直擊隨機(jī)變量及其分布中的數(shù)學(xué)思想

■河南大學(xué)附屬中學(xué) 陳嘯宇

數(shù)學(xué)解題,必須講究思想方法,隨機(jī)變量及其分布問(wèn)題也不例外。那么在解決這個(gè)內(nèi)容的問(wèn)題時(shí),我們會(huì)遭遇哪些數(shù)學(xué)思想呢?本文舉例說(shuō)明。

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1(多選)設(shè)隨機(jī)變量X～N(2,9),且P(X＜3a-1)=P(X＞a2+1),則實(shí)數(shù)a的值可能為( )。

A.0 B.1 C.2 D.-4

解析：因?yàn)殡S機(jī)變量服從X～N(2,9),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱。

因?yàn)镻(X＜3a-1)=P(X＞a2+1),所以3a-1+a2+1=4,解得a=1或-4。

故選BD。

點(diǎn)評(píng):對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題,一般可根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性來(lái)求解,利用的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)形結(jié)合思想。

二、函數(shù)思想

例2在一次新兵射擊能力檢測(cè)中,每人都可打5槍,只要擊中靶標(biāo)就停止射擊,合格通過(guò);5次全不中,則不合格。新兵A參加射擊能力檢測(cè),假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立,且擊中靶標(biāo)的概率均為p(0＜p＜1),當(dāng)p=p0時(shí),他至少射擊4次合格通過(guò)的概率才最大,則p0=_____。

解析：至少射擊4 次合格通過(guò)的概率為f(p)=(1-p)3p+(1-p)4p=(1-p)3·(2p-p2)。

所以f'(p)=(1-p)2(5p2-10p+2)。

點(diǎn)評(píng):用f(p)表示至少射擊4次才合格通過(guò)的概率,并利用導(dǎo)數(shù)研究f(p)在(0,1)上的最值即可。

三、分類討論思想

例3邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的中心為O,從A、B、C、D、O這5個(gè)點(diǎn)中任意選2點(diǎn),以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量,任取其中兩個(gè)向量(不包括“向量和同端點(diǎn)的相反向量”),以它們的數(shù)量積的絕對(duì)值作為隨機(jī)變量X,則其數(shù)學(xué)期望E(X)=_____。

點(diǎn)評(píng):本題關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn),一個(gè)是隨機(jī)抽取向量時(shí),基本事件的總數(shù);另一個(gè)是抽取后,計(jì)算抽取向量的數(shù)量積的絕對(duì)值的可能情形,必須做到不重不漏。

四、轉(zhuǎn)化思想

例4現(xiàn)在甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1 分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0 分。該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立,假設(shè)該射手完成以上三次射擊。

(1)求該射手恰好命中一次的概率;

(2)求該射手的總得分X的分布列。

解析：(1)設(shè)“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D。

(2)根據(jù)題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5。

根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性,得:

故X的分布列如表1。

表1

點(diǎn)評(píng):求解某些復(fù)雜事件的概率時(shí),可以把復(fù)雜事件分解為一些互斥事件的和,利用概率加法公式求解;也可以利用“正難則反”的思想,先求出復(fù)雜事件的對(duì)立事件的概率,再利用求解。