價值引領(lǐng),素養(yǎng)導(dǎo)向,能力為重,知識為基
——評析2022年離散型隨機(jī)變量高考試題

■河南省許昌市胡銀偉高中數(shù)學(xué)名師工作室 胡銀偉

2023年伊始,由中國高考報告學(xué)術(shù)委員會編撰的2023年度高考藍(lán)皮書《中國高考報告(2023)》發(fā)布。該報告圍繞核心價值、關(guān)鍵能力、情境載體三條主線,指明新高考背景下高考命題的“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”總體要求。報告指出在高考評價體系指導(dǎo)下的高考命題,呈現(xiàn)出“無價值,不入題;無思維,不命題;無情境,不成題”的典型特征。下面我們結(jié)合以上三個特征對2022年高考的離散型隨機(jī)變量試題進(jìn)行評析。

一、無價值,不入題

2022年離散型隨機(jī)變量內(nèi)容的高考命題,緊扣時代主題與時代精神,加強(qiáng)了對學(xué)生理想信念、道德品質(zhì)、奮斗精神、愛國情懷等方面的引導(dǎo)和考查,從而將立德樹人這一核心價值融入高考試題中。

例1【2022 年新高考全國Ⅰ卷第20題】一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100 例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù)(表1)。

表1

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R。

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|)的估計(jì)值,并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值。

表2

思路點(diǎn)撥：本題兩大問三小問,三個問題層層遞進(jìn),體現(xiàn)了提出問題、探究問題和解決問題的過程。第(1)問可由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K2的值,將其與臨界值比較大小,由此確定:患疾病群體與未患疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異。第(1)問說明衛(wèi)生習(xí)慣會影響患病率,但并沒有回答問題:影響程度如何?試題的第(2)問就是為回答此問題而設(shè)計(jì)的,其中第(i)問為第(ii)問作鋪墊,第(i)問根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明;第(ii)問,可根據(jù)(i),結(jié)合已知數(shù)據(jù)求出R的值。

解析：(1)由已知條件可得:

又P(K2≥6.635)=0.01,24＞6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異。

試題評析：本題創(chuàng)設(shè)出數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境和生活實(shí)踐情境,具有較好的創(chuàng)新性,能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)知識與方法的應(yīng)用價值。本題在提高同學(xué)們學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識的興趣,培養(yǎng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提升其解決實(shí)際問題的能力等方面都有著積極的引導(dǎo)作用。此外,本題體現(xiàn)了黨和國家對人民健康的深切關(guān)懷及新時代高考改革的精神,從而體現(xiàn)高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能。

二、無思維,不命題

2022年離散型隨機(jī)變量內(nèi)容的高考命題,突出了對同學(xué)們的關(guān)鍵能力、思維過程和思維品質(zhì)的考查,從而加強(qiáng)對信息獲取與加工、邏輯推理與論證、科學(xué)探究與思維建模、批判性思維與創(chuàng)新思維以及語言組織與表達(dá)等能力的考查。

例2【2022年新高考全國Ⅱ卷第19題】在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,如圖1所示。

圖1

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)。

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率。

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%。從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率。(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.000 1。)

思路點(diǎn)撥：某種疾病患者的年齡分布有何規(guī)律? 這是流行病學(xué)中需要重點(diǎn)研究的問題。本題以此為情境創(chuàng)設(shè)問題,既有現(xiàn)實(shí)意義,又能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值。本題考查的內(nèi)容涉及頻率分布直方圖、樣本估計(jì)總體、條件概率等,很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)知識與方法的應(yīng)用價值。本題的第(1)問可通過對頻率分布直方圖的解讀得所求,第(2)問根據(jù)對立事件的概率公式較易解答,第(3)問可根據(jù)條件概率公式進(jìn)行解答。

解析：(1)平均年齡=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲)。

(2)設(shè)事件A為“一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)”。

所以P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89。

(3)設(shè)事件B為“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C為“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”。

則由已知得,P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×10=0.23。

試題評析：本題通過創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境來考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識,問題的解決能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)知識與方法的應(yīng)用價值。本題中三問都要求同學(xué)們能從頻率分布直方圖中讀出所需的信息,利用頻率分布直方圖認(rèn)識和估計(jì)總體的分布規(guī)律,估計(jì)總體的數(shù)字特征等。本題有效地考查了同學(xué)們的數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力,考查了大家數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng),同時通過增加思維強(qiáng)度來達(dá)成選拔創(chuàng)新人才的目的。

三、無情境,不成題

2022年離散型隨機(jī)變量內(nèi)容的高考命題,緊密結(jié)合社會熱點(diǎn)問題、經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展成就、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境,增強(qiáng)試題的開放性與探究性,從而考查同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決實(shí)際問題的能力。

例3【2022 年全國乙卷理科卷第10題】某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3＞p2＞p1＞0。記該棋手連勝兩盤的概率為p,則( )。

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

思路點(diǎn)撥：本題以同學(xué)們熟悉的棋類比賽這一生活實(shí)踐情境設(shè)計(jì)概率問題,考查獨(dú)立條件下多次隨機(jī)事件發(fā)生的概率,是伯努利試驗(yàn)的推廣,主要考查同學(xué)們對基本獨(dú)立事件概率的掌握。解答時大家首先要分析、理解比賽規(guī)則,再考慮該棋手連勝兩盤的各種可能性。該棋手連勝兩盤,則第二盤為必勝盤,分別求:該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率p甲,該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率p乙,該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率p丙,并對三者進(jìn)行比較。

解析：該棋手連勝兩盤,則第二盤為必勝盤。記該棋手在第二盤與甲比賽,比賽順序?yàn)橐壹妆?、丙甲乙的概率均?此時連勝兩盤的概率為p甲。p1(p2+p3)-2p1p2p3。

記該棋手在第二盤與乙比賽,且連勝兩盤的概率為p乙。

則p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3。

記該棋手在第二盤與丙比賽,且連勝兩盤的概率為p丙。

則p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3。

因?yàn)閜甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-[p2(p1+p3)-2p1p2p3]=(p1-p2)p3＜0,并且p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-[p3(p1+p2)-2p1p2p3]=(p2-p3)p1＜0,所以p甲＜p乙,p乙＜p丙。

則p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān),且該棋手在第二盤與丙比賽時,p最大,故選D。

試題評析：數(shù)學(xué)源于生活,服務(wù)生活,本題以棋類比賽為載體,啟發(fā)同學(xué)們在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題,并用所學(xué)知識來解決問題。本題蘊(yùn)含的概率思想可以追溯到經(jīng)典的伯努利試驗(yàn),本題基于具體問題,易于理解,充分體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新性。

例4【2022年新高考全國Ⅱ卷第13題】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2＜X≤2.5)=0.36,則P(X＞2.5)=____。

思路點(diǎn)撥：本題以正態(tài)分布為情境設(shè)計(jì)問題,正態(tài)分布是概率理論與應(yīng)用中最重要的模型,在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都有著非常重要的應(yīng)用,在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。本題是考查正態(tài)分布隨機(jī)變量的具體性質(zhì)與運(yùn)算,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可解答。

解析：因?yàn)閄～N(2,σ2),所以P(X＜2)=P(X＞2)=0.5。因此,P(X＞2.5)=P(X＞2)-P(2＜X≤2.5)=0.5-0.36=0.14。

試題評析：正態(tài)分布作為高中階段唯一的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布,也是現(xiàn)實(shí)生活中存在最為廣泛的隨機(jī)變量分布。在日常生產(chǎn)生活中,正態(tài)分布是刻畫常見不確定性的主要工具,如在校學(xué)生每人每周的運(yùn)動時間就近似服從正態(tài)分布。

真題演練：

1.【2022年天津卷第13題】52張撲克牌中沒有大小王,無放回地抽取兩次,則兩次都抽到A的概率為____;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為____。

解析：由題意,設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C。

2.【2022 年浙江卷第5 題】現(xiàn)有7 張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6。從這7張卡片中隨機(jī)抽取3 張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=____,E(ξ)=____。

3.【2022 年全國甲卷理科第19 題】甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個項(xiàng)目,每個項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局。三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍。已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立。

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望。

解析：(1)設(shè)甲在三個項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P=P(ABC)+P()+P()+P()=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6。

(2)依題可知,X的可能取值為0,10,20,30。

所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06。

X的分布列如表3。

表3

期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13。

4.【2022年北京卷】在校運(yùn)動會上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績達(dá)到9.50 m 以上(含9.50 m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎。為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙三名同學(xué)以往的比賽成績,并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙:9.85,9.65,9.20,9.16。

假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立。

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)在校運(yùn)動會鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大? (結(jié)論不要求證明)

解析：(1)甲以往的10 次成績中有4 次獲得優(yōu)秀,由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4。

(2)乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件A3。

X的分布列如表4。

表4