)和音程，大三度音程頻率比為81：64，小三度（32：27），大六度（27：16），小六度（128：81）。由于復(fù)雜的比例，在理論上，三度、六度音程聽起來是不和諧的。人們認(rèn)為同時(shí)演奏音高為簡單比的音程時(shí)， 會讓人產(chǎn)生“和諧悅耳的感覺”。但實(shí)際上，大二度（9：8）雖然是簡單比，三度音程卻比它聽起來更協(xié)和。我們可以看出，從單聲部旋律到早期奧爾加農(nóng)形式，是從音對音之間的橫向關(guān)系過渡到音程之間的縱向關(guān)系，并且遵循著簡單音程頻率比的原則進(jìn)行創(chuàng)作。

（二）復(fù)調(diào)音樂中不協(xié)和音程的使用

節(jié)奏模式和記譜法的出現(xiàn)為復(fù)調(diào)音樂帶來了創(chuàng)新發(fā)展。萊奧南和佩羅坦成為中世紀(jì)圣母院樂派兩位重要的作曲家，從他們開始，三聲部作曲手法已經(jīng)成為常態(tài)，甚至出現(xiàn)了四個(gè)部的音樂作品。畢達(dá)哥拉斯律作為13、14世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的理論調(diào)音方法，非常適合佩羅坦、紀(jì)堯姆·德·馬肖等作曲家的作品風(fēng)格。畢達(dá)哥拉斯律是基于純五度產(chǎn)生的律制，協(xié)和的純音程給中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂奠定了穩(wěn)定的基礎(chǔ)。協(xié)和音程雖然聽起來很“和諧”但并不代表好聽，協(xié)和音程空洞、單調(diào)的音響越來越無法滿足作曲家對和聲色彩的追求，三度、六度以及其他被當(dāng)時(shí)視為不協(xié)和音程也逐漸開始使用。從表格中我們可以看到，在畢達(dá)哥拉斯律中，大三度、大六度音程比純律大三度、大六度大約22音分，小三度、小六度比純律小三度、小六度小約22音分。這個(gè)差值被稱為“畢達(dá)哥拉斯音差”（純律大三度音分值為386.31，小三度為315.64音分；大六度為884.36音分，小六度為813.69音分）。因此，在用畢達(dá)哥拉斯律進(jìn)行調(diào)律時(shí)，所有的大三度、大六度都是寬音程，小三度、小六度是窄音程。畢達(dá)哥拉斯律中的三度、六度音程作為“不協(xié)和音程”具有一定的張力，使得帶有不穩(wěn)定的三度、六度音程解決到同度、五度、八度的穩(wěn)定音程，為中世紀(jì)歐洲復(fù)調(diào)音樂帶來了色彩。

畢達(dá)哥拉斯律中各音程頻率比及音分值

到了15世紀(jì)，歐洲大陸的音樂風(fēng)格開始發(fā)生變化，越來越強(qiáng)調(diào)三度、六度音程在作品中的地位，因此尋求新的律制以適應(yīng)當(dāng)時(shí)的作曲風(fēng)格成為必然。前面提到，簡單的頻率比會產(chǎn)生協(xié)和的音程，反之，復(fù)雜的頻率比會產(chǎn)生不協(xié)和的音程。基于此理論，當(dāng)時(shí)的理論家也在思考如何將復(fù)雜的音程頻率比簡單化。大約1300年，英國修道士、音樂理論家兼科學(xué)家沃爾特·奧丁頓（Walter de Odington）提出大三度和小三度的比例分別接近5：4和6：5，并且提出歌唱家傾向于這些更簡單的比例。他的觀點(diǎn)可能反映了那個(gè)時(shí)期許多英國復(fù)調(diào)的風(fēng)格，其中三度通常在結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色，甚至可以作為終止的音響。法國作曲家兼理論家弗朗科把小六度（8：5）作為協(xié)和音程，法國理論家兼科學(xué)家里米斯把大六度（5：3）作為協(xié)和音程。這就是大約在15世紀(jì)出現(xiàn)的純律當(dāng)中的大小三度、大小六度的音程。1500年來，音樂主要是用整數(shù)比例來解釋的，由于古希臘文明對西方文化產(chǎn)生巨大的影響，科學(xué)家和哲學(xué)家長期以來都在研究音樂和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系。中世紀(jì)后期的復(fù)調(diào)音樂中雖然出現(xiàn)了和弦，但作曲家對于多聲部的結(jié)合是音程之間的疊加，并沒有“和弦”的概念。直到16世紀(jì)，主調(diào)音樂開始出現(xiàn)，和弦構(gòu)造才越來越明顯。

結(jié) 語

在歐洲早期的文化中，數(shù)學(xué)、宗教和音樂是相互關(guān)聯(lián)的。在畢達(dá)哥拉斯律制的理論中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派確定了構(gòu)成音階基礎(chǔ)的算術(shù)、幾何和和聲手段，以及發(fā)現(xiàn)音樂的協(xié)和音程比例，即純八度（2：1）、純五度（3：2）、純四度（4：3）。中世紀(jì)早期的復(fù)調(diào)音樂也是建立在協(xié)和音程的基礎(chǔ)上，畢達(dá)哥拉斯律使所有五度音都是完美、協(xié)和的，但也導(dǎo)致所有大三度和大六度都以一個(gè)畢達(dá)哥拉斯音差變寬，所有的小三度、小六度以一個(gè)畢達(dá)哥拉斯音差變窄。畢達(dá)哥拉斯律中不協(xié)和的三度、六度為中世紀(jì)后期復(fù)調(diào)音樂增添了色彩，純音程雖然帶來了穩(wěn)定的基礎(chǔ)，但協(xié)和音程缺乏活力和張力，而太多的不協(xié)和音程會破壞樂曲結(jié)構(gòu)整體的平衡。中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂是為這種律制而創(chuàng)作的，到了中世紀(jì)晚期和文藝復(fù)興時(shí)期畢達(dá)哥拉斯律已經(jīng)不再適合這一時(shí)期的音樂創(chuàng)作風(fēng)格，也迫使新的律制的產(chǎn)生。中世紀(jì)復(fù)調(diào)音樂基于但不依賴于畢達(dá)哥拉斯律，在不斷地音樂實(shí)踐中產(chǎn)生新的律制來適應(yīng)同時(shí)期的音樂作品創(chuàng)作風(fēng)格，新的律制也并不是畢達(dá)哥拉斯律的替代品，而是在它的基礎(chǔ)上進(jìn)一步地優(yōu)化。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：韓瑩瑩）